论文部分内容阅读
摘要:本文通过教学实例和分析,概括总结了在数学课堂中的教学设计:创设情境,激发学生探究兴趣;动手探索,引导学生深入探究;合作交流,促进学生优势互补;反思小结,提炼学生数学思想;课外延伸,深化学生探究。
关键词:有效性;探究性学习;教学设计;数学思想
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2017)04-0111
所谓数学探究性学习,是指“学生在数学领域或现实生活的情境中,通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动,获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”如何在初中数学教学中引导学生进行探究性学习?如何落实新课程理念下的教学目标?本文试图通过课堂实例,呈现与探究性学习理论相结合的探究性学习的课堂教学设计。
(课本例题)已知:如图(1),A是⊙0外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC,∠A=30°。
求证:直线AB是⊙O的切线。
通过学习本节课的教学内容,学生初步掌握了直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。让学生清楚,要证明一条直线是圆的切线,当这条直线与圆有公共点时,作过公共点的半径是常用的辅助线。
改编:如图(2),CD是⊙O的直径,点A在CD的延长线上,OD=DA,点B在⊙O上,∠ACB=30°,求证:AB是⊙O的切线。
在几何教学中,教师适时、适当地将例题变形转化,将例题的潜在功能挖掘出来,不仅可以培养学生举一反三、触类旁通的解题能力,还能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性,促进学生掌握科学的探究方法。本题是课本例题改编而来的,学生刚开始接触可能会感到有点困难。如何激发学生的探究欲望,让他们自己来参与数学发现呢?为此,笔者进行以下的教学设计:
一、创设情境,激发探究兴趣
学生将本例题与课本原例题进行对比后,引导学生關注其中的关联。并提问:
(1)看到直径,你能联想到什么?(直径所对的圆周角是直角)
(2)连接BC,OC,你能得到哪些相等的线段?
(3)当∠OCD=90°,就能得到结论吗?
在这里,笔者改编了例题的部分条件,利用课件演示,激起学生疑问:几何问题真是太复杂了,稍改一点,就得好好思考如何证明呢?学生这时处于一种复杂的心理状态,一方面学生非常想解决这个问题,很想说出为什么,另一方面又无法立即解决,因为认知水平不够,这种心理不平衡性激发了学生探究问题的兴趣和热情,从而产生了强烈的求知欲。
二、动手探索,引导深入探究
探究一:引导学生观察分析图形,解决问题并引申结论
如图(3),已知弦AB与半径相等,连接OB,并延长使BC=OB。
(1)问AC与⊙O有什么关系,并证明你的结论。
(2)请你在⊙O上找出一点D,使AD=AC。(自己完成作图,并证明你的结论)
探究二:如图(4),⊙O的直径AB=6cm,P是AB的延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC。
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由:若不变,求出∠CMP的值。
教师引导学生审题,提出本题的考点:切线的性质;三角形内角和定理;切割线定理。
该教学过程设计结合了新课程标准中的探究性学习理论,涉及了变更问题、类比联想、尝试猜想、总结归纳等教学环节,从学生的“最近发展区”入手,为学生构建探究平台,鼓励学生自主动手、动脑实践,引导学生由浅入深,从特殊到一般进行探索归纳,有效拓展了学生思维发展空间,还培养了学生锲而不舍的学习精神和提高了学生的综合素质。
三、合作交流,促进优势互补
1. 以四人为小组,进行组内合作,充分发表己见,形成小组集体意见
学生通过自己个人的分析、探究,获得了个人关于本例问题的见解后,然后与组内的其他同学讨论。这一阶段为每个学生提供了发表自己的看法、认识、见解的机会。主要目的在于挖掘群体的潜能,培养合作的精神。选出一位同学当组长负责协调关系、记录讨论内容。讨论中要求小组每个成员都要发表自己的看法,供大家讨论、批评、切磋、补充,具体的做法不拘一格。为了使讨论充满活力,更好地激发小组成员的创造性思维,可以允许意见、见解有冲突、纷争,无须非达成共识不可。在这一阶段,强调学生的合作精神,通过合作,拓宽学生的思维广度、空间。
2. 进行组际交流,交流验证方法等
教师总结学生的意见:(1)连接OC,根据切线的性质可知OC⊥PC,则△OPC为直角三角形,OC=3,可根据锐角三角函数的定义求出PC的值;(2)从PM是∠APC的角平分线可知∠CPM=∠MPA,根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出∠CMP=∠A ∠MPA=45度。因为∠A与∠CPA为定值,故∠CMP的大小不发生变化.
解:(1)连接OC,PC是⊙O的切线,∴∠OCP=90°;∵∠CPA=30°,OC=■ =3,∴tan30°=■,即PC=3■;(5分)
(2)∠CMP的大小不发生变化;(2分)∵PM是∠CPA的平分线,∴∠CPM=∠MPA,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO;在△APC中,∵∠A ∠ACP ∠CPA=180°,∴2∠A 2∠MPA=90°,∠A ∠MPA=45°,∴∠CMP=∠A ∠MPA=45°;(5分)即∠CMP的大小不发生变化,为45°。
这里,教师留给学生足够的时间,教师提出的几个由浅人深的问题引起学生深入的思考,并且能促使学生“发现问题,作出思考,提出猜想,进行归纳”等探究性的学习活动,并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动,是为了更有利于学生主体性的发挥。 四、反思小结,提炼数学思想
当代荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出:“反思是数学活动的核心和动力。”在探究学习中,学生通过自己的艰苦探索,探究出丰富多彩但有些杂乱无章的结果。例如上面的探究二:此题需要学生通过尝试,提出猜想、验证猜想、总结规律.既考查基本的数学知识与方法,又注重从特殊到一般的数学归纳能力的要求,突出了学生对图形的探究及探索出有效的解法策略。在探究过程中,学生出现了以下的常见错误:1. 利用三角函数解直角三角形时,三角函数与边不对应,或三角函数值记错;2. 关于∠CMP的定值问题错误的两种观点:(1)认为∠CMP大小不变者,用第(1)小题的特殊值(∠A=30°)进行论证;(2)认为∠CMP大小变化者,把∠A看成是不变的角(30°),∠CMP=∠A ∠CMP=30° ∠CMP等。这些结果虽然凝结了学生探究的辛苦,但却有对有错,因此,在探究学习过程中,教师应及时引导学生进行反思与小结。对于正确的、合乎逻辑的结果予以充分的肯定,并及时提炼上升到数学思想的高度,要讓学生始终对自己充满信心,引导学生反思。为此,笔者和学生一起从以下几个方面进行总结:
(1)在问题的解决过程中,我们是怎样入手的?我们为什么要从这里入手?
(2)在证明过程中我们主要运用了哪些方法?
(3)本题可以概括出怎样的一般性的结论?
(4)在探究中运用了哪些数学思想方法?
五、课外延伸,深化学生探究
圆中“阴影部分”的面积的求解是历年各地中考的一个必须掌握的知识点,求解时既可以根据图形的特点,将其分解转化为扇形、弓形、三角形、平行四边形、梯形等图形的组合来求解,也可根据其特点,灵活巧妙地运用一些方法技巧,可使问题化繁为简,化难为易,收到事半功倍的奇效,现举例说明。
探究三:如图(6)在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点M,MN⊥AC,若∠BAC=120°,AB=2,①求证MN是OO的切线;②求图中阴影部分的面积。
分析:一个图形的面积不易或难以求出时,可以利用全部减其余,便可以使原来不规则的图形转化为规则图形。
思路:S阴影部分=S梯形AOMN-S扇形AOM
学生经过自己的主动探索、实验,发现了重要的结论,这是对学生主动参与精神的激励,能使学生体验到主动探究成功后的喜悦,增强学生学习的动力和信心。经过组内和组际的交流,能使学生各自得到不同的收获,同时能使学生感悟到“面对新问题,联想旧知识,寻找新旧知识之间的关系,揭示知识规律,获取新知”的探究方法和策略,使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中。
学生探究性学习活动能否顺利实施,关键在于教师能否创造适宜的教学情境和进行合理的引导。在新课程实施过程中,教师要运用一切可能的手段,不断优化教学设计,激发学生的学习兴趣,创设有效的探究时间和空间,形成良好的探究风气,让每个学生都有主动探究的机会和欲望,从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。
(作者单位:浙江省苍南县钱库镇第一中学 325800)
关键词:有效性;探究性学习;教学设计;数学思想
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2017)04-0111
所谓数学探究性学习,是指“学生在数学领域或现实生活的情境中,通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动,获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”如何在初中数学教学中引导学生进行探究性学习?如何落实新课程理念下的教学目标?本文试图通过课堂实例,呈现与探究性学习理论相结合的探究性学习的课堂教学设计。
(课本例题)已知:如图(1),A是⊙0外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC,∠A=30°。
求证:直线AB是⊙O的切线。
通过学习本节课的教学内容,学生初步掌握了直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。让学生清楚,要证明一条直线是圆的切线,当这条直线与圆有公共点时,作过公共点的半径是常用的辅助线。
改编:如图(2),CD是⊙O的直径,点A在CD的延长线上,OD=DA,点B在⊙O上,∠ACB=30°,求证:AB是⊙O的切线。
在几何教学中,教师适时、适当地将例题变形转化,将例题的潜在功能挖掘出来,不仅可以培养学生举一反三、触类旁通的解题能力,还能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性,促进学生掌握科学的探究方法。本题是课本例题改编而来的,学生刚开始接触可能会感到有点困难。如何激发学生的探究欲望,让他们自己来参与数学发现呢?为此,笔者进行以下的教学设计:
一、创设情境,激发探究兴趣
学生将本例题与课本原例题进行对比后,引导学生關注其中的关联。并提问:
(1)看到直径,你能联想到什么?(直径所对的圆周角是直角)
(2)连接BC,OC,你能得到哪些相等的线段?
(3)当∠OCD=90°,就能得到结论吗?
在这里,笔者改编了例题的部分条件,利用课件演示,激起学生疑问:几何问题真是太复杂了,稍改一点,就得好好思考如何证明呢?学生这时处于一种复杂的心理状态,一方面学生非常想解决这个问题,很想说出为什么,另一方面又无法立即解决,因为认知水平不够,这种心理不平衡性激发了学生探究问题的兴趣和热情,从而产生了强烈的求知欲。
二、动手探索,引导深入探究
探究一:引导学生观察分析图形,解决问题并引申结论
如图(3),已知弦AB与半径相等,连接OB,并延长使BC=OB。
(1)问AC与⊙O有什么关系,并证明你的结论。
(2)请你在⊙O上找出一点D,使AD=AC。(自己完成作图,并证明你的结论)
探究二:如图(4),⊙O的直径AB=6cm,P是AB的延长线上的一点,过P点作⊙O的切线,切点为C,连接AC。
(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)若点P在AB的延长线上运动,∠CPA平分线交AC于点M,你认为∠CMP的大小是否发生变化?若变化,请说明理由:若不变,求出∠CMP的值。
教师引导学生审题,提出本题的考点:切线的性质;三角形内角和定理;切割线定理。
该教学过程设计结合了新课程标准中的探究性学习理论,涉及了变更问题、类比联想、尝试猜想、总结归纳等教学环节,从学生的“最近发展区”入手,为学生构建探究平台,鼓励学生自主动手、动脑实践,引导学生由浅入深,从特殊到一般进行探索归纳,有效拓展了学生思维发展空间,还培养了学生锲而不舍的学习精神和提高了学生的综合素质。
三、合作交流,促进优势互补
1. 以四人为小组,进行组内合作,充分发表己见,形成小组集体意见
学生通过自己个人的分析、探究,获得了个人关于本例问题的见解后,然后与组内的其他同学讨论。这一阶段为每个学生提供了发表自己的看法、认识、见解的机会。主要目的在于挖掘群体的潜能,培养合作的精神。选出一位同学当组长负责协调关系、记录讨论内容。讨论中要求小组每个成员都要发表自己的看法,供大家讨论、批评、切磋、补充,具体的做法不拘一格。为了使讨论充满活力,更好地激发小组成员的创造性思维,可以允许意见、见解有冲突、纷争,无须非达成共识不可。在这一阶段,强调学生的合作精神,通过合作,拓宽学生的思维广度、空间。
2. 进行组际交流,交流验证方法等
教师总结学生的意见:(1)连接OC,根据切线的性质可知OC⊥PC,则△OPC为直角三角形,OC=3,可根据锐角三角函数的定义求出PC的值;(2)从PM是∠APC的角平分线可知∠CPM=∠MPA,根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出∠CMP=∠A ∠MPA=45度。因为∠A与∠CPA为定值,故∠CMP的大小不发生变化.
解:(1)连接OC,PC是⊙O的切线,∴∠OCP=90°;∵∠CPA=30°,OC=■ =3,∴tan30°=■,即PC=3■;(5分)
(2)∠CMP的大小不发生变化;(2分)∵PM是∠CPA的平分线,∴∠CPM=∠MPA,∵OA=OC,∴∠A=∠ACO;在△APC中,∵∠A ∠ACP ∠CPA=180°,∴2∠A 2∠MPA=90°,∠A ∠MPA=45°,∴∠CMP=∠A ∠MPA=45°;(5分)即∠CMP的大小不发生变化,为45°。
这里,教师留给学生足够的时间,教师提出的几个由浅人深的问题引起学生深入的思考,并且能促使学生“发现问题,作出思考,提出猜想,进行归纳”等探究性的学习活动,并教给学生探究性学习的方法。这样设计探究学习活动,是为了更有利于学生主体性的发挥。 四、反思小结,提炼数学思想
当代荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔指出:“反思是数学活动的核心和动力。”在探究学习中,学生通过自己的艰苦探索,探究出丰富多彩但有些杂乱无章的结果。例如上面的探究二:此题需要学生通过尝试,提出猜想、验证猜想、总结规律.既考查基本的数学知识与方法,又注重从特殊到一般的数学归纳能力的要求,突出了学生对图形的探究及探索出有效的解法策略。在探究过程中,学生出现了以下的常见错误:1. 利用三角函数解直角三角形时,三角函数与边不对应,或三角函数值记错;2. 关于∠CMP的定值问题错误的两种观点:(1)认为∠CMP大小不变者,用第(1)小题的特殊值(∠A=30°)进行论证;(2)认为∠CMP大小变化者,把∠A看成是不变的角(30°),∠CMP=∠A ∠CMP=30° ∠CMP等。这些结果虽然凝结了学生探究的辛苦,但却有对有错,因此,在探究学习过程中,教师应及时引导学生进行反思与小结。对于正确的、合乎逻辑的结果予以充分的肯定,并及时提炼上升到数学思想的高度,要讓学生始终对自己充满信心,引导学生反思。为此,笔者和学生一起从以下几个方面进行总结:
(1)在问题的解决过程中,我们是怎样入手的?我们为什么要从这里入手?
(2)在证明过程中我们主要运用了哪些方法?
(3)本题可以概括出怎样的一般性的结论?
(4)在探究中运用了哪些数学思想方法?
五、课外延伸,深化学生探究
圆中“阴影部分”的面积的求解是历年各地中考的一个必须掌握的知识点,求解时既可以根据图形的特点,将其分解转化为扇形、弓形、三角形、平行四边形、梯形等图形的组合来求解,也可根据其特点,灵活巧妙地运用一些方法技巧,可使问题化繁为简,化难为易,收到事半功倍的奇效,现举例说明。
探究三:如图(6)在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点M,MN⊥AC,若∠BAC=120°,AB=2,①求证MN是OO的切线;②求图中阴影部分的面积。
分析:一个图形的面积不易或难以求出时,可以利用全部减其余,便可以使原来不规则的图形转化为规则图形。
思路:S阴影部分=S梯形AOMN-S扇形AOM
学生经过自己的主动探索、实验,发现了重要的结论,这是对学生主动参与精神的激励,能使学生体验到主动探究成功后的喜悦,增强学生学习的动力和信心。经过组内和组际的交流,能使学生各自得到不同的收获,同时能使学生感悟到“面对新问题,联想旧知识,寻找新旧知识之间的关系,揭示知识规律,获取新知”的探究方法和策略,使他们更自觉更主动地投入到探究性学习活动中。
学生探究性学习活动能否顺利实施,关键在于教师能否创造适宜的教学情境和进行合理的引导。在新课程实施过程中,教师要运用一切可能的手段,不断优化教学设计,激发学生的学习兴趣,创设有效的探究时间和空间,形成良好的探究风气,让每个学生都有主动探究的机会和欲望,从而真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。
(作者单位:浙江省苍南县钱库镇第一中学 325800)