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以往求解线段（线段和）的最值问题，常用的解题方法是将所求线段进行等价转换，或者通过图形变换，将所求问题变成要么求两个定点之间的距离，要么转化成定点到直线的距离.但是新近出现一些线段最值问题，尽管解决问题的依据还是一样，但是学生碰到这些问题往往束手无策，成为几何难题.笔者为此作了一些研究与总结，现与大家共享.1构造斜三角形模型
例1如图1，直角扇形ODE中，∠DOE=90°，OD=12，△ABC是扇形内接三角形，其中A、B、C分别在弧DE，半径OE、OD上，∠ACB=90°，AC∶BC=2∶3，求线段AC的最小值.
分析学生见到∠ACB=∠COB=90°，想到构造直角相似三角形，即作AH⊥OD于H，如图1，运用△ACH∽△COB，结果无功而返.其实，因为AC∶BC=2∶3，当AC变化时，BC也随之变换.如果抓住OA是扇形的半径这个不变量，联想直角三角形中的常用辅助线即斜边上的中线，尝试取BC的中点M，如图2，连结OM、AM，构造斜三角形AOM，运用AM OM≥OA，当且仅当A、M、O三点共线时等号成立，这样问题迎刃而解.
评注本题是属于双动点问题，难点是A、C两点都是动点，关键是找出与AC关联的两条线段OM、AM，通过添三条辅助线，将问题转化到一个斜三角形中，这是一般学生很难想到的.在图2中，学生可能还会想到斜三角形AOC，但是OC与AC不关联，问题也会陷入困境，因此构造合适的斜三角形至关重要.
例2如图3，已知抛物线y=-49（x-1）（x-7）与x轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，圆C的半径为2，G为圆C上的一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）.
A.72B.352C.23D.412
分析G为圆C上的一动点，学生的直觉是当直线AG与圆C相切时，DP取到最大值，显然这是错误的.如图4，因为直线CD⊥x轴，这样就得到直角三角形ACD，又有“P为AG的中点”这个重要信息，自然联想到“三角形中位线”及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”两个定理，从而构造出斜三角形PDM，再利用DP≤PM DM，求解问题.
评注本题还有另外构造斜三角形的方法，如图5，具体解法留给读者思考.纵观例1、例2的解题思路，解题依据都是利用“两点之间线段最短”这一基本事实，但是当问题的条件与这一事实的联系不是十分明了时，通过构造出斜三角形的模型，才是有效的解题策略.但是构造斜三角形往往需要添多条辅助线，使问题增加了难度，不易解决.2构造直角三角形模型
例3如图6，有一张△ABC纸片，AC=8，∠C=30°，点E在AC边上，点D在AB边上，沿着DE对折，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为（）.
A.83B.163C.4D.43
分析学生在做这个题目时，许多选的答案是C，因为凭经验，使动点E处在特殊位置即AC边的中点，其实他们没有抓住“∠C=30°”这个关键题设.我们知道，几何问题中出现30°条件，往往要构造直角三角形，再利用直角三角形的性质.因此，本题可以尝试构造直角三角形.作EH⊥BC于H，设CE=x，在直角三角形EFH中，EH=12x，EF=8-x，因为EH≤EF，得不等式12x≤8-x，解得x≤163.
评注本题解决过程中的难点有两个，一是将问题转化到一个直角三角形中，二是利用直角三角形两边之间的数量关系建立不等式.本题也可以通过构造斜三角形求解，如图6，连结EF，在△CEF中，由正弦定理，得，CEsin∠EFC=EFsin∠C，则sin∠EFC=CEsin∠CEF，因为sin∠EFC≤1，同样可以解得x≤163，但是对初中生来说，这个解法就超出了他们的知识范畴.
例4已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为.
分析由题意，首先对CD进行分类.当CD作为平行四边形的边时，易得CD=AB=10；当CD作为平行四边形的对角线时，如图7，显然CD=2PC.等式的左边的点C、点D均为动点，而右边的点P为定点，这样将双动点问题转化为单动点问题，要求CD的最小值可转化为求PC的最小值，从而自然构造直角三角形PCH，利用“点到直线距离垂线段最短”这个常用性质，求出PH的长度即可.
评注本题是利用线段之间的数量关系，将双动点问题化为单动点问题，再运用“垂线段最短”求解.纵观例3、例4，共同点都是构造直角三角形模型，关键是将动线段与动线段或者动线段与定线段转化到同一直角三角形中.3构造相似三角形模型
例5如图8，已知点P是边长为63的正△ABC的内切圆上的一个动点.求BP 12PC的最小值.
分析解决问题的难点是构造出一条线段PM，使PM=12PC，且点M是定点.连接OP，由题意得，OP=12OC，则PMPC=OPOC，由此想到构造△POM∽△COP.接下来的解题过程为：在OC上取点M，使OM=14OC，这样OMOP=OPOC=12，又因为∠POM=∠COP，所以△POM∽△COP.于是，PMPC=OPOC=12，可得，PM=12PC.这样，BP 12PC=BP PM，即BM的长就是BP 12PC的最小值.
例6如图9，已知点A（-4，0），P（t，0）（t>0），在第一象限作正方形OPQR，过A、P、Q三点作⊙B，连结OQ，作CQ⊥OQ交圆于点C，连结OB，AQ.
（1）求证：∠CQP=∠AOQ.
（2）CQ的长度是否随着t的变化而变化，如果变化，请用t的代数式表示CQ的长度；如果不变，求出CQ的长.
（3）①当tan∠AQO=12时，求点C的坐标；②D点是⊙B上的任意一点，求CD 5OD的最小值.
分析（1）证明略.
（2）CQ=22（过程略）.
（3）①点C的坐标为（0，4）（过程略）；②当点C的坐标为（0，4）时，可求得AQ=210，点B的坐标为（-1，1），从而求得BD=10，OB=2.现在解决问题的难点是构造出一条线段DF，使DF=5OD，且点F是定点.于是想到构造△DBO∽△FBD，如图10，因为△DBO∽△FBD，所以，DFOD=BDOB=BFBD=5，则BF=52，结合B的坐标为（-1，1），求出点F的坐标为（-4，4）.根据CD 5OD=CD DF≥CF，最终求得CD 5OD的最小值为45.
评注通过例5、例6示例，对于“AP mPB”（其中点A、点B是定点，点P是动点，m是常数）型的线段最值问题，关键是通过构造相似三角形，将“mPB”转化成线段“PC”（点C是新求出的一个定点），然后用“两点之间线段最短”这个基本事实求解.
作者简介陈明儒，男，浙江舟山人，中学高级教师，宁波市名师.曾获市教坛新秀一等奖，省优质课二等奖.尤其擅长优等生的培养，有近百人在全国初中数学竞赛中获一、二、三等奖，并多次获浙江省初中数学竞赛优秀指导教师称号.专注于课堂教学研究，有40多篇文章在省级及以上刊物上发表.
例1如图1，直角扇形ODE中，∠DOE=90°，OD=12，△ABC是扇形内接三角形，其中A、B、C分别在弧DE，半径OE、OD上，∠ACB=90°，AC∶BC=2∶3，求线段AC的最小值.
分析学生见到∠ACB=∠COB=90°，想到构造直角相似三角形，即作AH⊥OD于H，如图1，运用△ACH∽△COB，结果无功而返.其实，因为AC∶BC=2∶3，当AC变化时，BC也随之变换.如果抓住OA是扇形的半径这个不变量，联想直角三角形中的常用辅助线即斜边上的中线，尝试取BC的中点M，如图2，连结OM、AM，构造斜三角形AOM，运用AM OM≥OA，当且仅当A、M、O三点共线时等号成立，这样问题迎刃而解.
评注本题是属于双动点问题，难点是A、C两点都是动点，关键是找出与AC关联的两条线段OM、AM，通过添三条辅助线，将问题转化到一个斜三角形中，这是一般学生很难想到的.在图2中，学生可能还会想到斜三角形AOC，但是OC与AC不关联，问题也会陷入困境，因此构造合适的斜三角形至关重要.
例2如图3，已知抛物线y=-49（x-1）（x-7）与x轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，圆C的半径为2，G为圆C上的一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）.
A.72B.352C.23D.412
分析G为圆C上的一动点，学生的直觉是当直线AG与圆C相切时，DP取到最大值，显然这是错误的.如图4，因为直线CD⊥x轴，这样就得到直角三角形ACD，又有“P为AG的中点”这个重要信息，自然联想到“三角形中位线”及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”两个定理，从而构造出斜三角形PDM，再利用DP≤PM DM，求解问题.
评注本题还有另外构造斜三角形的方法，如图5，具体解法留给读者思考.纵观例1、例2的解题思路，解题依据都是利用“两点之间线段最短”这一基本事实，但是当问题的条件与这一事实的联系不是十分明了时，通过构造出斜三角形的模型，才是有效的解题策略.但是构造斜三角形往往需要添多条辅助线，使问题增加了难度，不易解决.2构造直角三角形模型
例3如图6，有一张△ABC纸片，AC=8，∠C=30°，点E在AC边上，点D在AB边上，沿着DE对折，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为（）.
A.83B.163C.4D.43
分析学生在做这个题目时，许多选的答案是C，因为凭经验，使动点E处在特殊位置即AC边的中点，其实他们没有抓住“∠C=30°”这个关键题设.我们知道，几何问题中出现30°条件，往往要构造直角三角形，再利用直角三角形的性质.因此，本题可以尝试构造直角三角形.作EH⊥BC于H，设CE=x，在直角三角形EFH中，EH=12x，EF=8-x，因为EH≤EF，得不等式12x≤8-x，解得x≤163.
评注本题解决过程中的难点有两个，一是将问题转化到一个直角三角形中，二是利用直角三角形两边之间的数量关系建立不等式.本题也可以通过构造斜三角形求解，如图6，连结EF，在△CEF中，由正弦定理，得，CEsin∠EFC=EFsin∠C，则sin∠EFC=CEsin∠CEF，因为sin∠EFC≤1，同样可以解得x≤163，但是对初中生来说，这个解法就超出了他们的知识范畴.
例4已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为.
分析由题意，首先对CD进行分类.当CD作为平行四边形的边时，易得CD=AB=10；当CD作为平行四边形的对角线时，如图7，显然CD=2PC.等式的左边的点C、点D均为动点，而右边的点P为定点，这样将双动点问题转化为单动点问题，要求CD的最小值可转化为求PC的最小值，从而自然构造直角三角形PCH，利用“点到直线距离垂线段最短”这个常用性质，求出PH的长度即可.
评注本题是利用线段之间的数量关系，将双动点问题化为单动点问题，再运用“垂线段最短”求解.纵观例3、例4，共同点都是构造直角三角形模型，关键是将动线段与动线段或者动线段与定线段转化到同一直角三角形中.3构造相似三角形模型
例5如图8，已知点P是边长为63的正△ABC的内切圆上的一个动点.求BP 12PC的最小值.
分析解决问题的难点是构造出一条线段PM，使PM=12PC，且点M是定点.连接OP，由题意得，OP=12OC，则PMPC=OPOC，由此想到构造△POM∽△COP.接下来的解题过程为：在OC上取点M，使OM=14OC，这样OMOP=OPOC=12，又因为∠POM=∠COP，所以△POM∽△COP.于是，PMPC=OPOC=12，可得，PM=12PC.这样，BP 12PC=BP PM，即BM的长就是BP 12PC的最小值.
例6如图9，已知点A（-4，0），P（t，0）（t>0），在第一象限作正方形OPQR，过A、P、Q三点作⊙B，连结OQ，作CQ⊥OQ交圆于点C，连结OB，AQ.
（1）求证：∠CQP=∠AOQ.
（2）CQ的长度是否随着t的变化而变化，如果变化，请用t的代数式表示CQ的长度；如果不变，求出CQ的长.
（3）①当tan∠AQO=12时，求点C的坐标；②D点是⊙B上的任意一点，求CD 5OD的最小值.
分析（1）证明略.
（2）CQ=22（过程略）.
（3）①点C的坐标为（0，4）（过程略）；②当点C的坐标为（0，4）时，可求得AQ=210，点B的坐标为（-1，1），从而求得BD=10，OB=2.现在解决问题的难点是构造出一条线段DF，使DF=5OD，且点F是定点.于是想到构造△DBO∽△FBD，如图10，因为△DBO∽△FBD，所以，DFOD=BDOB=BFBD=5，则BF=52，结合B的坐标为（-1，1），求出点F的坐标为（-4，4）.根据CD 5OD=CD DF≥CF，最终求得CD 5OD的最小值为45.
评注通过例5、例6示例，对于“AP mPB”（其中点A、点B是定点，点P是动点，m是常数）型的线段最值问题，关键是通过构造相似三角形，将“mPB”转化成线段“PC”（点C是新求出的一个定点），然后用“两点之间线段最短”这个基本事实求解.
作者简介陈明儒，男，浙江舟山人，中学高级教师，宁波市名师.曾获市教坛新秀一等奖，省优质课二等奖.尤其擅长优等生的培养，有近百人在全国初中数学竞赛中获一、二、三等奖，并多次获浙江省初中数学竞赛优秀指导教师称号.专注于课堂教学研究，有40多篇文章在省级及以上刊物上发表.