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【摘要】判断学习者是否有效达成学习目标的重要标志之一，就是学生是否获得了数学理解。本文尝试阐述对数学理解的认识，并给出达成数学理解的教学实施建议：重设计，结合问题情境促进学生理解；重引导，结合数学活动加深学生理解；重建构，结合知识连接提升学生理解；重感悟，结合回顾反思内化学生理解。
【关键词】数学理解 有效学习
学生获得数学理解意味着什么？
孔凡哲教授认为：“学生获得了数学理解，就意味着这名学生能够用自己的故事表达相应的数学内涵，对其中本质内涵的反映准确无误。”认知心理学的观点则认为：“获得数学理解意味着数学的本质内涵已经融化在学生原有的数学认知结构之中，并形成相应的数学观念。”
一般来说，理解就是指学习者运用已有的知识经验去认识未知事物的属性、联系和关系，逐步认识新事物的本质和规律的思维活动。由于数学本身具有抽象性与概括性，学生在学习新知时，往往是先认识研究对象的外部特征，构建相应的心理表象，然后结合新旧知识间的联系，经过动态的探究与体验，逐步认识抽象的数学概念，理解数学知识的本质特征及规律，从而达到掌握并应用新知的学习目标。
所以，笔者认为数学理解的实质是在感知的基础上，通过思维加工，使新的数学知识与学习者认知结构中的原有知识发生相互作用，并将新知识和原有知识融为一体，内化为学习者的认知结构的过程。小学数学课堂教学应切实关注学生的数学理解，采取多种措施深化数学理解，促进学生数学素养的提升。
一、重设计，结合问题情境促进學生理解
现代认知心理学关于思维的研究成果表明：“思维通常是由问题情境产生的，且以解决问题为目的。”一般来说，创设问题情境就是根据教学内容，结合学生的认知发展水平和已有知识经验，将学习内容设计成若干与学生生活接近，且具有一定的趣味性和挑战性的问题。其实质在于揭示事物的矛盾或引起主体内心的冲突，从而唤起思维，激发学生积极思考，促进学生获得深层次理解。
如张齐华老师执教《认识整万数》时，关于教学数位拓展这一环节（学生原来只认识到个位、十位、百位、千位，本节课要认识万级中的四个数位），就是在老师不断创设的问题情境中，学生接连遭遇认知冲突，原有认知结构平衡被不断打破，最终在合作探究中，学生重构知识系统的过程。
张教师先让学生用三颗棋子放在每人一张纸印的计数器的不同位置，教师问：“都是三颗棋子，表示的数一样大吗？”从而引出数位、计数单位，这是学生的已有经验。紧接着教师让学生拨一个3万，学生困惑：计数器的最高位现在只有千位，怎么办呢？学生纷纷说不行，这时有一个学生站起来说：“行。”在千位上放上30个珠子就是3万。教师用课件演示：在千位上放30个珠子。在得到老师的肯定后，同学们纷纷投来赞许的目光。但教师结合课件又追问：“看看这么多的珠子，你们对他的做法有意见吗？”一石激起千层浪，刚刚形成的统一意见被打破，学生再次陷入认知冲突。生1：“计数器每个数位上只有10个珠子，没有30个珠子。”生2：“计数器上没有这么长的针，30个珠子叠加在一起会掉下来。”（屏幕显示，确是如此）生3：“前面我们学过满十进一，何况现在已经满三十了。”听他们这么一说，其他人（包括刚才提出在千位上放30个珠子的同学）也觉得有点不对劲。教师顺水推舟地问：“那能不能摆出一个符合规则的三万？”学生提出不能，因为没有万位。教师：“如果允许两个人合作呢？”学生顿悟：同桌的两个同学把两张纸印的计数器拼接在一起（此处有效渗透了分级的概念）。学生纷纷在左边计数器上摆上3个珠子。教师又问：“这是个位，并不是……”（学生第三次陷入冲突），有学生提出将“个”改成“万”，其余依次改为“十万、百万、千万”。教师追问怎么改最简便（只要在原来的个、十、百、千后面分别加一个“万”字）。此处向学生渗透了万级和个级的一一对应关系，同时为后面分级读数做了铺垫，学生对数位这一知识的拓展自然也就水到渠成了。
二、重引导，结合数学活动加深学生理解
理解的过程需要学生经历探究、操作、交流等一系列数学活动，对头脑中的表象能进行初步加工，并形成一定的认识，在此基础上教师恰当的点拨与引导能促使学生对所研究的知识做出更全面的理解。
如教学六年级“圆柱的认识及表面积”一课时，学生已有了生活中关于柱体的经验，但是他们往往会把生活中的类似圆柱（如柱子、粉笔等实质上是圆台）和数学上的圆柱混为一谈。这时就需要教师帮助引导学生对数学上的圆柱进行全面而深刻的认识，结合“指一指”“摸一摸”“比一比”“剪一剪”“算一算”等数学活动，充分认识数学上的圆柱上下是两个完全相同的圆，沿着高剪开后，侧面是一个长方形，从而对圆柱特征形成良好的认知结构。
当学生认识到这些特征并能解决类似已知底面半径和高求圆柱表面积（如图1）时，说明学生对于圆柱表面积的认识及计算算理的理解都达到了较好水平。在此基础上若还能解决“选择下列（1）～（8）中哪几号材料可以制成圆柱体，共有多少种不同的选法”（如图2，单位：厘米）这样的问题，则说明学生已能对该部分知识灵活运用，达到了高层次理解。
三、重建构，结合知识连接提升学生理解
数学学习往往呈螺旋上升式，所学知识既与原有知识有关，也对后续学习产生影响，其内在有着较为紧密的结构性。因此教师在组织教学时，应充分引领学生认识新旧知识间的内在联系，注重打通知识间的连接，从而帮助学生重建认知结构。
例如，教学“异分母分数加减法”时，首先需要学生对以前学习过的同分母分数加减法的计算方法熟练掌握。教师可以先复习几组同分母分数加减法的练习，再出示新授例题：，引导学生探究：“可以通过哪些方法算出结果？”“为何不能直接相加？”组织学生讨论后汇报：①转化成小数计算，②画图推导后计算，③通分后再计算。让学生对这几种方法进行比较，找出方法间的共同点：都是将新知转化成以前学过的方法加以解决（这里又蕴含了转化策略的渗透）。在呈现多种方法之后，师生可以通过比较讨论得出最优方法，即通分后再计算。从而使学生认识到异分母分数加减法与同分母分数加减法间的本质联系——只有分数单位相同时才能直接相加减。
教学到此时，学生对于“为什么只有分数单位相同时才能直接相加减”这一结论可能还不能完全理解。教师可以将之前学过的“整数”“小数”“分数”加减法计算法则集中呈现，让学生理解“整数相加减需要相同数位对齐”“小数相加减需小数点对齐”“分数加减法需要同分母后才能相加减”，这三者都体现了加减法运算法则的本质特征：“只有当计数单位相同时才能相加减。”此时新旧知识间的连接打通了，学生也就真正理解了。
四、重感悟，结合回顾反思内化学生理解
经验告诉我们，学生出现理解上的困难，有时仅仅是因为“思维上迈不过一道坎儿”。教学过程中结合回顾与反思，如果学生突然顿悟了，自然也就理解了，教师需要做的就是增加让学生体验感悟的机会。
在教学“长方体和正方体体积的统一公式”时，教师适时引导学生观察长方体和正方体的示意图（如图3），认识了“底面积”概念及计算方法，再联系前一节课所学的长方体和正方体体积公式（V长=abc，V正=a×a×a），探究“长
方体和正方体的体积还可以怎么算”。最终，学生交流汇报得出长方体、正方体体积=底面积×高（即V=Sh）。在学生探讨“你能说说这个公式是怎么得到的吗”时，多数学生能结合原有体积公式，理解这儿的S=ab，S=a×a，只不过原来的棱长c和棱长a统一称之为“h”了。所以说，多数学生的理解是基于对原有体积公式的推理上。
此时若适当回顾反思，不难发现长方体体积还可以是“侧面积×长”或“正面积×宽”。这两种计算方法与“底面积×高”的区别仅在于长方体不同的摆放位置，其共同实质是：某一面面积与其相垂直棱长的乘积，都可以计算出长方体体积。学生在这一点上有顿悟，数学理解就到位了。
【关键词】数学理解 有效学习
学生获得数学理解意味着什么？
孔凡哲教授认为：“学生获得了数学理解，就意味着这名学生能够用自己的故事表达相应的数学内涵，对其中本质内涵的反映准确无误。”认知心理学的观点则认为：“获得数学理解意味着数学的本质内涵已经融化在学生原有的数学认知结构之中，并形成相应的数学观念。”
一般来说，理解就是指学习者运用已有的知识经验去认识未知事物的属性、联系和关系，逐步认识新事物的本质和规律的思维活动。由于数学本身具有抽象性与概括性，学生在学习新知时，往往是先认识研究对象的外部特征，构建相应的心理表象，然后结合新旧知识间的联系，经过动态的探究与体验，逐步认识抽象的数学概念，理解数学知识的本质特征及规律，从而达到掌握并应用新知的学习目标。
所以，笔者认为数学理解的实质是在感知的基础上，通过思维加工，使新的数学知识与学习者认知结构中的原有知识发生相互作用，并将新知识和原有知识融为一体，内化为学习者的认知结构的过程。小学数学课堂教学应切实关注学生的数学理解，采取多种措施深化数学理解，促进学生数学素养的提升。
一、重设计，结合问题情境促进學生理解
现代认知心理学关于思维的研究成果表明：“思维通常是由问题情境产生的，且以解决问题为目的。”一般来说，创设问题情境就是根据教学内容，结合学生的认知发展水平和已有知识经验，将学习内容设计成若干与学生生活接近，且具有一定的趣味性和挑战性的问题。其实质在于揭示事物的矛盾或引起主体内心的冲突，从而唤起思维，激发学生积极思考，促进学生获得深层次理解。
如张齐华老师执教《认识整万数》时，关于教学数位拓展这一环节（学生原来只认识到个位、十位、百位、千位，本节课要认识万级中的四个数位），就是在老师不断创设的问题情境中，学生接连遭遇认知冲突，原有认知结构平衡被不断打破，最终在合作探究中，学生重构知识系统的过程。
张教师先让学生用三颗棋子放在每人一张纸印的计数器的不同位置，教师问：“都是三颗棋子，表示的数一样大吗？”从而引出数位、计数单位，这是学生的已有经验。紧接着教师让学生拨一个3万，学生困惑：计数器的最高位现在只有千位，怎么办呢？学生纷纷说不行，这时有一个学生站起来说：“行。”在千位上放上30个珠子就是3万。教师用课件演示：在千位上放30个珠子。在得到老师的肯定后，同学们纷纷投来赞许的目光。但教师结合课件又追问：“看看这么多的珠子，你们对他的做法有意见吗？”一石激起千层浪，刚刚形成的统一意见被打破，学生再次陷入认知冲突。生1：“计数器每个数位上只有10个珠子，没有30个珠子。”生2：“计数器上没有这么长的针，30个珠子叠加在一起会掉下来。”（屏幕显示，确是如此）生3：“前面我们学过满十进一，何况现在已经满三十了。”听他们这么一说，其他人（包括刚才提出在千位上放30个珠子的同学）也觉得有点不对劲。教师顺水推舟地问：“那能不能摆出一个符合规则的三万？”学生提出不能，因为没有万位。教师：“如果允许两个人合作呢？”学生顿悟：同桌的两个同学把两张纸印的计数器拼接在一起（此处有效渗透了分级的概念）。学生纷纷在左边计数器上摆上3个珠子。教师又问：“这是个位，并不是……”（学生第三次陷入冲突），有学生提出将“个”改成“万”，其余依次改为“十万、百万、千万”。教师追问怎么改最简便（只要在原来的个、十、百、千后面分别加一个“万”字）。此处向学生渗透了万级和个级的一一对应关系，同时为后面分级读数做了铺垫，学生对数位这一知识的拓展自然也就水到渠成了。
二、重引导，结合数学活动加深学生理解
理解的过程需要学生经历探究、操作、交流等一系列数学活动，对头脑中的表象能进行初步加工，并形成一定的认识，在此基础上教师恰当的点拨与引导能促使学生对所研究的知识做出更全面的理解。
如教学六年级“圆柱的认识及表面积”一课时，学生已有了生活中关于柱体的经验，但是他们往往会把生活中的类似圆柱（如柱子、粉笔等实质上是圆台）和数学上的圆柱混为一谈。这时就需要教师帮助引导学生对数学上的圆柱进行全面而深刻的认识，结合“指一指”“摸一摸”“比一比”“剪一剪”“算一算”等数学活动，充分认识数学上的圆柱上下是两个完全相同的圆，沿着高剪开后，侧面是一个长方形，从而对圆柱特征形成良好的认知结构。
当学生认识到这些特征并能解决类似已知底面半径和高求圆柱表面积（如图1）时，说明学生对于圆柱表面积的认识及计算算理的理解都达到了较好水平。在此基础上若还能解决“选择下列（1）～（8）中哪几号材料可以制成圆柱体，共有多少种不同的选法”（如图2，单位：厘米）这样的问题，则说明学生已能对该部分知识灵活运用，达到了高层次理解。
三、重建构，结合知识连接提升学生理解
数学学习往往呈螺旋上升式，所学知识既与原有知识有关，也对后续学习产生影响，其内在有着较为紧密的结构性。因此教师在组织教学时，应充分引领学生认识新旧知识间的内在联系，注重打通知识间的连接，从而帮助学生重建认知结构。
例如，教学“异分母分数加减法”时，首先需要学生对以前学习过的同分母分数加减法的计算方法熟练掌握。教师可以先复习几组同分母分数加减法的练习，再出示新授例题：，引导学生探究：“可以通过哪些方法算出结果？”“为何不能直接相加？”组织学生讨论后汇报：①转化成小数计算，②画图推导后计算，③通分后再计算。让学生对这几种方法进行比较，找出方法间的共同点：都是将新知转化成以前学过的方法加以解决（这里又蕴含了转化策略的渗透）。在呈现多种方法之后，师生可以通过比较讨论得出最优方法，即通分后再计算。从而使学生认识到异分母分数加减法与同分母分数加减法间的本质联系——只有分数单位相同时才能直接相加减。
教学到此时，学生对于“为什么只有分数单位相同时才能直接相加减”这一结论可能还不能完全理解。教师可以将之前学过的“整数”“小数”“分数”加减法计算法则集中呈现，让学生理解“整数相加减需要相同数位对齐”“小数相加减需小数点对齐”“分数加减法需要同分母后才能相加减”，这三者都体现了加减法运算法则的本质特征：“只有当计数单位相同时才能相加减。”此时新旧知识间的连接打通了，学生也就真正理解了。
四、重感悟，结合回顾反思内化学生理解
经验告诉我们，学生出现理解上的困难，有时仅仅是因为“思维上迈不过一道坎儿”。教学过程中结合回顾与反思，如果学生突然顿悟了，自然也就理解了，教师需要做的就是增加让学生体验感悟的机会。
在教学“长方体和正方体体积的统一公式”时，教师适时引导学生观察长方体和正方体的示意图（如图3），认识了“底面积”概念及计算方法，再联系前一节课所学的长方体和正方体体积公式（V长=abc，V正=a×a×a），探究“长
方体和正方体的体积还可以怎么算”。最终，学生交流汇报得出长方体、正方体体积=底面积×高（即V=Sh）。在学生探讨“你能说说这个公式是怎么得到的吗”时，多数学生能结合原有体积公式，理解这儿的S=ab，S=a×a，只不过原来的棱长c和棱长a统一称之为“h”了。所以说，多数学生的理解是基于对原有体积公式的推理上。
此时若适当回顾反思，不难发现长方体体积还可以是“侧面积×长”或“正面积×宽”。这两种计算方法与“底面积×高”的区别仅在于长方体不同的摆放位置，其共同实质是：某一面面积与其相垂直棱长的乘积，都可以计算出长方体体积。学生在这一点上有顿悟，数学理解就到位了。