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（接上期）
二、施力对小提琴声学特性的影响
弦的频率上文已作介绍，当材料和张力确定后，琴弦长度的改变就会带来音调变化，演奏时通过手指压弦配合弓对琴弦的压力带来悦耳的音乐。琴弓马尾涂抹松香后，其压弦时就存在一定的干摩擦力了。当琴弓由于摩擦力带动弦向一侧运动时，弦弹性变形增大，弹性回复力与变形成正比也同时增大。当回复力可以克服摩擦力时，弦快速反向回到初始位置，再重新被琴弓带动，整个过程是典型的粘滑振动。到目前为止，力学家们仍没有对粘滑机理给出理想的解释，有认为是摩擦力随拉弓速度变化破坏系统平衡引起的，也有认为跟松香剪切强度相关的。另外，振动力学中，摩擦力影响下琴弦的频率会略小于其固有频率，只不过人耳不易分辨。
（一）亥姆霍兹运动
亥姆霍兹通过振动显微镜发现拉动时琴弦瞬时成V字型，并提出了亥姆霍兹角（即V型顶角，如图2中虚线标注的圆圈处所示），该角两侧弦分为两段直线。演奏时亥姆霍兹角在琴码和手指之间快速移动，亥姆霍兹角的顶点在来回移动过程中的包络线形成抛物线。这种亥姆霍兹运动与琴弓压力、运弓速度及施力位置有关。弦上任一点随时间变化的位移表现为三角波的传播，该点的速度为位移方程关于时间的导数时而为正时而为负。研究发现，任一点的位移与走弓速度vB成正比，又反比与该点到琴码的距离占该弦在指尖和琴码间长度的比例β[9]。
弓毛与弦在黏着和滑动过程中，如果亥姆霍兹角的角尖越趋于平滑（接近弧线），声音也会更悦耳。尖锐和平滑的平衡完全靠演奏者演奏时在弓上加力来控制。由摩擦力计算的库伦公式可知，施力越大，静滑动摩擦力越大，也更容易引起明显且尖锐的亥姆霍兹角。此时需要提高泛音的能量来增加声音的亮度。另一个影响亥姆霍兹角平滑度的因素是二级波及其涟漪。波的涟漪是因为亥姆霍兹角回传到弓与弦接触点处虽会变平滑但不会迅速消失，却继续在弦上多次折返而形成。第三种观点认为可以通过弦的拉平效应来控制角的平滑。特别是当施加较大的力于高位拉奏G弦时，更容易观察到尖锐的角迅速被拉平。这种效应是因弦中能量耗散的延迟而导致。总之，亥姆霍兹角的平滑度需要通过经验来控制。谭分析发现琴体与琴颈连接处是小提琴力学中心点，制作时此处角度轻微变化都会改变琴体力矩和背板张力[10]。其给出了琴板受力分析公式，且设计制作时可通过尺规控制。琴弦与琴马的角度通常设置在158°，从力矩和变形角度认为琴弦上设计稳定的预应力利于琴的长期使用[11]。
（二）弓的施力区间
在粘滑引起的规则亥姆霍兹运动中，包含有两个重要的特征施力参量。一是粘着时足够大到允许弓毛在弦上游走的力Fmax，二是足够小到允许亥姆霍兹角处于弓弦接触处仍能继续往两侧移动的力Fmin，具体见Schelleng[12]提出的公式（3）。其中vB和β的物理意义跟上文一样，Z0是弦的横向阻抗，μd和μs分别是动摩擦系数和静摩擦系数（通常静摩擦系数更大），R则是拉曼弦模型中琴码终端的阻力。弓对弦施加的力在Fmin和Fmax之间时，小提琴发出的声音较柔和。根据公式建立平面直角坐标系下的β-力图时，Fmin和Fmax均表现为直线且斜率分别是-1和-2。在这两条线和原点形成的三角区域之外，小提琴发出的声音则很刺耳。演奏乐曲时，亥姆霍兹运动为常态才能让声音连续优美。对于所有的演奏者来说，当音乐力度由pp转换到f，加大弓上的力时，弓会离琴码更近，弓速也会加快。此时弓上施加的力可达到2.5N，弓速为2m/s。
（三）弓的施力角度
图3中给出了弓与弦接触角度的示意图，从中可见运弓时有歪斜、侧斜和倾斜三种状态[13]。运弓是为了让弓能贴在需要发音的弦上，一般认为它比施力更重要。歪斜是指弓与x轴在水平面Oxy上有一定角度（α角），其常自然而然地出现在曲子渐强或渐弱的情况下。侧斜是弓毛与x轴重合，弓与马尾构成的面与Oxz面存在夹角（θ角），当音乐力度一直减弱时很常见。当从弓尖一直走到弓根时，侧斜角度也会越来越大;另外这也是运弓过程中弓更易向指板滑动的原因，因为侧斜会带来弦对马尾的一个水平反作用力（图4中的Fx）;由力学分析可知弓对弦的压力与侧倾角成正比。倾斜则是指弓与水平面之间形成角度（β角），演奏时频繁地换弦就需要变换倾斜角。另外演奏和弦时，根据琴的大小及演奏者习惯的施力点，倾斜角都可精确计算。
三、人弦琴交互作用的力学分析
在总结弦乐演奏动作的研究成果时，李武华[14]提出了弦乐演奏力学四个原理。除了上文已表述的部分外，还有人弦交互作用的力学分析。演奏中需要抬臂运弓，引起发音的力主要是地球引力作用在弓、手和臂上的重力，其中最主要的是上臂受的重力。为克服重力，要放松肩关节。肘部、腕部和其他关节连接弓和人体，靠的是肌肉和韧带提供支撑力，处于次要地位。腕部有时需要用力去展现技巧，但不需要把整个手臂的力都压到弦上。演奏时应该身体上主要部位放松，让次要部位去发力。身体、肩关节、上臂、肘关节、小臂、腕关节、手掌、指关节、手指是环环相扣的有机整体，因此当其中一个部位绕关节转动用力时，由理论力学动量矩守恒定律可知，相邻部位必然会产生相反方向的运动趋势，如直升机的侧向尾桨就是为了产生与主螺旋桨相反的动量矩而设计，目的是为保持飞行中整体动量矩平衡。有时这种反向运动的受力是由琴或弦對人体的反作用力。若手臂整体做僵硬的同一方向运动，则容易跑调。像快速的分弓和跳弓就不适合仅仅控制上臂来演奏。
对于长期演奏某一种乐器的演奏家们来说，关节反复性高强度使用会带来职业病。这属于生物力学的研究范畴。肩部疼痛、腰部疼痛、脊椎疼痛和腱鞘炎是常被提及的小提琴演奏家职业病类型[15]。小提琴音色不好可能和琴的夹持有关，最好是经常性放松调整;腰部和脊椎的不适可能是站姿或站位不当，最好是双脚平行站立、身体自然挺直、尽量使琴水平;少数出现的肘部问题则主要是由于运弓过程中手腕太紧张及手指用力过大。Turner-Stokes等利用瑞典Qualysis公司的三维运动分析系统MacReflex研究了提琴演奏者在乐曲演奏过程中的各关节运动角度及身体各部分运动幅度[16]。小提琴方阵中，最高音演奏者肩关节运动角度为27.4～46.3°，肘关节运动角度为70.4～133.6°，腕关节运动角度为143.3～191.1°;最低音演奏者肩关节运动角度为36.2～63.7°，肘关节运动角度为70.4～136.7°，腕关节运动角度为140.9～189.3°。演奏高音时肩关节和肘关节运动幅度更大，腕关节运动幅度较小。各关节运动位移上有同样的规律。这些研究成果有助于诊断小提琴演奏者长期形成的关节损伤并给出治疗方案。 四、结论
（一）小提琴选材上，传声速度、音响阻抗和辐射阻尼均与材料弹性模量的方根成正比。对于共振板应选择辐射阻尼大阻抗小的材料，共鸣箱板壁则优先选择辐射阻尼小、阻抗大的材料。弦的频率与弦材料力学中的强度相关，与弦所受张力的方根成正比。
（二）弦演奏过程中是振动力学中的粘滑振动，会产生亥姆霍兹运动。亥姆霍兹角越平滑，乐声越优美。控制亥姆霍兹角，压弦的力需要控制在一个区间[Fmin，Fmax]内。根据乐曲需要，弓有侧斜、歪斜和倾斜三种姿态。
（三）演奏过程中，人和琴整体符合理论力学动量矩守恒定律，肩关节要放松而靠其他部位发力。通过生物力学研究小提琴演奏者的动作习惯有助于分析其关节损伤。
参考文献：
[9]Pitteroff R，Woodhouse J.Mechanics of the contact area between a violin bow and a string part III：parameter dependence[J].Acta Acustica united with Acustica，1998，84：929-938.
[10]谭建华.小提琴角度与力学（一）[J].乐器， 2015，10：14-17.
[11]谭建华.小提琴角度与力学（二）[J].乐器， 2015，11：16-19.
[12]Schelleng JC.The bowed string and the player[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1973， 53（1）：26-41.
[13]Erwin S.Mechanics and acoustics of violin bowing： Freedom，constraints and control in performance[D]. Sweden's Royal Institute of Technology，2009.
[14]李武华.弦乐演奏力学原理[J].西安音乐学院学报，1989，2：37-42.
[15]黎頌阳.小提琴演奏中某些职业病的成因及解决办法[J].星海音乐学院学报，2006，2：107-108.
[16]Turner-Stokes L，Reid K.Three-dimensional motion analysis of upper limb movement in the bowing arm of string-playing musicians[J].Clinical Biomechanics，1999，14：426-433.
二、施力对小提琴声学特性的影响
弦的频率上文已作介绍，当材料和张力确定后，琴弦长度的改变就会带来音调变化，演奏时通过手指压弦配合弓对琴弦的压力带来悦耳的音乐。琴弓马尾涂抹松香后，其压弦时就存在一定的干摩擦力了。当琴弓由于摩擦力带动弦向一侧运动时，弦弹性变形增大，弹性回复力与变形成正比也同时增大。当回复力可以克服摩擦力时，弦快速反向回到初始位置，再重新被琴弓带动，整个过程是典型的粘滑振动。到目前为止，力学家们仍没有对粘滑机理给出理想的解释，有认为是摩擦力随拉弓速度变化破坏系统平衡引起的，也有认为跟松香剪切强度相关的。另外，振动力学中，摩擦力影响下琴弦的频率会略小于其固有频率，只不过人耳不易分辨。
（一）亥姆霍兹运动
亥姆霍兹通过振动显微镜发现拉动时琴弦瞬时成V字型，并提出了亥姆霍兹角（即V型顶角，如图2中虚线标注的圆圈处所示），该角两侧弦分为两段直线。演奏时亥姆霍兹角在琴码和手指之间快速移动，亥姆霍兹角的顶点在来回移动过程中的包络线形成抛物线。这种亥姆霍兹运动与琴弓压力、运弓速度及施力位置有关。弦上任一点随时间变化的位移表现为三角波的传播，该点的速度为位移方程关于时间的导数时而为正时而为负。研究发现，任一点的位移与走弓速度vB成正比，又反比与该点到琴码的距离占该弦在指尖和琴码间长度的比例β[9]。
弓毛与弦在黏着和滑动过程中，如果亥姆霍兹角的角尖越趋于平滑（接近弧线），声音也会更悦耳。尖锐和平滑的平衡完全靠演奏者演奏时在弓上加力来控制。由摩擦力计算的库伦公式可知，施力越大，静滑动摩擦力越大，也更容易引起明显且尖锐的亥姆霍兹角。此时需要提高泛音的能量来增加声音的亮度。另一个影响亥姆霍兹角平滑度的因素是二级波及其涟漪。波的涟漪是因为亥姆霍兹角回传到弓与弦接触点处虽会变平滑但不会迅速消失，却继续在弦上多次折返而形成。第三种观点认为可以通过弦的拉平效应来控制角的平滑。特别是当施加较大的力于高位拉奏G弦时，更容易观察到尖锐的角迅速被拉平。这种效应是因弦中能量耗散的延迟而导致。总之，亥姆霍兹角的平滑度需要通过经验来控制。谭分析发现琴体与琴颈连接处是小提琴力学中心点，制作时此处角度轻微变化都会改变琴体力矩和背板张力[10]。其给出了琴板受力分析公式，且设计制作时可通过尺规控制。琴弦与琴马的角度通常设置在158°，从力矩和变形角度认为琴弦上设计稳定的预应力利于琴的长期使用[11]。
（二）弓的施力区间
在粘滑引起的规则亥姆霍兹运动中，包含有两个重要的特征施力参量。一是粘着时足够大到允许弓毛在弦上游走的力Fmax，二是足够小到允许亥姆霍兹角处于弓弦接触处仍能继续往两侧移动的力Fmin，具体见Schelleng[12]提出的公式（3）。其中vB和β的物理意义跟上文一样，Z0是弦的横向阻抗，μd和μs分别是动摩擦系数和静摩擦系数（通常静摩擦系数更大），R则是拉曼弦模型中琴码终端的阻力。弓对弦施加的力在Fmin和Fmax之间时，小提琴发出的声音较柔和。根据公式建立平面直角坐标系下的β-力图时，Fmin和Fmax均表现为直线且斜率分别是-1和-2。在这两条线和原点形成的三角区域之外，小提琴发出的声音则很刺耳。演奏乐曲时，亥姆霍兹运动为常态才能让声音连续优美。对于所有的演奏者来说，当音乐力度由pp转换到f，加大弓上的力时，弓会离琴码更近，弓速也会加快。此时弓上施加的力可达到2.5N，弓速为2m/s。
（三）弓的施力角度
图3中给出了弓与弦接触角度的示意图，从中可见运弓时有歪斜、侧斜和倾斜三种状态[13]。运弓是为了让弓能贴在需要发音的弦上，一般认为它比施力更重要。歪斜是指弓与x轴在水平面Oxy上有一定角度（α角），其常自然而然地出现在曲子渐强或渐弱的情况下。侧斜是弓毛与x轴重合，弓与马尾构成的面与Oxz面存在夹角（θ角），当音乐力度一直减弱时很常见。当从弓尖一直走到弓根时，侧斜角度也会越来越大;另外这也是运弓过程中弓更易向指板滑动的原因，因为侧斜会带来弦对马尾的一个水平反作用力（图4中的Fx）;由力学分析可知弓对弦的压力与侧倾角成正比。倾斜则是指弓与水平面之间形成角度（β角），演奏时频繁地换弦就需要变换倾斜角。另外演奏和弦时，根据琴的大小及演奏者习惯的施力点，倾斜角都可精确计算。
三、人弦琴交互作用的力学分析
在总结弦乐演奏动作的研究成果时，李武华[14]提出了弦乐演奏力学四个原理。除了上文已表述的部分外，还有人弦交互作用的力学分析。演奏中需要抬臂运弓，引起发音的力主要是地球引力作用在弓、手和臂上的重力，其中最主要的是上臂受的重力。为克服重力，要放松肩关节。肘部、腕部和其他关节连接弓和人体，靠的是肌肉和韧带提供支撑力，处于次要地位。腕部有时需要用力去展现技巧，但不需要把整个手臂的力都压到弦上。演奏时应该身体上主要部位放松，让次要部位去发力。身体、肩关节、上臂、肘关节、小臂、腕关节、手掌、指关节、手指是环环相扣的有机整体，因此当其中一个部位绕关节转动用力时，由理论力学动量矩守恒定律可知，相邻部位必然会产生相反方向的运动趋势，如直升机的侧向尾桨就是为了产生与主螺旋桨相反的动量矩而设计，目的是为保持飞行中整体动量矩平衡。有时这种反向运动的受力是由琴或弦對人体的反作用力。若手臂整体做僵硬的同一方向运动，则容易跑调。像快速的分弓和跳弓就不适合仅仅控制上臂来演奏。
对于长期演奏某一种乐器的演奏家们来说，关节反复性高强度使用会带来职业病。这属于生物力学的研究范畴。肩部疼痛、腰部疼痛、脊椎疼痛和腱鞘炎是常被提及的小提琴演奏家职业病类型[15]。小提琴音色不好可能和琴的夹持有关，最好是经常性放松调整;腰部和脊椎的不适可能是站姿或站位不当，最好是双脚平行站立、身体自然挺直、尽量使琴水平;少数出现的肘部问题则主要是由于运弓过程中手腕太紧张及手指用力过大。Turner-Stokes等利用瑞典Qualysis公司的三维运动分析系统MacReflex研究了提琴演奏者在乐曲演奏过程中的各关节运动角度及身体各部分运动幅度[16]。小提琴方阵中，最高音演奏者肩关节运动角度为27.4～46.3°，肘关节运动角度为70.4～133.6°，腕关节运动角度为143.3～191.1°;最低音演奏者肩关节运动角度为36.2～63.7°，肘关节运动角度为70.4～136.7°，腕关节运动角度为140.9～189.3°。演奏高音时肩关节和肘关节运动幅度更大，腕关节运动幅度较小。各关节运动位移上有同样的规律。这些研究成果有助于诊断小提琴演奏者长期形成的关节损伤并给出治疗方案。 四、结论
（一）小提琴选材上，传声速度、音响阻抗和辐射阻尼均与材料弹性模量的方根成正比。对于共振板应选择辐射阻尼大阻抗小的材料，共鸣箱板壁则优先选择辐射阻尼小、阻抗大的材料。弦的频率与弦材料力学中的强度相关，与弦所受张力的方根成正比。
（二）弦演奏过程中是振动力学中的粘滑振动，会产生亥姆霍兹运动。亥姆霍兹角越平滑，乐声越优美。控制亥姆霍兹角，压弦的力需要控制在一个区间[Fmin，Fmax]内。根据乐曲需要，弓有侧斜、歪斜和倾斜三种姿态。
（三）演奏过程中，人和琴整体符合理论力学动量矩守恒定律，肩关节要放松而靠其他部位发力。通过生物力学研究小提琴演奏者的动作习惯有助于分析其关节损伤。
参考文献：
[9]Pitteroff R，Woodhouse J.Mechanics of the contact area between a violin bow and a string part III：parameter dependence[J].Acta Acustica united with Acustica，1998，84：929-938.
[10]谭建华.小提琴角度与力学（一）[J].乐器， 2015，10：14-17.
[11]谭建华.小提琴角度与力学（二）[J].乐器， 2015，11：16-19.
[12]Schelleng JC.The bowed string and the player[J].The Journal of the Acoustical Society of America，1973， 53（1）：26-41.
[13]Erwin S.Mechanics and acoustics of violin bowing： Freedom，constraints and control in performance[D]. Sweden's Royal Institute of Technology，2009.
[14]李武华.弦乐演奏力学原理[J].西安音乐学院学报，1989，2：37-42.
[15]黎頌阳.小提琴演奏中某些职业病的成因及解决办法[J].星海音乐学院学报，2006，2：107-108.
[16]Turner-Stokes L，Reid K.Three-dimensional motion analysis of upper limb movement in the bowing arm of string-playing musicians[J].Clinical Biomechanics，1999，14：426-433.