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摘要:本文初步涉略计算金融的领域,尝试将非线性方程求解的数值方法应用到金融风险模型的研究中。主要有期权定价模型、养老保险模型,用非线性方程求解的方法求出隐含波动率、投保人的收益率,并对所得结果进行讨论。
关键词:非线性方程;期权定价模型;养老保险模型;隐含波动率;收益率
一、引言
利用数学知识来解决经济中的问题是经济学者常用的方法,因此在金融模型中存在诸多复杂的数学模型.这些模型中存在着大量非线性、积分、常微分、偏微分方程,都是难以求得解析解的,这给相关计算带来困难。本文利用非线性方程求解的各种方法,首先研究隐含波动率在保险中的作用及意义,并通过非线性方程求解数值计算方法对对车险中隐含波动率(预期损失方差)进行求解,为保险的定价提供一种新方法。其次研究养老保险模型,通过具体实例利用非线性方程求解的方法求解投保人的收益率,为投保人购买养老保险提供一个参照。
二、期权中隐含波动率的研究
隐含波动率是期权中的概念,顾名思义就是隐藏在期权市场价格的波动率,对市场的行情有重要指标作用。
理论上讲,要想获得隐含波动率的大小,只需将能够在期权市场获得的标的价格、执行价格、无风险利率、到期日期权的实际市场价格当成已知量代入Black-Scholes期权定价模型,就可以从中解出惟一的未知量,其大小就是隐含波动率[1、2]。但是这是一个关于的非线性方程,需要借用非线性方程数值解法算出的值。
设是Black-Scholes模型中的理论价格与期权市场价格的差,则可以建立关于的方程。
看涨期权的隐含波动率方程函数
看跌期权的隐含波动率函数
于是问题等价为求解非线性方程的根。
下面以车险为例来计算保险中隐含波动率的大小,考虑某个保险价值20万元的汽车,险种的免赔率为10%,无风险利率为3.54%,保险时间为期5年,保险费为1.45万元。
购买一份保险好比是购买一份欧式看跌期权,于是要用看跌期权公式来计算:
这里表示投保产品的当前价值,代表保险合同中约定的赔偿金,为无风险利率,为投保的时间,表示保险费。
于是可得,,,,,
要想求得隐含波动率,即求解方程
的解,该方程为关于非线性方程,其中包含在正态累计函数,无法反解出,故简单迭代法与Aitken加速方法并不适合求解隐含波动率,对于牛顿迭代法而言,需要计算该函数的导数,然而该式复杂,想要求得也是相当麻烦。故采用二分法,弦截法,逆二次插值法进行求解。
在计算之前并不知道隐含波动率的大小,只知道其是一个大于0的数,可以先用二分法计算它的一个粗略的解,在用弦截法或逆二次插值法计算其比较精确的解。
二分法选取,,它表示用二分法在区间[0,100]计算隐含波动率,并且精度为0.01,计算结果过程如下表2-1所示:
经过二分法的粗略计算,可以该车险的波动率在0.2附近,于是可以用弦截法和逆差二次插值法,由于其收斂速度比二分法更快,更容易得到精确度高的解,且知道解的初始值范围,不会出现迭代发散的情况。弦截法需要两个初始的猜测值,可以取,,它表示初始值为0.1,0.3,精度为0.0001,最大迭代步数为10步,精度和步数可以根据具体的需要进行调整。
经过上面的数值计算可以得到在精确度在0.0001条件下,该保险保单中的隐含波动率为0.2177,且弦截法与逆二次插值计算的结果相同,且相同的精度下,逆二次插值比弦截法的迭代步数要少。
如果以上数据是正确的话,那说明该类保险预期发生事故的概率为0.2177,对于投保人来说,可以将其与自然条件下汽车发生事故的概率比较,如果自然条件下汽车发生事故的概率比0.2177要大,则对投保人有益。而对于保险公司而言,可以将其应用于车险的定价,以满足不同客户的要求。
参考文献:
[1]田文昭.金融资产的定价理论与数值计算[M].北京:北京大学出版社,2010.4:94-127.
[2]Wilmott,P.Paul Wilmott on Quantitative Finance. Wiley,2006.
[3]钱敏.基于资产定价理论的保险费率研究[J].重庆大学学报.2010,(3).
[4]李庆扬,莫孜中,祁力群.非线性方程的数值解法.科学出版社. 1999.
[5]黄象鼎,曾钟纲,马亚南.非线性数值分析的理论与方法.武汉:武汉出版社.2004.
[6]李庆杨.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2010.5:212-237.
[7]边绪奎. 金融期权的基本特征及主要功能初探[J].鞍山师范学院学报,2002,4(2).
[8]朱良成. 简评期权定价思维和保险精算思维的相互关系[J].新经济2014,(4).
关键词:非线性方程;期权定价模型;养老保险模型;隐含波动率;收益率
一、引言
利用数学知识来解决经济中的问题是经济学者常用的方法,因此在金融模型中存在诸多复杂的数学模型.这些模型中存在着大量非线性、积分、常微分、偏微分方程,都是难以求得解析解的,这给相关计算带来困难。本文利用非线性方程求解的各种方法,首先研究隐含波动率在保险中的作用及意义,并通过非线性方程求解数值计算方法对对车险中隐含波动率(预期损失方差)进行求解,为保险的定价提供一种新方法。其次研究养老保险模型,通过具体实例利用非线性方程求解的方法求解投保人的收益率,为投保人购买养老保险提供一个参照。
二、期权中隐含波动率的研究
隐含波动率是期权中的概念,顾名思义就是隐藏在期权市场价格的波动率,对市场的行情有重要指标作用。
理论上讲,要想获得隐含波动率的大小,只需将能够在期权市场获得的标的价格、执行价格、无风险利率、到期日期权的实际市场价格当成已知量代入Black-Scholes期权定价模型,就可以从中解出惟一的未知量,其大小就是隐含波动率[1、2]。但是这是一个关于的非线性方程,需要借用非线性方程数值解法算出的值。
设是Black-Scholes模型中的理论价格与期权市场价格的差,则可以建立关于的方程。
看涨期权的隐含波动率方程函数
看跌期权的隐含波动率函数
于是问题等价为求解非线性方程的根。
下面以车险为例来计算保险中隐含波动率的大小,考虑某个保险价值20万元的汽车,险种的免赔率为10%,无风险利率为3.54%,保险时间为期5年,保险费为1.45万元。
购买一份保险好比是购买一份欧式看跌期权,于是要用看跌期权公式来计算:
这里表示投保产品的当前价值,代表保险合同中约定的赔偿金,为无风险利率,为投保的时间,表示保险费。
于是可得,,,,,
要想求得隐含波动率,即求解方程
的解,该方程为关于非线性方程,其中包含在正态累计函数,无法反解出,故简单迭代法与Aitken加速方法并不适合求解隐含波动率,对于牛顿迭代法而言,需要计算该函数的导数,然而该式复杂,想要求得也是相当麻烦。故采用二分法,弦截法,逆二次插值法进行求解。
在计算之前并不知道隐含波动率的大小,只知道其是一个大于0的数,可以先用二分法计算它的一个粗略的解,在用弦截法或逆二次插值法计算其比较精确的解。
二分法选取,,它表示用二分法在区间[0,100]计算隐含波动率,并且精度为0.01,计算结果过程如下表2-1所示:
经过二分法的粗略计算,可以该车险的波动率在0.2附近,于是可以用弦截法和逆差二次插值法,由于其收斂速度比二分法更快,更容易得到精确度高的解,且知道解的初始值范围,不会出现迭代发散的情况。弦截法需要两个初始的猜测值,可以取,,它表示初始值为0.1,0.3,精度为0.0001,最大迭代步数为10步,精度和步数可以根据具体的需要进行调整。
经过上面的数值计算可以得到在精确度在0.0001条件下,该保险保单中的隐含波动率为0.2177,且弦截法与逆二次插值计算的结果相同,且相同的精度下,逆二次插值比弦截法的迭代步数要少。
如果以上数据是正确的话,那说明该类保险预期发生事故的概率为0.2177,对于投保人来说,可以将其与自然条件下汽车发生事故的概率比较,如果自然条件下汽车发生事故的概率比0.2177要大,则对投保人有益。而对于保险公司而言,可以将其应用于车险的定价,以满足不同客户的要求。
参考文献:
[1]田文昭.金融资产的定价理论与数值计算[M].北京:北京大学出版社,2010.4:94-127.
[2]Wilmott,P.Paul Wilmott on Quantitative Finance. Wiley,2006.
[3]钱敏.基于资产定价理论的保险费率研究[J].重庆大学学报.2010,(3).
[4]李庆扬,莫孜中,祁力群.非线性方程的数值解法.科学出版社. 1999.
[5]黄象鼎,曾钟纲,马亚南.非线性数值分析的理论与方法.武汉:武汉出版社.2004.
[6]李庆杨.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2010.5:212-237.
[7]边绪奎. 金融期权的基本特征及主要功能初探[J].鞍山师范学院学报,2002,4(2).
[8]朱良成. 简评期权定价思维和保险精算思维的相互关系[J].新经济2014,(4).