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摘要：本文初步涉略计算金融的领域，尝试将非线性方程求解的数值方法应用到金融风险模型的研究中。主要有期权定价模型、养老保险模型，用非线性方程求解的方法求出隐含波动率、投保人的收益率，并对所得结果进行讨论。
关键词：非线性方程；期权定价模型；养老保险模型；隐含波动率；收益率
一、引言
利用数学知识来解决经济中的问题是经济学者常用的方法，因此在金融模型中存在诸多复杂的数学模型.这些模型中存在着大量非线性、积分、常微分、偏微分方程，都是难以求得解析解的，这给相关计算带来困难。本文利用非线性方程求解的各种方法，首先研究隐含波动率在保险中的作用及意义，并通过非线性方程求解数值计算方法对对车险中隐含波动率（预期损失方差）进行求解，为保险的定价提供一种新方法。其次研究养老保险模型，通过具体实例利用非线性方程求解的方法求解投保人的收益率，为投保人购买养老保险提供一个参照。
二、期权中隐含波动率的研究
隐含波动率是期权中的概念，顾名思义就是隐藏在期权市场价格的波动率，对市场的行情有重要指标作用。
理论上讲，要想获得隐含波动率的大小，只需将能够在期权市场获得的标的价格、执行价格、无风险利率、到期日期权的实际市场价格当成已知量代入Black-Scholes期权定价模型，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率[1、2]。但是这是一个关于的非线性方程，需要借用非线性方程数值解法算出的值。
设是Black-Scholes模型中的理论价格与期权市场价格的差，则可以建立关于的方程。
看涨期权的隐含波动率方程函数
看跌期权的隐含波动率函数
于是问题等价为求解非线性方程的根。
下面以车险为例来计算保险中隐含波动率的大小，考虑某个保险价值20万元的汽车，险种的免赔率为10%，无风险利率为3.54%，保险时间为期5年，保险费为1.45万元。
购买一份保险好比是购买一份欧式看跌期权，于是要用看跌期权公式来计算：
这里表示投保产品的当前价值，代表保险合同中约定的赔偿金，为无风险利率，为投保的时间，表示保险费。
于是可得，，，，，
要想求得隐含波动率，即求解方程
的解，该方程为关于非线性方程，其中包含在正态累计函数，无法反解出，故简单迭代法与Aitken加速方法并不适合求解隐含波动率，对于牛顿迭代法而言，需要计算该函数的导数，然而该式复杂，想要求得也是相当麻烦。故采用二分法，弦截法，逆二次插值法进行求解。
在计算之前并不知道隐含波动率的大小，只知道其是一个大于0的数，可以先用二分法计算它的一个粗略的解，在用弦截法或逆二次插值法计算其比较精确的解。
二分法选取，，它表示用二分法在区间[0，100]计算隐含波动率，并且精度为0.01，计算结果过程如下表2-1所示：
经过二分法的粗略计算，可以该车险的波动率在0.2附近，于是可以用弦截法和逆差二次插值法，由于其收斂速度比二分法更快，更容易得到精确度高的解，且知道解的初始值范围，不会出现迭代发散的情况。弦截法需要两个初始的猜测值，可以取，，它表示初始值为0.1，0.3，精度为0.0001，最大迭代步数为10步，精度和步数可以根据具体的需要进行调整。
经过上面的数值计算可以得到在精确度在0.0001条件下，该保险保单中的隐含波动率为0.2177，且弦截法与逆二次插值计算的结果相同，且相同的精度下，逆二次插值比弦截法的迭代步数要少。
如果以上数据是正确的话，那说明该类保险预期发生事故的概率为0.2177，对于投保人来说，可以将其与自然条件下汽车发生事故的概率比较，如果自然条件下汽车发生事故的概率比0.2177要大，则对投保人有益。而对于保险公司而言，可以将其应用于车险的定价，以满足不同客户的要求。
参考文献：
[1]田文昭.金融资产的定价理论与数值计算[M].北京：北京大学出版社，2010.4：94-127.
[2]Wilmott，P.Paul Wilmott on Quantitative Finance. Wiley，2006.
[3]钱敏.基于资产定价理论的保险费率研究[J].重庆大学学报.2010，（3）.
[4]李庆扬，莫孜中，祁力群.非线性方程的数值解法.科学出版社. 1999.
[5]黄象鼎，曾钟纲，马亚南.非线性数值分析的理论与方法.武汉：武汉出版社.2004.
[6]李庆杨.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2010.5：212-237.
[7]边绪奎. 金融期权的基本特征及主要功能初探[J].鞍山师范学院学报，2002，4（2）.
[8]朱良成. 简评期权定价思维和保险精算思维的相互关系[J].新经济2014，（4）.
关键词：非线性方程；期权定价模型；养老保险模型；隐含波动率；收益率
一、引言
利用数学知识来解决经济中的问题是经济学者常用的方法，因此在金融模型中存在诸多复杂的数学模型.这些模型中存在着大量非线性、积分、常微分、偏微分方程，都是难以求得解析解的，这给相关计算带来困难。本文利用非线性方程求解的各种方法，首先研究隐含波动率在保险中的作用及意义，并通过非线性方程求解数值计算方法对对车险中隐含波动率（预期损失方差）进行求解，为保险的定价提供一种新方法。其次研究养老保险模型，通过具体实例利用非线性方程求解的方法求解投保人的收益率，为投保人购买养老保险提供一个参照。
二、期权中隐含波动率的研究
隐含波动率是期权中的概念，顾名思义就是隐藏在期权市场价格的波动率，对市场的行情有重要指标作用。
理论上讲，要想获得隐含波动率的大小，只需将能够在期权市场获得的标的价格、执行价格、无风险利率、到期日期权的实际市场价格当成已知量代入Black-Scholes期权定价模型，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率[1、2]。但是这是一个关于的非线性方程，需要借用非线性方程数值解法算出的值。
设是Black-Scholes模型中的理论价格与期权市场价格的差，则可以建立关于的方程。
看涨期权的隐含波动率方程函数
看跌期权的隐含波动率函数
于是问题等价为求解非线性方程的根。
下面以车险为例来计算保险中隐含波动率的大小，考虑某个保险价值20万元的汽车，险种的免赔率为10%，无风险利率为3.54%，保险时间为期5年，保险费为1.45万元。
购买一份保险好比是购买一份欧式看跌期权，于是要用看跌期权公式来计算：
这里表示投保产品的当前价值，代表保险合同中约定的赔偿金，为无风险利率，为投保的时间，表示保险费。
于是可得，，，，，
要想求得隐含波动率，即求解方程
的解，该方程为关于非线性方程，其中包含在正态累计函数，无法反解出，故简单迭代法与Aitken加速方法并不适合求解隐含波动率，对于牛顿迭代法而言，需要计算该函数的导数，然而该式复杂，想要求得也是相当麻烦。故采用二分法，弦截法，逆二次插值法进行求解。
在计算之前并不知道隐含波动率的大小，只知道其是一个大于0的数，可以先用二分法计算它的一个粗略的解，在用弦截法或逆二次插值法计算其比较精确的解。
二分法选取，，它表示用二分法在区间[0，100]计算隐含波动率，并且精度为0.01，计算结果过程如下表2-1所示：
经过二分法的粗略计算，可以该车险的波动率在0.2附近，于是可以用弦截法和逆差二次插值法，由于其收斂速度比二分法更快，更容易得到精确度高的解，且知道解的初始值范围，不会出现迭代发散的情况。弦截法需要两个初始的猜测值，可以取，，它表示初始值为0.1，0.3，精度为0.0001，最大迭代步数为10步，精度和步数可以根据具体的需要进行调整。
经过上面的数值计算可以得到在精确度在0.0001条件下，该保险保单中的隐含波动率为0.2177，且弦截法与逆二次插值计算的结果相同，且相同的精度下，逆二次插值比弦截法的迭代步数要少。
如果以上数据是正确的话，那说明该类保险预期发生事故的概率为0.2177，对于投保人来说，可以将其与自然条件下汽车发生事故的概率比较，如果自然条件下汽车发生事故的概率比0.2177要大，则对投保人有益。而对于保险公司而言，可以将其应用于车险的定价，以满足不同客户的要求。
参考文献：
[1]田文昭.金融资产的定价理论与数值计算[M].北京：北京大学出版社，2010.4：94-127.
[2]Wilmott，P.Paul Wilmott on Quantitative Finance. Wiley，2006.
[3]钱敏.基于资产定价理论的保险费率研究[J].重庆大学学报.2010，（3）.
[4]李庆扬，莫孜中，祁力群.非线性方程的数值解法.科学出版社. 1999.
[5]黄象鼎，曾钟纲，马亚南.非线性数值分析的理论与方法.武汉：武汉出版社.2004.
[6]李庆杨.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2010.5：212-237.
[7]边绪奎. 金融期权的基本特征及主要功能初探[J].鞍山师范学院学报，2002，4（2）.
[8]朱良成. 简评期权定价思维和保险精算思维的相互关系[J].新经济2014，（4）.