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摘 要:圆锥曲线有许多统一性质,本文介绍其共线焦半径的一个性质,并例说谈它的应用.
关键词:圆锥曲线;焦半径;性质
圆锥曲线有许多优美的统一性质,比如统一定义;统一极坐标方程:ρ=;横(纵)向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式:AB=(AB=)(对双曲线为同支焦点弦)…等等. 这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线“本是同根生”的紧密联系,展示了圆锥曲线内在的“统一美”,而且其本身也具有很高的应用价值. 作为教师,若能与学生一起进行探究、推导和应用,则不仅能拓宽学生的知识面,加深学生对圆锥曲线所学知识的理解,同时还能引发学生对圆锥曲线的好奇心和自主探究意识. 本文探寻圆锥曲线的一个共线焦半径性质,并把它统一成用通径表达的形式,再例谈它的应用,以供参考.
性质的发现
发现之旅源于对如下的一个学生提问的思考:
题目:已知椭圆+=1(a>b>0),过焦点F倾斜角为α的直线l交椭圆于A,B两点,求证:+为一个与α无关的常数.
分析:这是椭圆中的一个普通问题,也是椭圆的一个基本的性质,它的证明可以采用普通方法,也可以用极坐标法解决.
证明一:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(-c,0)为左焦点,当α≠90°时,设直线l的方程为:y=k(x+c),联立椭圆方程并消去y得,(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0,由韦达定理x1+x2=,x1x2=. 由焦半径公式可得+=+=,其中e=,代人并化简得+==2·-1,为常数;当α=90°时,+=+=2-1. 综上,对任意的倾斜角α,+=2·-1,为定值.
证明二:以椭圆左焦点为极点,x轴正向为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为ρ=(其中e为离心率,p为焦点到相应准线的距离),设A(ρ1,α),B(ρ2,π+α),则+=+=+=,其中ep=,所以+==2-1,为定值.
评注:在处理焦点弦问题中,极坐标法具有明显的优势,它能化难为易,变繁为简.另外,本题的证明还可用直线参数方程法和几何法等,在此不再赘述.
探究:题目已经证完了,但我们不能就此停下脚步. 上述证明表明,椭圆中两共线焦半径的倒数之和为常数,由此引发我们联想:双曲线和抛物线中是否也有同样性质呢?即把上述题目中的椭圆+=1(a>b>0)改成双曲线-=1(a>0,b>0)和抛物线y2=2px后,+是否仍为常数呢?回答是肯定的,由于椭圆、双曲线和抛物线在一定坐标系条件(椭圆的左焦点,或双曲线的右焦点,或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点为极点,x轴正向为极轴)下具有统一极坐标方程ρ=,根据证明可知,在双曲线和抛物线中+仍为. 由此我们发现:圆锥曲线(同支)共线焦半径的倒数之和为常数,即+=. 但这种常数的形式在普通方程中并没出现过,学生不太容易接受. 于是我们就想,能否把它表示地更一般些呢?这ep究竟是一个怎样的量呢?由e,p的几何意义我们知道,在椭圆中e=,p=-c=,即ep=;在双曲线中e=,p=c-=,同样有ep=;在抛物线中e=1,故ep=p.为什么椭圆和双曲线中的结果都与有关,而抛物线中只与p有关,同样都是圆锥曲线,这两者之间会不会有某种联系呢?通过对圆锥曲线的仔细分析,发现:即为椭圆和双曲线通径长的一半,那么p不也就是抛物线通径长的一半吗?于是发现:ep为圆锥曲线通径长的一半.若设通径长为m,即有ep=,则+即可统一写成=. 受此启发,本文开头所提到的圆锥曲线统一焦点弦长公式:AB=(AB=)即可写成:AB=(AB=). 于是得到了圆锥曲线共线焦半径的如下:
性质:已知横(纵)向型圆锥曲线的通径长为m,AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,则(1)+=; (2)AB=(AB=)(上述的同支只针对双曲线).
评注:因为学生对通径相对要熟悉一些,所以这种表示的形式更容易被学生理解和记忆.
性质的引申
由于AB=AF+BF,联立上述(1),(2)可以求出,经过归纳得到有如下结论:
引申1 设F为椭圆的左焦点(或双曲线的右焦点,或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
引申2 设F为椭圆的右焦点(或双曲线的左焦点,或开口方向为x轴负向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
引申3 设F为椭圆的下焦点(或双曲线的上焦点,或开口方向为y轴正向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
引申4 设F为椭圆的上焦点(或双曲线的下焦点,或开口方向为y轴负向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
性质的应用
有了上述的性质和引申,就可以方便地解决有关共线焦点弦问题,如:
例1 已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若AF=3,则BF=________.
解:由性质1:因为+=,将AF=3,m=2p=4代人,即得BF=.
例2 (2010年重庆理)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为________.
解:由抛物线定义知,弦AB的中点到准线的距离等于焦点弦长的一半,由引申1知3=,即cosα=,所以AB===,从而弦AB的中点到准线的距离为.
例3 (2010全国卷Ⅱ理)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点. 若=3,则k=( )
A. 1 B.
C. D. 2
解:由引申2知,=,即得cosα=,所以斜率k=tanα=. 故选B.
评注:本文得出的相关结论能有效地解决一类共线焦点弦问题,可在选择题和填空题中直接使用. 此外,本文探究中运用了类比的方法,它是数学学习中的重要方法,也是培养学生创新意识的重要途径,应该予以重视.
同型演练
1. (2009年全国Ⅱ理)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若=4,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
2. (2010年全国卷Ⅰ文)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为________.
3. (2010年辽宁理)设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,=2.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果AB=,求椭圆C的方程.
参考答案:1. A;2. ;3. (1)e=;(2)+=1.
关键词:圆锥曲线;焦半径;性质
圆锥曲线有许多优美的统一性质,比如统一定义;统一极坐标方程:ρ=;横(纵)向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式:AB=(AB=)(对双曲线为同支焦点弦)…等等. 这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线“本是同根生”的紧密联系,展示了圆锥曲线内在的“统一美”,而且其本身也具有很高的应用价值. 作为教师,若能与学生一起进行探究、推导和应用,则不仅能拓宽学生的知识面,加深学生对圆锥曲线所学知识的理解,同时还能引发学生对圆锥曲线的好奇心和自主探究意识. 本文探寻圆锥曲线的一个共线焦半径性质,并把它统一成用通径表达的形式,再例谈它的应用,以供参考.
性质的发现
发现之旅源于对如下的一个学生提问的思考:
题目:已知椭圆+=1(a>b>0),过焦点F倾斜角为α的直线l交椭圆于A,B两点,求证:+为一个与α无关的常数.
分析:这是椭圆中的一个普通问题,也是椭圆的一个基本的性质,它的证明可以采用普通方法,也可以用极坐标法解决.
证明一:设A(x1,y1),B(x2,y2),F(-c,0)为左焦点,当α≠90°时,设直线l的方程为:y=k(x+c),联立椭圆方程并消去y得,(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0,由韦达定理x1+x2=,x1x2=. 由焦半径公式可得+=+=,其中e=,代人并化简得+==2·-1,为常数;当α=90°时,+=+=2-1. 综上,对任意的倾斜角α,+=2·-1,为定值.
证明二:以椭圆左焦点为极点,x轴正向为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为ρ=(其中e为离心率,p为焦点到相应准线的距离),设A(ρ1,α),B(ρ2,π+α),则+=+=+=,其中ep=,所以+==2-1,为定值.
评注:在处理焦点弦问题中,极坐标法具有明显的优势,它能化难为易,变繁为简.另外,本题的证明还可用直线参数方程法和几何法等,在此不再赘述.
探究:题目已经证完了,但我们不能就此停下脚步. 上述证明表明,椭圆中两共线焦半径的倒数之和为常数,由此引发我们联想:双曲线和抛物线中是否也有同样性质呢?即把上述题目中的椭圆+=1(a>b>0)改成双曲线-=1(a>0,b>0)和抛物线y2=2px后,+是否仍为常数呢?回答是肯定的,由于椭圆、双曲线和抛物线在一定坐标系条件(椭圆的左焦点,或双曲线的右焦点,或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点为极点,x轴正向为极轴)下具有统一极坐标方程ρ=,根据证明可知,在双曲线和抛物线中+仍为. 由此我们发现:圆锥曲线(同支)共线焦半径的倒数之和为常数,即+=. 但这种常数的形式在普通方程中并没出现过,学生不太容易接受. 于是我们就想,能否把它表示地更一般些呢?这ep究竟是一个怎样的量呢?由e,p的几何意义我们知道,在椭圆中e=,p=-c=,即ep=;在双曲线中e=,p=c-=,同样有ep=;在抛物线中e=1,故ep=p.为什么椭圆和双曲线中的结果都与有关,而抛物线中只与p有关,同样都是圆锥曲线,这两者之间会不会有某种联系呢?通过对圆锥曲线的仔细分析,发现:即为椭圆和双曲线通径长的一半,那么p不也就是抛物线通径长的一半吗?于是发现:ep为圆锥曲线通径长的一半.若设通径长为m,即有ep=,则+即可统一写成=. 受此启发,本文开头所提到的圆锥曲线统一焦点弦长公式:AB=(AB=)即可写成:AB=(AB=). 于是得到了圆锥曲线共线焦半径的如下:
性质:已知横(纵)向型圆锥曲线的通径长为m,AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,则(1)+=; (2)AB=(AB=)(上述的同支只针对双曲线).
评注:因为学生对通径相对要熟悉一些,所以这种表示的形式更容易被学生理解和记忆.
性质的引申
由于AB=AF+BF,联立上述(1),(2)可以求出,经过归纳得到有如下结论:
引申1 设F为椭圆的左焦点(或双曲线的右焦点,或开口方向为x轴正向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
引申2 设F为椭圆的右焦点(或双曲线的左焦点,或开口方向为x轴负向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
引申3 设F为椭圆的下焦点(或双曲线的上焦点,或开口方向为y轴正向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
引申4 设F为椭圆的上焦点(或双曲线的下焦点,或开口方向为y轴负向的抛物线的焦点),AB为过焦点F且倾斜角为α的(同支)弦,AB被焦点F分成上、下两段之比为λ,则λ=.
性质的应用
有了上述的性质和引申,就可以方便地解决有关共线焦点弦问题,如:
例1 已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若AF=3,则BF=________.
解:由性质1:因为+=,将AF=3,m=2p=4代人,即得BF=.
例2 (2010年重庆理)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为________.
解:由抛物线定义知,弦AB的中点到准线的距离等于焦点弦长的一半,由引申1知3=,即cosα=,所以AB===,从而弦AB的中点到准线的距离为.
例3 (2010全国卷Ⅱ理)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点. 若=3,则k=( )
A. 1 B.
C. D. 2
解:由引申2知,=,即得cosα=,所以斜率k=tanα=. 故选B.
评注:本文得出的相关结论能有效地解决一类共线焦点弦问题,可在选择题和填空题中直接使用. 此外,本文探究中运用了类比的方法,它是数学学习中的重要方法,也是培养学生创新意识的重要途径,应该予以重视.
同型演练
1. (2009年全国Ⅱ理)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若=4,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
2. (2010年全国卷Ⅰ文)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且=2,则C的离心率为________.
3. (2010年辽宁理)设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,=2.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果AB=,求椭圆C的方程.
参考答案:1. A;2. ;3. (1)e=;(2)+=1.