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众所周知,北京二十二中已故数学名师孙维刚先生生前的数学课堂教学是高效率的,孙先生是中国数学特级教师的杰出代表,本文通过重温孙先生一节精彩公开课“一元一次方程的应用”来分析数学高效课堂教学的特点.
有关“一元一次方程的应用”的教学,教师的一般做法是课上讲练大量例习题,但孙先生却只用了一个例题,“一辆装货的小车可以装半袋面粉和580斤大米或者可以装5袋面粉和40斤大米,求1袋面粉的重量”. 并对此例题采用多种角度的思考,列出9种解答方法,其教学让人回味无穷.
一、教学理念
教学理念决定着教学行为,同样的一堂课不同的数学教师有不同的教学效果,除了教师的数学专业功底外,还受制于教学理念. 教学理念就是对教和学的认识,对课堂教学设计以及教学行为起着主导作用. 孙先生认为知识是需要的,但更需要的是驾驭知识的能力,其本质,是高超的思维水平,是智力素质. 在他看来,教学目标应该是“通过知识的教学,培养学生的能力,在能力提高的基础上,不断发展和完善学生的智力素质,造就学生强大的头脑,把不聪明的孩子变聪明起来,让聪明的孩子更聪明”[1]. 造就学生“高超的思维水平”和“强大的头脑”的理念决定了孙先生整堂数学课的设计,主要着眼于激发学生的思维,促进学生深刻理解一元一次方程,进而灵活运用一元一次方程,而不是题型的演练.
二、教学内容
教师钻研教学内容,绝不是孤立看待某章节的教材内容,而是基于数学课程标准或教学大纲钻研各章节内容在数学教材中的地位,以及各章节内容之间的联系,并考虑各章节内容与上下级学段是如何衔接的,或立足高学段,看低学段的内容. 简言之,就是要在捭阖纵横与融会贯通中钻研教学内容,在居高临下中理解教材内容.
“在数学教学中,对任何细节都鼓励学生追根溯源,凡事都去问为什么,寻找它与其他事物之间的联系,使其逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯. ”[1]在“一元一次方程的应用”课上,孙先生让学生思考算术法与方程法的关系作为重要内容.
“每个数学概念、定理、公式等知识的教学,都是在见树木更见森林,见森林才见树木的状况下进行的. ”[1]孙先生在“一元一次方程的应用”的课上,引领学生发现代数的方法(列方程的方法)包含了算术的方法,算术的方法不过是代数方法的特例,将算术法和代数法很好地结合起来. 此外,在他的例题中还自然而然地列出了分式方程. 该课堂中,将学生带进“方程”之林,引领学生赏析“算术法”、“一元一次方程”以及“分式方程”等“大树”之各自的风采.
孙先生在谈如何教数学时多次说过,“八方联系、浑然一体、漫江碧透、鱼翔浅底”,该思想在这节课上体现得非常深刻.
三、教学重难点
从学的视角而言,学习重点是对学生进一步学习其他内容起着主导作用,具有应用的广泛性和后继学习的基础性两大特点的内容. 从学生学习的视角看,难点的形成主要有以下几个方面的原因:一是该知识远离学生的生活实际,学生缺乏相应的感性知识;二是新知识与旧知识联系不大或认知结构中的知识对新学习的知识有负迁移的影响. 在“一元一次方程的应用”课上,方程的思想应用范围广,对后继学习具有基础性地位,孙先生将理解方程的思想作为重点,而因小学算术法对用方程解应用题有影响,将理解小学算术法与方程方法的关系作为难点.
尽管列出了9种方程,而整堂课都是在渗透用两种不同的方式加以表述同一个量的方程思想,做到了重点突出. 针对学生容易犯的一个错误“x=x”,孙先生还指出了错误根源是方程左右两边实际上不是用两种不同方式在表达同一个量,避免该错误就是注意用两种不同的方式加以表述同一个量,该教学环节可谓是突出重点的点睛之笔,其中蕴涵着方程左右表达式中的A,B是和而不同,同一个量的两种表达方式构成了方程.
孙先生不是采取大多数教师的说法“找题目中的等量关系式”来告诉学生如何列方程,而是自己作了另外的总结:“任选题目中的一个量(明显的或隐含的),用两种不同方式分别表达,中间联一个等号,就是一个方程. ”通过9种解法的比较得出:“当选择的这个量是题目所求的量,方程右端的表达式是x,而左端的表达式中不许含有x时,其实这个左端正是算术法所列出的算式. ”孙先生还举了一个生动的说明:“在一个圆形跑道上,中间隔了一堵墙,跑道四周都是水. 哥哥在墙的这边,妹妹在墙的那边. 妹妹在哭,因为她饿了,哥哥手里有一块面包,如何才能让妹妹尽快吃到面包?”“最好的办法是妹妹和哥哥同时沿着跑道往中间跑,这样比哥哥一个人跑或者是妹妹一个人跑的劳动量要小,哥哥和妹妹都不会感到累. 方程也一样,把思考的劳动量分担到了左右两端,两端同时进行工作,每端的思考负荷都不大. ”这样解释,有助于学生将算术法和方程法在脑海里实现统一,并突破算术方法对方程解法的负迁移.
孙先生曾讲:“应当从系统的角度学习知识,置知识于系统中,着眼于知识之间的联系和规律,从而深入本质. ”在孙先生的课堂教学中,他是站在系统的高度突出重点的,孙先生还讲:“融会贯通的过程,使我们透过繁杂的现象,抓住了本质.”在孙先生的课堂教学中,他是在贯穿前后中,基于学生能够理解的语言突破难点的.
四、教学过程
孙先生认为:“如果学生只会因袭教师,历史将会凝滞. 从某种意义上讲,我在自己班上所做的是鼓励学生‘反对孙先生,打倒孙先生’.”[1] 所以在课堂上,孙先生总是创造条件,使学生总是想在老师前面,向教师(课本)挑战,让学生在思维运动中训练思维,真正做课堂的主人.
在“一元一次方程的应用”课上,孙先生告诉学生列方程解应用题的实质之后,举了一个例题,然后请学生从例题中找出一个量,再请学生用两种不同的方式将这个量表达出来,孙先生则在一旁审时度势,从造就一个强大的头脑风暴和引发思维的火花出发,不时点语引句.
学生做课堂的主人并不意味课堂一定就是热热闹闹的. 孙先生的课堂上,学生思维高度活跃,教室的气氛却是井然有序的安静,“静谧的气氛保障了深入的思考,而在达到胶着状态的构思行程中,情绪必须是凝重的”[1]. 孙先生的课堂教学过程没有让时间在对话、交流和讨论中流逝,而是在学生静悄悄的快速思维中流淌.
五、教学方法
“我们的教学不应该以学会知识为目标,在教学中,教师应把知识当做土和水,把学生当作花,以知识为营养,培养学生具有良好的意志品质,多方面的能力和智力素质,这才是教学真正要达到的目的. ”[1]孙先生主要通过精讲例题来实现上述目的,“题不在多,但求精彩”. 孙先生认为:“在解决方法上、解决思路上宜充满活力,综合性强,有灵活用武的广阔天地,而不是死气沉沉、繁琐地堆砌公式,冗长无味;同一类型题目有代表性即可,不必大量重复,不选用那些对于概念理解没有价值、思考方法不符合一般规律的偏题、怪题等. ”[1]孙先生主张“一题多解,达到熟悉;多解同一,寻求共性;多题归一,形成规律”。这种通过一道题的多种解法而进行的“八方联系”,活跃了学生的思维,接着又从多种解法中归纳出共同的本质,乃至最后归纳题型形成解题规律,都是让学生自己动脑去发现、去归纳、去证明、去总结. 孙先生指出:“真正可靠的解题思考规律的形成,应当是在多解归一的基础上,即在挖出一道题目的不同解法的共同点的基础上,再比较一批题目各自的共同点,发现它们的共同点的一致性,从而形成普适性的解题思考规律. ”[1]孙海平不会在不同操场上给刘翔示范跑110米栏若干遍,或要求刘翔在不同操场上跑若干遍. 而当今许多数学教师的教学方法却是给学生重复示范不同题型解答若干遍,或要求学生大量练习不同题型若干遍. 透过孙先生的课堂教学,高效率的数学课堂教学不是大量题型解答的示范,而是做促进学生深刻理解数学概念,进而灵活运用数学知识解决数学问题的引路人.
六、教师素质
孙先生在任何情况下上课,都始终保持一副和蔼可亲的笑容. 在课堂上总能听到他对学生或老师的赞美和肯定之声:“基础掌握得很扎实,我得感谢你们的小学老师”“这道题很有难度,你一分钟就做出来了,真不容易”……
孙先生提问也很有特色,每学完一个章节,每遇到一个难题,孙先生总要一声接一声地追问:“现在谁还不懂”“全懂的举手”“会的谁来推导一下”“同意的举手”“不同意的举手”……他通过举手情况判断学生是否真正理解和掌握了该知识.
孙先生的板书也设计得十分巧妙,如在“一元一次方程的应用”课上,一开始介绍列方程解应用题实质的时候,孙先生这样描述:“在题目描述的过程中,拉出一个量,用两种方式加以表达,中间联一个等号,方程即列成”,并强调让学生用铅笔写这个“拉”字,这就是孙先生精心设计的地方,接着通过量之间的比较,大家发现并一致同意将“拉”换成了“选”,一字之差,却促使学生深刻理解了一元一次方程.
孙先生曾讲:“学好数学,醉翁之意不仅在酒(知识).” 孙先生还讲:“教学不是自然主义,随便怎么做都可以达到目的的,而是在教学的每个环节、每个细节,都要周密思考、精心安排. ”[1]上好一堂高效的数学课,前提是教师要有较强的数学与教育专业素质,在先进教学理念支配下精心设计与调控教学,否则低效甚至负效的数学教学难以避免.
参考文献:
[1] 孙维刚.全班55%怎样考上北大、清华[M]. 修订本.长春:北方妇女儿童出版社,2000.
有关“一元一次方程的应用”的教学,教师的一般做法是课上讲练大量例习题,但孙先生却只用了一个例题,“一辆装货的小车可以装半袋面粉和580斤大米或者可以装5袋面粉和40斤大米,求1袋面粉的重量”. 并对此例题采用多种角度的思考,列出9种解答方法,其教学让人回味无穷.
一、教学理念
教学理念决定着教学行为,同样的一堂课不同的数学教师有不同的教学效果,除了教师的数学专业功底外,还受制于教学理念. 教学理念就是对教和学的认识,对课堂教学设计以及教学行为起着主导作用. 孙先生认为知识是需要的,但更需要的是驾驭知识的能力,其本质,是高超的思维水平,是智力素质. 在他看来,教学目标应该是“通过知识的教学,培养学生的能力,在能力提高的基础上,不断发展和完善学生的智力素质,造就学生强大的头脑,把不聪明的孩子变聪明起来,让聪明的孩子更聪明”[1]. 造就学生“高超的思维水平”和“强大的头脑”的理念决定了孙先生整堂数学课的设计,主要着眼于激发学生的思维,促进学生深刻理解一元一次方程,进而灵活运用一元一次方程,而不是题型的演练.
二、教学内容
教师钻研教学内容,绝不是孤立看待某章节的教材内容,而是基于数学课程标准或教学大纲钻研各章节内容在数学教材中的地位,以及各章节内容之间的联系,并考虑各章节内容与上下级学段是如何衔接的,或立足高学段,看低学段的内容. 简言之,就是要在捭阖纵横与融会贯通中钻研教学内容,在居高临下中理解教材内容.
“在数学教学中,对任何细节都鼓励学生追根溯源,凡事都去问为什么,寻找它与其他事物之间的联系,使其逐渐成为学生的一种根深蒂固的习惯. ”[1]在“一元一次方程的应用”课上,孙先生让学生思考算术法与方程法的关系作为重要内容.
“每个数学概念、定理、公式等知识的教学,都是在见树木更见森林,见森林才见树木的状况下进行的. ”[1]孙先生在“一元一次方程的应用”的课上,引领学生发现代数的方法(列方程的方法)包含了算术的方法,算术的方法不过是代数方法的特例,将算术法和代数法很好地结合起来. 此外,在他的例题中还自然而然地列出了分式方程. 该课堂中,将学生带进“方程”之林,引领学生赏析“算术法”、“一元一次方程”以及“分式方程”等“大树”之各自的风采.
孙先生在谈如何教数学时多次说过,“八方联系、浑然一体、漫江碧透、鱼翔浅底”,该思想在这节课上体现得非常深刻.
三、教学重难点
从学的视角而言,学习重点是对学生进一步学习其他内容起着主导作用,具有应用的广泛性和后继学习的基础性两大特点的内容. 从学生学习的视角看,难点的形成主要有以下几个方面的原因:一是该知识远离学生的生活实际,学生缺乏相应的感性知识;二是新知识与旧知识联系不大或认知结构中的知识对新学习的知识有负迁移的影响. 在“一元一次方程的应用”课上,方程的思想应用范围广,对后继学习具有基础性地位,孙先生将理解方程的思想作为重点,而因小学算术法对用方程解应用题有影响,将理解小学算术法与方程方法的关系作为难点.
尽管列出了9种方程,而整堂课都是在渗透用两种不同的方式加以表述同一个量的方程思想,做到了重点突出. 针对学生容易犯的一个错误“x=x”,孙先生还指出了错误根源是方程左右两边实际上不是用两种不同方式在表达同一个量,避免该错误就是注意用两种不同的方式加以表述同一个量,该教学环节可谓是突出重点的点睛之笔,其中蕴涵着方程左右表达式中的A,B是和而不同,同一个量的两种表达方式构成了方程.
孙先生不是采取大多数教师的说法“找题目中的等量关系式”来告诉学生如何列方程,而是自己作了另外的总结:“任选题目中的一个量(明显的或隐含的),用两种不同方式分别表达,中间联一个等号,就是一个方程. ”通过9种解法的比较得出:“当选择的这个量是题目所求的量,方程右端的表达式是x,而左端的表达式中不许含有x时,其实这个左端正是算术法所列出的算式. ”孙先生还举了一个生动的说明:“在一个圆形跑道上,中间隔了一堵墙,跑道四周都是水. 哥哥在墙的这边,妹妹在墙的那边. 妹妹在哭,因为她饿了,哥哥手里有一块面包,如何才能让妹妹尽快吃到面包?”“最好的办法是妹妹和哥哥同时沿着跑道往中间跑,这样比哥哥一个人跑或者是妹妹一个人跑的劳动量要小,哥哥和妹妹都不会感到累. 方程也一样,把思考的劳动量分担到了左右两端,两端同时进行工作,每端的思考负荷都不大. ”这样解释,有助于学生将算术法和方程法在脑海里实现统一,并突破算术方法对方程解法的负迁移.
孙先生曾讲:“应当从系统的角度学习知识,置知识于系统中,着眼于知识之间的联系和规律,从而深入本质. ”在孙先生的课堂教学中,他是站在系统的高度突出重点的,孙先生还讲:“融会贯通的过程,使我们透过繁杂的现象,抓住了本质.”在孙先生的课堂教学中,他是在贯穿前后中,基于学生能够理解的语言突破难点的.
四、教学过程
孙先生认为:“如果学生只会因袭教师,历史将会凝滞. 从某种意义上讲,我在自己班上所做的是鼓励学生‘反对孙先生,打倒孙先生’.”[1] 所以在课堂上,孙先生总是创造条件,使学生总是想在老师前面,向教师(课本)挑战,让学生在思维运动中训练思维,真正做课堂的主人.
在“一元一次方程的应用”课上,孙先生告诉学生列方程解应用题的实质之后,举了一个例题,然后请学生从例题中找出一个量,再请学生用两种不同的方式将这个量表达出来,孙先生则在一旁审时度势,从造就一个强大的头脑风暴和引发思维的火花出发,不时点语引句.
学生做课堂的主人并不意味课堂一定就是热热闹闹的. 孙先生的课堂上,学生思维高度活跃,教室的气氛却是井然有序的安静,“静谧的气氛保障了深入的思考,而在达到胶着状态的构思行程中,情绪必须是凝重的”[1]. 孙先生的课堂教学过程没有让时间在对话、交流和讨论中流逝,而是在学生静悄悄的快速思维中流淌.
五、教学方法
“我们的教学不应该以学会知识为目标,在教学中,教师应把知识当做土和水,把学生当作花,以知识为营养,培养学生具有良好的意志品质,多方面的能力和智力素质,这才是教学真正要达到的目的. ”[1]孙先生主要通过精讲例题来实现上述目的,“题不在多,但求精彩”. 孙先生认为:“在解决方法上、解决思路上宜充满活力,综合性强,有灵活用武的广阔天地,而不是死气沉沉、繁琐地堆砌公式,冗长无味;同一类型题目有代表性即可,不必大量重复,不选用那些对于概念理解没有价值、思考方法不符合一般规律的偏题、怪题等. ”[1]孙先生主张“一题多解,达到熟悉;多解同一,寻求共性;多题归一,形成规律”。这种通过一道题的多种解法而进行的“八方联系”,活跃了学生的思维,接着又从多种解法中归纳出共同的本质,乃至最后归纳题型形成解题规律,都是让学生自己动脑去发现、去归纳、去证明、去总结. 孙先生指出:“真正可靠的解题思考规律的形成,应当是在多解归一的基础上,即在挖出一道题目的不同解法的共同点的基础上,再比较一批题目各自的共同点,发现它们的共同点的一致性,从而形成普适性的解题思考规律. ”[1]孙海平不会在不同操场上给刘翔示范跑110米栏若干遍,或要求刘翔在不同操场上跑若干遍. 而当今许多数学教师的教学方法却是给学生重复示范不同题型解答若干遍,或要求学生大量练习不同题型若干遍. 透过孙先生的课堂教学,高效率的数学课堂教学不是大量题型解答的示范,而是做促进学生深刻理解数学概念,进而灵活运用数学知识解决数学问题的引路人.
六、教师素质
孙先生在任何情况下上课,都始终保持一副和蔼可亲的笑容. 在课堂上总能听到他对学生或老师的赞美和肯定之声:“基础掌握得很扎实,我得感谢你们的小学老师”“这道题很有难度,你一分钟就做出来了,真不容易”……
孙先生提问也很有特色,每学完一个章节,每遇到一个难题,孙先生总要一声接一声地追问:“现在谁还不懂”“全懂的举手”“会的谁来推导一下”“同意的举手”“不同意的举手”……他通过举手情况判断学生是否真正理解和掌握了该知识.
孙先生的板书也设计得十分巧妙,如在“一元一次方程的应用”课上,一开始介绍列方程解应用题实质的时候,孙先生这样描述:“在题目描述的过程中,拉出一个量,用两种方式加以表达,中间联一个等号,方程即列成”,并强调让学生用铅笔写这个“拉”字,这就是孙先生精心设计的地方,接着通过量之间的比较,大家发现并一致同意将“拉”换成了“选”,一字之差,却促使学生深刻理解了一元一次方程.
孙先生曾讲:“学好数学,醉翁之意不仅在酒(知识).” 孙先生还讲:“教学不是自然主义,随便怎么做都可以达到目的的,而是在教学的每个环节、每个细节,都要周密思考、精心安排. ”[1]上好一堂高效的数学课,前提是教师要有较强的数学与教育专业素质,在先进教学理念支配下精心设计与调控教学,否则低效甚至负效的数学教学难以避免.
参考文献:
[1] 孙维刚.全班55%怎样考上北大、清华[M]. 修订本.长春:北方妇女儿童出版社,2000.