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【摘 要】由于学生对概念掌握不清，以及对于幂函数的图象理解不到位，在解题中出现了各种错误；判断一个幂的形式是否为幂函数，把握住系数为1，不含有常数项，底数只能为自变量x，而不能是x的函数几个因素。
【关键词】幂函数 错解剖析
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。由于学生对概念掌握不清，以及对于幂函数的图象理解不到位，在解题中出现了各种错误。本文针对学生初学时易犯的一些错误进行分析，进一步加强对幂函数的理解。
一、幂函数的概念不清楚
例1.下列六个函数，其中幂函数的个数是（ ）
（1）y＝（2）y＝2
（3）y=3x2 （4）y＝x+1
（5）y＝（x+1）-1（6）y＝xx
A.1 B.3 C.5 D.6
错解1：全部是幂函数，选择D。
错解2：除（4）外都是幂函数，选择C。
错解3：（3）、（5）、（6）是幂函数，选择B。
剖析：产生以上错误的原因主要是对于幂函数的概念掌握不清楚，判断函数是不是幂函数，只需要根据定义即可。函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。对于（2），常数函数一般不是幂函数，只有y=1才是幂函数，因此y＝2不是幂函数。对于（3），由于其系数不是1，不满足定义，不是幂函数。对于（4），由于包含常数项，不是幂函数。对于（5），自变量不是x，而是x的函数，不是幂函数。对于（6），指数不是常数，不是幂函数。
正解：只有（1）是幂函数，选择A。
例2.确定m的取值范围，使幂函数f（x）=（m2－m＋1）xm2-2m-1的图象在第一象限单调递减。
错解：依题意可得，m2-2m-1＜0，即1-＜m＜1+。
剖析：忽视了带字母参数的函数是幂函数时，一定要使系数为1。
正解：依题意有：m2-m+1=1m2-2m-1＜0?圯
m=0或m=11-＜m＜1+?圯m=0或m=1
反思：判断一个幂的形式是否为幂函数，把握住系数为1，不含有常数项，底数只能为自变量x，而不能是x的函数等几个要素。
二、性质记忆不准确
例3.关于幂函数的说法，其中正确的是（ ）
A.函数y=在定义域内是减函数
B.幂函数f（x）= xa（a∈Q）为奇函数，且图象过原点，则f（x）=xa在（－∞，＋∞）上为增函数。
C.任何幂函数的图象一定经过第一象限且可以经过第四象限。
D.任何两个幂函数的图象最多可以有四个公共点。
错解：A
剖析：函数y=在（0，＋∞）上是减函数，在（-∞，0）上也是减函数，但在定义域内并不是减函数，故A错误。任何幂函数的图象一定不经过第四象限，C错误。任何两个幂函数的图象最多可以有三个公共点，D错误。
正解：由幂函数f（x）= xa的图象过坐标原点，从而有a＞0，f（0）=0。由幂函数的特性知f（x）在（0，＋∞）上是递增函数，又据f（x）是奇函数可知，f（x）在（－∞，0）上也是递增函数，设x1＜0＜x2，则f（x1）＜f（0）＜f（x2）。故f（x）= xa（a∈Q）在（－∞，＋∞）上为增函数。选择B。
反思：幂函数的图象比较复杂，其性质与幂指数关系密切，应该重点记忆。
三、比较大小产生错误
例4.比较0.60.4，0.50.6两个数的大小。
错解：取0.60.6，对于0.60.4与0.60.6看作幂函数，其在第一象限递增，故0.60.4<0.６0.6;而对于0.50.6与0.60.6可以看作指数函数，其递减，故0.50.6＞0.60.6，因此0.60.4<0.50.6。
剖析：这里混淆了幂函数与指数函数，对于0.60.4与0.60.6应看作指数函数，而对于0.50.6与0.60.6则应该看作幂函数，错解就在这里出错。
正解：考查指数函数y=0.6x，其在定义域内递减，故0.60.4＞0.60.6;考查幂函数y=x0.6，它在第一象限递增，因此0.50.6<0.60.6，故有0.60.4＞0.50.6。
反思：幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量。因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，要看变量所在的位置才能决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决。
（河北乐亭县汤家河高级中学；063606）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】幂函数 错解剖析
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。由于学生对概念掌握不清，以及对于幂函数的图象理解不到位，在解题中出现了各种错误。本文针对学生初学时易犯的一些错误进行分析，进一步加强对幂函数的理解。
一、幂函数的概念不清楚
例1.下列六个函数，其中幂函数的个数是（ ）
（1）y＝（2）y＝2
（3）y=3x2 （4）y＝x+1
（5）y＝（x+1）-1（6）y＝xx
A.1 B.3 C.5 D.6
错解1：全部是幂函数，选择D。
错解2：除（4）外都是幂函数，选择C。
错解3：（3）、（5）、（6）是幂函数，选择B。
剖析：产生以上错误的原因主要是对于幂函数的概念掌握不清楚，判断函数是不是幂函数，只需要根据定义即可。函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。对于（2），常数函数一般不是幂函数，只有y=1才是幂函数，因此y＝2不是幂函数。对于（3），由于其系数不是1，不满足定义，不是幂函数。对于（4），由于包含常数项，不是幂函数。对于（5），自变量不是x，而是x的函数，不是幂函数。对于（6），指数不是常数，不是幂函数。
正解：只有（1）是幂函数，选择A。
例2.确定m的取值范围，使幂函数f（x）=（m2－m＋1）xm2-2m-1的图象在第一象限单调递减。
错解：依题意可得，m2-2m-1＜0，即1-＜m＜1+。
剖析：忽视了带字母参数的函数是幂函数时，一定要使系数为1。
正解：依题意有：m2-m+1=1m2-2m-1＜0?圯
m=0或m=11-＜m＜1+?圯m=0或m=1
反思：判断一个幂的形式是否为幂函数，把握住系数为1，不含有常数项，底数只能为自变量x，而不能是x的函数等几个要素。
二、性质记忆不准确
例3.关于幂函数的说法，其中正确的是（ ）
A.函数y=在定义域内是减函数
B.幂函数f（x）= xa（a∈Q）为奇函数，且图象过原点，则f（x）=xa在（－∞，＋∞）上为增函数。
C.任何幂函数的图象一定经过第一象限且可以经过第四象限。
D.任何两个幂函数的图象最多可以有四个公共点。
错解：A
剖析：函数y=在（0，＋∞）上是减函数，在（-∞，0）上也是减函数，但在定义域内并不是减函数，故A错误。任何幂函数的图象一定不经过第四象限，C错误。任何两个幂函数的图象最多可以有三个公共点，D错误。
正解：由幂函数f（x）= xa的图象过坐标原点，从而有a＞0，f（0）=0。由幂函数的特性知f（x）在（0，＋∞）上是递增函数，又据f（x）是奇函数可知，f（x）在（－∞，0）上也是递增函数，设x1＜0＜x2，则f（x1）＜f（0）＜f（x2）。故f（x）= xa（a∈Q）在（－∞，＋∞）上为增函数。选择B。
反思：幂函数的图象比较复杂，其性质与幂指数关系密切，应该重点记忆。
三、比较大小产生错误
例4.比较0.60.4，0.50.6两个数的大小。
错解：取0.60.6，对于0.60.4与0.60.6看作幂函数，其在第一象限递增，故0.60.4<0.６0.6;而对于0.50.6与0.60.6可以看作指数函数，其递减，故0.50.6＞0.60.6，因此0.60.4<0.50.6。
剖析：这里混淆了幂函数与指数函数，对于0.60.4与0.60.6应看作指数函数，而对于0.50.6与0.60.6则应该看作幂函数，错解就在这里出错。
正解：考查指数函数y=0.6x，其在定义域内递减，故0.60.4＞0.60.6;考查幂函数y=x0.6，它在第一象限递增，因此0.50.6<0.60.6，故有0.60.4＞0.50.6。
反思：幂函数与指数函数的主要区别是：幂函数是底数为变量，指数函数是指数为变量。因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，要看变量所在的位置才能决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决。
（河北乐亭县汤家河高级中学；063606）
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