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[摘 要]高效聚光太阳电池具有很高的光电转化效率，成为世界各国研究的热点领域。但在利用聚光系统对高效聚光太阳电池充电的过程中会产生过高的温度，从而影响太阳电池效率的提高。所以，对太阳电池散热的研究具有实际意义。本文运用数学物理方法，通过建立温度梯度方程，利用边界条件处理微分方程，在使用matlab分析和设计散热板，最后，用origin软件处理数据。根据建立的散热板热传导方程，继而对一维、二维散热板的结构及可行性进行分析。该研究表明：材料温度梯度随着导热率的增加而增大；一维导热过程是一个先快后慢的过程，当温度从500℃降到25℃，理论计算需要导热铜棒40m；二维散热板采用平板结构，当温度从200℃降至常温，需要平板面积至少为0.2m2。通过散热板来解决太阳电池发电过程中过高温度的问题，从而为高效聚光太阳电池温度进一步研究打下基础。
[关键词]太阳电池 热传导方程 温度梯度 散热板 数学物理方法
中图分类号：TK513 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2013）25-0251-02
随着我国经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，人们对能源的需求日益增大，开发新能源成为一种必然。其中，太阳能发电技术（光伏技术）已成为近年来发展最快、最具活力的研究领域之一。
太阳电池是太阳能发电过程中重要的半导体器件，虽然它已经历了以晶体硅材料为代表的第一代太阳电池和基于薄膜材料的第二代太阳电池，但是降低成本、提高效率一直是太阳电池研究的热点和追求的目标。第三代太阳电池是围绕以更精密的技术提高效率而使其成本小幅度增加发展起来的。已提出的第三代太阳电池中，已实现并获得较高效率的是高效聚光太阳电池。
目前，高效聚光太阳电池已广泛用作航天器空间主电源，呈现出替代硅太阳电池、甚至单结砷化镓太阳电池的发展趋势。其高效率、高光电压（2600mV）、较低的光电流密度（17mA/cm2），以及较好的温度特性（每升高1℃性能下降2‰，可在200℃情况下正常工作，聚光倍数可达到1000倍以上）等优点非常适合制成聚光电池，特别在高聚光倍数下，其转换效率很高，而发电成本可显著降低。
但是现在对高效聚光太阳电池的研究主要方向仍然是围绕着如何降低成本、提高效率。高效聚光太阳电池虽然有很高的转换效率，然而聚光系统在高倍率聚光工作条件下，由于晶格振动和吸收不完全等原因，太阳电池会达到很高的温度。如果不降低太阳电池在聚光系统下充电的温度，将会产生一系列的影响，比如电池转换效率降低、电池的稳定性降低、电池的使用寿命缩短等问题。
对此，我们采用散热板来降低温度。通过建立散热板的热传导方程，可以看出：一维散热板采用的是一根金属棒，其导热过程是一个先快后慢的过程，但因其长度问题，在实际操作过程中不可行；二维散热板采用平板结构，相对一维而言，不仅节省材料，而且大大缩小了线度，具有可行性。本课题就针对高效聚光太阳电池在充电过程中温度过高的问题进行了一些探讨。
1 热传导方程的建立和求解
1.1 热传导方程的建立
为了能方便的建立起热传导方程，进行了如下假设：设计出来的散热板为圆柱体，设圆柱体的半径为，高为，上底有热流强度为的热量均匀流入，下底面与另外一种温度恒为的介质进行着热交换，圆柱体侧面是绝热的。从而求解散热板圆柱体内稳定的温度分布。图1即为聚光太阳电池以及散热装置图。
根据数学物理方法得知，对于各向同性的均匀介质，其热传导方程为：
式中
如果介质中有热源，比如介质内部通有电流，有化学反应产生，或有放射性。设在单位时间单位体积中产生的热量为则热传导方程变为：
在一定条件下，当温度分布达到稳定状态时，，则方程变成稳定场方程：
此式称为泊松方程。如果无热源，则方程简化为：
此式称为拉普拉斯方程。
1.1.1 散热板热传导方程的建立
建立柱坐标系，圆柱体散热板在处与高效聚光太阳电池接触，有热流强度为的热量流入，这种情况属于边界条件，不能把当做热源，而把方程写为：，该等式右边的非齐次项意味着圆柱体散热板中处处有热源，且强度为，因此，当温度分布达到稳定状态时的圆柱体散热板是无源的。
所以温度分布达到稳定状态时散热板的热传导方程满足拉普拉斯方程：
1.1.2 散热板初始条件的确立
对于稳定场问题（静电场，稳定温度分布，稳定浓度分布等）不需要初始条件，因为微分方程（拉普拉斯方程）中不含时间变量。
1.1.3 散热板边界条件的确立
（1）上底有热流强度为的热量均匀流入，即：
得：
（2）下底与另一种温度为的介质进行热交换，在的时间内由物体内部沿下底面法线方向进入下底面的热量为，由于与外界进行热交换，温度差引起热量流失为：，是常数，因此有：
根据傅里叶定律，有：
因此有：
移项整理得：
其中为散热板与底面介质的热交换系数，为散热板材料的热传导率，上式即为下底面所满足的边界条件。
1.1.4 散热板温度分布的定解问题
各向同性的均匀介质，侧面绝热的圆柱体散热板，当温度分布达到稳定状态时的定解问题为：
下面对上述定解问题进行求解：
设，代入定解问题并分离变量，可知关于的方程为零阶贝塞尔方程，其解为，代入边界条件即，，为第个零点。其一般解为：
代入非齐次边界条件求，即：
（1）
（2）
把展成傅里叶——贝塞尔级数，有：
（其中）
化简得：
但对于（2）式由于左边含有两个求和运算，无法解出和的关系，从而未能继续进行化解，这也是无法求解三维情况下热传导方程的解的主要原因。 由于三维情况下热传导方程的解无法解出，所以只能转而研究一维和二维情况下散热板的热传导方程。
1.2 一维散热板的热传导方程的建立和求解
设杆的长度为，杆的初始温度为，保持杆的一端温度不变，另一端恒有热流强度为的热量流入。
该问题的定解问题为：
该定解问题的最终解为：
其中为热导率；为比热容；为密度。
若金属杆选用的材料为铜，则，，，若令，，。
图1是一维导热铜棒热传导图，该图横坐标表示导热棒的长度；纵坐标表示传导温度。从该图可知：随着导体棒长度的增加，导体棒的温度在降低，而且是先快后慢的过程。这是因为导体棒上温度梯度是一个从高到低的一个过程。所以，在前10m导体棒上温度梯度很大；另一方面，在导体棒传导绝热的条件下，理论计算需要铜棒的长度为40m。如下是相同条件下，纯钢、纯银、纯铜传导对照图程序。
图2是不同热导体热传导图。通过该图可知：1）和图1的热传导相同，纯银、纯钢的热传导也是一个先快再慢的过程；2）通过对比可知，三种材料中铜的导热性能最好。这是因为相同条件下，铜的导热梯度最大。所以我们选择铜材料作为导热材料。
1.3 二维散热板的热传导方程的建立和求解
设选用的铁材料，输入热量恒定为，密度，比热容，热导率的无限长铜板，现在有一横流点热源对板壁一边进行加热，输入的热量恒定为，计算一定时间（比如2小时）后板的温度分布情况。
针对此内问题，可以采用直角坐标进行求解，其定界问题为：
运用matlab解二维热传导方程解如图3，
2 高效激光太阳电池散热板的可行性分析
以上了建立散热板的热传导方程，通过热传导的方程我们可以分析一维和二维散热板的构造及实现的可能性。
2.1 一维散热板的可行性分析
一维情况下散热板是一根散热杆，在考虑实际问题时，我们既要考虑它的散热情况，还要具体考虑它的可行性。
从图1可看出：横坐标表示铜棒的长度，纵坐标表示温度。在棒的长度为0m到5m范围内，温度急剧下降；在10m到100m范围内，温度下降速度减慢。在开始时，由于棒的初始端存在很大的温度梯度，所有温度会急剧下降。随着杆的长度不断的增加，时间的增长，杆内的温度梯度会不断的缩小，所以在10m以后温度下降的趋势变缓。从图中我们还可以知道，当杆的长度达到80m以后温度的变化随时间的增加和杆的增长几乎不再较少，热传导趋于稳定。这说明若想要把有500℃的热量流入的金属杆降到常温，那么至少需要80m长的金属杆。这样长的金属杆在实际问题中是不可能建成散热板的。所有采用金属杆来做散热板的发案是不可能得到实现的。
图2选用不同材料的金属，可知热传导图也是十分相似的。这三条线它的变化和上面所述的一样，再此不再赘述。我们可以看出在最下面的是纯铜，所以选用不同材料的金属来代替铜从而缩短金属杆的长度是不可能实现的。
虽然在上面的问题中，我们是假设金属杆的散热棒的侧面是绝热的，但是对于80m长的金属杆而言就算把侧面散热考虑进去也是不可能在实际生活中用这么长的材料来建立散热板的。
综上所述，用细棒来做散热板是不现实的。
2.2 二维散热板的可行性分析
现在选用图3，针对散热板做一些分析：从图中我们可以看到如果想把有200℃的热量输入的散热板降到常温，平板的长度至少是1m长，宽度至少要0.2m， 那么平板的面积至少要0.2m2。这在现实生活中是可以实现的，所以建立二维散热板来对高效聚光太阳电池进行散热是可行的。
3 结论和展望
本文利用数学物理方法建立热传导方程，并结合数学相关领域对建立的热传导方程进行了一系列求解。通过求解方程，应用数学软件matlab做计算，再通过origin软件做出图形来，结合图形设计出散热板。结果表明：当温度从500℃降到25℃时，一维纯铜模型需要铜棒长度大约40m；和纯银、纯
钢相比，纯铜的导热性能更好；二维模型是将纯铜散热棒换做散热板，当温度从200℃降至常温，需要平板面积至少是0.2m2，相比一维散热棒，二维模型具有所占空间小，节省材料的特点。采用散热板来降低高效聚光太阳电池的温度，不仅有效地提高了电池的转换效率，同时也不同程度的降低了生产成本。所以，散热板的研究对高效聚光太阳电池具有价值性的意义。理论联系实际设计出的散热板，从根本上解决高效聚光太阳电池在高效聚光系统下温度过高的问题，使得高效聚光太阳电池在效率提高方面有更大的突破。
参考文献
[1] 四川大学数学系高等数学教研室.数学物理方法.[M]高等教育出版社. 1985年6月第2版.
[2] 于涛.数学物理方程与特殊函数.[M]哈尔滨工程大学出版社.2006年3月第1版.
[3] 张渭滨.数学物理方程.[M]清华大学出版社.2007年8月第1版.
[4] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化.[M]清华大学出版社. 2004年11月第1版.
[5] 王洪元.MATLAB语言及其在电子信息工程中的应用.[M]清华大学出版社.2004年12月第1版.
[6] 李雷.涂洁磊.高倍率三结砷化镓太阳电池中的三个关键问题的研究. [J]云南师范大学出版社. 2010年5月.
[7] 苏佳园.二维热传导方程有限差分法的matlab实现.
[8] 秦允豪.普通物理学教程热学[M]高等教育出版社.2004年6月第2版
作者简介
李雷（1983），男，山西襄汾人，楚雄师范学院学术后备人才项目（11YJRC19）资助，主要研究方向：太阳能光伏系统。
[关键词]太阳电池 热传导方程 温度梯度 散热板 数学物理方法
中图分类号：TK513 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2013）25-0251-02
随着我国经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，人们对能源的需求日益增大，开发新能源成为一种必然。其中，太阳能发电技术（光伏技术）已成为近年来发展最快、最具活力的研究领域之一。
太阳电池是太阳能发电过程中重要的半导体器件，虽然它已经历了以晶体硅材料为代表的第一代太阳电池和基于薄膜材料的第二代太阳电池，但是降低成本、提高效率一直是太阳电池研究的热点和追求的目标。第三代太阳电池是围绕以更精密的技术提高效率而使其成本小幅度增加发展起来的。已提出的第三代太阳电池中，已实现并获得较高效率的是高效聚光太阳电池。
目前，高效聚光太阳电池已广泛用作航天器空间主电源，呈现出替代硅太阳电池、甚至单结砷化镓太阳电池的发展趋势。其高效率、高光电压（2600mV）、较低的光电流密度（17mA/cm2），以及较好的温度特性（每升高1℃性能下降2‰，可在200℃情况下正常工作，聚光倍数可达到1000倍以上）等优点非常适合制成聚光电池，特别在高聚光倍数下，其转换效率很高，而发电成本可显著降低。
但是现在对高效聚光太阳电池的研究主要方向仍然是围绕着如何降低成本、提高效率。高效聚光太阳电池虽然有很高的转换效率，然而聚光系统在高倍率聚光工作条件下，由于晶格振动和吸收不完全等原因，太阳电池会达到很高的温度。如果不降低太阳电池在聚光系统下充电的温度，将会产生一系列的影响，比如电池转换效率降低、电池的稳定性降低、电池的使用寿命缩短等问题。
对此，我们采用散热板来降低温度。通过建立散热板的热传导方程，可以看出：一维散热板采用的是一根金属棒，其导热过程是一个先快后慢的过程，但因其长度问题，在实际操作过程中不可行；二维散热板采用平板结构，相对一维而言，不仅节省材料，而且大大缩小了线度，具有可行性。本课题就针对高效聚光太阳电池在充电过程中温度过高的问题进行了一些探讨。
1 热传导方程的建立和求解
1.1 热传导方程的建立
为了能方便的建立起热传导方程，进行了如下假设：设计出来的散热板为圆柱体，设圆柱体的半径为，高为，上底有热流强度为的热量均匀流入，下底面与另外一种温度恒为的介质进行着热交换，圆柱体侧面是绝热的。从而求解散热板圆柱体内稳定的温度分布。图1即为聚光太阳电池以及散热装置图。
根据数学物理方法得知，对于各向同性的均匀介质，其热传导方程为：
式中
如果介质中有热源，比如介质内部通有电流，有化学反应产生，或有放射性。设在单位时间单位体积中产生的热量为则热传导方程变为：
在一定条件下，当温度分布达到稳定状态时，，则方程变成稳定场方程：
此式称为泊松方程。如果无热源，则方程简化为：
此式称为拉普拉斯方程。
1.1.1 散热板热传导方程的建立
建立柱坐标系，圆柱体散热板在处与高效聚光太阳电池接触，有热流强度为的热量流入，这种情况属于边界条件，不能把当做热源，而把方程写为：，该等式右边的非齐次项意味着圆柱体散热板中处处有热源，且强度为，因此，当温度分布达到稳定状态时的圆柱体散热板是无源的。
所以温度分布达到稳定状态时散热板的热传导方程满足拉普拉斯方程：
1.1.2 散热板初始条件的确立
对于稳定场问题（静电场，稳定温度分布，稳定浓度分布等）不需要初始条件，因为微分方程（拉普拉斯方程）中不含时间变量。
1.1.3 散热板边界条件的确立
（1）上底有热流强度为的热量均匀流入，即：
得：
（2）下底与另一种温度为的介质进行热交换，在的时间内由物体内部沿下底面法线方向进入下底面的热量为，由于与外界进行热交换，温度差引起热量流失为：，是常数，因此有：
根据傅里叶定律，有：
因此有：
移项整理得：
其中为散热板与底面介质的热交换系数，为散热板材料的热传导率，上式即为下底面所满足的边界条件。
1.1.4 散热板温度分布的定解问题
各向同性的均匀介质，侧面绝热的圆柱体散热板，当温度分布达到稳定状态时的定解问题为：
下面对上述定解问题进行求解：
设，代入定解问题并分离变量，可知关于的方程为零阶贝塞尔方程，其解为，代入边界条件即，，为第个零点。其一般解为：
代入非齐次边界条件求，即：
（1）
（2）
把展成傅里叶——贝塞尔级数，有：
（其中）
化简得：
但对于（2）式由于左边含有两个求和运算，无法解出和的关系，从而未能继续进行化解，这也是无法求解三维情况下热传导方程的解的主要原因。 由于三维情况下热传导方程的解无法解出，所以只能转而研究一维和二维情况下散热板的热传导方程。
1.2 一维散热板的热传导方程的建立和求解
设杆的长度为，杆的初始温度为，保持杆的一端温度不变，另一端恒有热流强度为的热量流入。
该问题的定解问题为：
该定解问题的最终解为：
其中为热导率；为比热容；为密度。
若金属杆选用的材料为铜，则，，，若令，，。
图1是一维导热铜棒热传导图，该图横坐标表示导热棒的长度；纵坐标表示传导温度。从该图可知：随着导体棒长度的增加，导体棒的温度在降低，而且是先快后慢的过程。这是因为导体棒上温度梯度是一个从高到低的一个过程。所以，在前10m导体棒上温度梯度很大；另一方面，在导体棒传导绝热的条件下，理论计算需要铜棒的长度为40m。如下是相同条件下，纯钢、纯银、纯铜传导对照图程序。
图2是不同热导体热传导图。通过该图可知：1）和图1的热传导相同，纯银、纯钢的热传导也是一个先快再慢的过程；2）通过对比可知，三种材料中铜的导热性能最好。这是因为相同条件下，铜的导热梯度最大。所以我们选择铜材料作为导热材料。
1.3 二维散热板的热传导方程的建立和求解
设选用的铁材料，输入热量恒定为，密度，比热容，热导率的无限长铜板，现在有一横流点热源对板壁一边进行加热，输入的热量恒定为，计算一定时间（比如2小时）后板的温度分布情况。
针对此内问题，可以采用直角坐标进行求解，其定界问题为：
运用matlab解二维热传导方程解如图3，
2 高效激光太阳电池散热板的可行性分析
以上了建立散热板的热传导方程，通过热传导的方程我们可以分析一维和二维散热板的构造及实现的可能性。
2.1 一维散热板的可行性分析
一维情况下散热板是一根散热杆，在考虑实际问题时，我们既要考虑它的散热情况，还要具体考虑它的可行性。
从图1可看出：横坐标表示铜棒的长度，纵坐标表示温度。在棒的长度为0m到5m范围内，温度急剧下降；在10m到100m范围内，温度下降速度减慢。在开始时，由于棒的初始端存在很大的温度梯度，所有温度会急剧下降。随着杆的长度不断的增加，时间的增长，杆内的温度梯度会不断的缩小，所以在10m以后温度下降的趋势变缓。从图中我们还可以知道，当杆的长度达到80m以后温度的变化随时间的增加和杆的增长几乎不再较少，热传导趋于稳定。这说明若想要把有500℃的热量流入的金属杆降到常温，那么至少需要80m长的金属杆。这样长的金属杆在实际问题中是不可能建成散热板的。所有采用金属杆来做散热板的发案是不可能得到实现的。
图2选用不同材料的金属，可知热传导图也是十分相似的。这三条线它的变化和上面所述的一样，再此不再赘述。我们可以看出在最下面的是纯铜，所以选用不同材料的金属来代替铜从而缩短金属杆的长度是不可能实现的。
虽然在上面的问题中，我们是假设金属杆的散热棒的侧面是绝热的，但是对于80m长的金属杆而言就算把侧面散热考虑进去也是不可能在实际生活中用这么长的材料来建立散热板的。
综上所述，用细棒来做散热板是不现实的。
2.2 二维散热板的可行性分析
现在选用图3，针对散热板做一些分析：从图中我们可以看到如果想把有200℃的热量输入的散热板降到常温，平板的长度至少是1m长，宽度至少要0.2m， 那么平板的面积至少要0.2m2。这在现实生活中是可以实现的，所以建立二维散热板来对高效聚光太阳电池进行散热是可行的。
3 结论和展望
本文利用数学物理方法建立热传导方程，并结合数学相关领域对建立的热传导方程进行了一系列求解。通过求解方程，应用数学软件matlab做计算，再通过origin软件做出图形来，结合图形设计出散热板。结果表明：当温度从500℃降到25℃时，一维纯铜模型需要铜棒长度大约40m；和纯银、纯
钢相比，纯铜的导热性能更好；二维模型是将纯铜散热棒换做散热板，当温度从200℃降至常温，需要平板面积至少是0.2m2，相比一维散热棒，二维模型具有所占空间小，节省材料的特点。采用散热板来降低高效聚光太阳电池的温度，不仅有效地提高了电池的转换效率，同时也不同程度的降低了生产成本。所以，散热板的研究对高效聚光太阳电池具有价值性的意义。理论联系实际设计出的散热板，从根本上解决高效聚光太阳电池在高效聚光系统下温度过高的问题，使得高效聚光太阳电池在效率提高方面有更大的突破。
参考文献
[1] 四川大学数学系高等数学教研室.数学物理方法.[M]高等教育出版社. 1985年6月第2版.
[2] 于涛.数学物理方程与特殊函数.[M]哈尔滨工程大学出版社.2006年3月第1版.
[3] 张渭滨.数学物理方程.[M]清华大学出版社.2007年8月第1版.
[4] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化.[M]清华大学出版社. 2004年11月第1版.
[5] 王洪元.MATLAB语言及其在电子信息工程中的应用.[M]清华大学出版社.2004年12月第1版.
[6] 李雷.涂洁磊.高倍率三结砷化镓太阳电池中的三个关键问题的研究. [J]云南师范大学出版社. 2010年5月.
[7] 苏佳园.二维热传导方程有限差分法的matlab实现.
[8] 秦允豪.普通物理学教程热学[M]高等教育出版社.2004年6月第2版
作者简介
李雷（1983），男，山西襄汾人，楚雄师范学院学术后备人才项目（11YJRC19）资助，主要研究方向：太阳能光伏系统。