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摘 要 针对两正交圆柱体相贯线的形状特征和投影规律，通过空间曲线方程推导了两正交圆柱体相贯线在非积聚性投影面投影为双曲线或直线，对于空间曲线的投影直观性较差的问题，通过三维建模软件表达了直径变化时两正交圆柱体相贯线演变趋势，结合实际操作并给出了两圆柱体相贯线的求解流程图。
关键词 工程制图 正交圆柱体 相贯线 投影
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.09.038
Two Orthogonal Cylinders Intersecting Lines
Teaching in Engineering Drawing
CHENG Gang[1][2]， LU Shuqun[3]
（[1] Anhui University of Science & Technology， Huainan， Anhui 232001;
[2] Anhui Mine Mechanical and Electrical Equipment Collaborative Innovation Center， Huainan， Anhui 232001;
[3] School of Mechanical and Automotive Engineering， Chuzhou University， Chuzhou， Anhui 239000）
Abstract For shape characteristics and laws of the two orthogonal projection cylinders intersecting line space curve equation was derived by two orthogonal lines intersecting cylinders in the accumulation of non-hyperbolic or linear projection surface projection， the projection of the space curve intuitive when the problem of the poor， expressed by three-dimensional modeling software change in diameter of two orthogonal lines intersecting cylinders evolution trend， combined with the actual operation and gives a flowchart for solving the two cylinders intersecting lines.
Key words engineering drawing; orthogonal cylinder; intersecting Line; projection
0 前言
相贯线是工程制图中重、难点教学内容。教材中关于相贯线的定义是：“两立体表面的交线称为相贯线。”两曲面立体表面的相贯性一般是封闭的空间曲线，其形状取决于曲面立体的形状、大小和它们轴线的相对位置。求作时，首先是判定相贯线的形状特点，再根据相贯线各投影特点，作出投影图。在教学实践中，由于相贯性的相对抽象性，学生很难理解并正确作图，究其原因是在于：一是没有深度地理解相贯线的形状特征;二是没有通过三维模拟技术生动表达出相贯性的形成原理。文章以两正交圆柱体相贯线为例，针对上述问题做一些教学上的探讨研究。
1 数学分析
教材中针对两正交圆柱体相贯线的作图方法和步骤叙述较多，而对于其相贯线的由来或形状的准确描述很少。准确描述曲线在于利用数学语言来求解相贯线上点的运动轨迹，求出其对应方程。方程在逻辑上的优势对于工科学生来说更具备深刻记忆的特征，一旦相贯线方程和投影方程被确定，对应的曲线形状通过前期数学知识的积累，学生将会很容易地搜索到曲线的特征，这对后面找点近似描出相贯线投影具有很强的提示作用，从而强化了形状预判的理论根据。
1.1基本理论
从高等数学上可以获知，空间曲线可以看作两个曲面的交线，如图1所示。假设两曲面的方程分别为：（，，）=0，（，，）=0，它们所产生的空间交线为，的任意点坐标均满足两曲面的方程，因此交线的一般方程为：
（1）
方程组（1）消去变量后得到方程：
（）=0（2）
方程（2）即为曲线在面上的投影。同理，消去方程组（1）的变量或变量，分别和=0或=0联立，就可以得出空间曲线在面或面上的投影方程。
图1空间曲面交线图2两正交圆柱体相贯
1.2方程推导
根据上述空间曲线方程和空间曲线在坐标面上的投影理论，对于两正交圆柱体，如图2所示。其相贯线（圆柱面交线）方程为：（3）
消去变量，可得出两正交圆柱体的相贯线在面上的投影方程组为：=（4）
从图2中可以看出：相贯线在面和面上的因投影具有积聚性特点，判断较易，为圆弧或整圆。两圆柱体是正交，前后对称，因而相贯线在面上的投影即可以看作在面上的投影，方程组（4）便可描述。通过对方程组（4）的分析可以得出，其表达式为双曲线形式（=情况除外）。
当=时，方程组（4）简化为：
（5）
此时为两个相等直径的正交圆柱体相贯，其面投影从双曲线转变为直线相交形式，类似于“住焙拧？
2三维辅助模型
实践教学中，学生对相贯线的形成过程和相关规律并不能理解透彻、融会贯通，原因在于学生对于三维转换成二维的思维过程没有彻底解放，而且相贯线相对其它形体投影又比较抽象，空间曲线的投影往往给学生造成巨大的困惑。直观度较差是学生无法充分领会相贯线特性的重要障碍。因而，在实践教学中，为了让学生能从充分认知相贯性的形成过程和投影规律，利用现阶段成熟的三维建模软件，配合相关的动画技术，建立三维模型的动态效果来帮助学生建立起空间概念是非常有必要的。常用的三维建模软件有AutoCAD、Solidworks、Pro/E、Catia、3dmax等等，实际上在当前的机械设计过程中，三维模型造型已经渗透到设计诸多环节中，亦成为工程师绘制工程图重要的辅助参考，可以说三维造型技术与二维绘图已融为一体。对两正交圆柱体相贯线投影特性，借以三维建模软件，绘制出两正交圆柱体相贯时，竖直圆柱直径不变而水平圆柱直径改变时，相贯线的变化趋势与规律。如图3所示。 （a）（b）（c）（d）（e）
图3直径变化时两正交圆柱体相贯线演变趋势
结合前文对两正交圆柱体相贯线的数学方程的推导结论，通过建模软件的三维造型功能，从图3可以看出直径变化时两正交圆柱体相贯线演变趋势为：竖直圆柱直径不变而水平圆柱直径改变时，当竖直圆柱直径大于水平圆柱直径时，相贯线在非积聚性投影面上投影为左右对称的两条双曲线;当竖直圆柱直径等于水平圆柱直径时，相贯线在非积聚性投影面上投影为两条直线，类似于“住焙牛坏笔痹仓本缎∮谒皆仓本妒保喙嵯咴诜腔坌酝队懊嫔贤队拔舷露猿频牧教跛摺W苤礁鲋本恫煌仓逭皇保湎喙嵯咴诜腔坌酝队懊嫔贤队拔撸沂窍蚪闲〉脑仓宸较虬枷蛲淝？
3投影画法
通过数学推导，我们获得：除相贯线为直线这种特殊情况外，其余两正交圆柱体相贯线在非积聚性的投影面上投影均为双曲线。对于两正交圆柱体相贯线画法可采用表面取点法去求作，求出相贯线上的特殊点，然后再根据需求求出一般点，最后用光滑的曲线连接各点即可。这好比已经知道了该问题的答案，只不过利用表面取点法这种方法来重演这个问题，抑或说求作方法更强调的是一种过程，这里估且不去讨论表面取点法来求作相贯线的投影步骤。在现实设计中，图纸上出现两圆柱体的相贯线情况较多，两圆柱轴线正交相贯且直径不相等时，在不致引起误解的情况下，通常是采用的简化画法来替代取点方法求作相贯线的投影，即以相贯两圆柱体中较大圆柱的半径为半径，以圆弧替代相贯线。所以说两正交圆柱体相贯线在实际操作中更注重的是最后制图表达的效果。两圆柱体相贯线求解流程图如图4所示。
图4两圆柱体相贯线求解流程图
4小结
工程制图圆柱体相贯线的教学中要求学生重点熟悉和掌握两正交圆柱体相贯线投影规律和作图方法。正确理解和化抽象为具体的思路在于要深度领会两正交圆柱体相贯线的投影形状特征。本文是以数学推导的方式建立了相贯线的投影方程，如此可强化学生的逻辑记忆，同时也具备更强的说服力。此外，通过三维模拟技术生动再现了两正交圆柱体相贯线的演变趋势，这对学生从理性再到感性认识度又再次强化，如此可以将两正交圆柱体相贯线的形状特征深刻地固化在大脑里，在后期遇到绘制两正交圆柱体相贯线时便可快速地作出形状预判，结合简化画法，在实际操作中将更为准确、方便。
基金项目：安徽理工大学校青年基金（编号：QN201317）
参考文献
[1] 张文利.几种典型相贯线的数学分析[J].镇江高专学报，2003.16（4）：55-57.
[2] 李富平，左宗义，冯开平.制图课件“相贯线"的设计与图形制作[J].集美大学学报（自然科学版），2001 （增刊）：253-255.
[3] 毛文武.基于CAD三维造型的制图课程教学改革与探索[J].机电技术，2011（6）：166-168.
[4] 林四连.Pro/ENGINEER在《工程制图》相贯线教学中的应用[J].黎明职业大学学报，2009（2）：53-55.
[5] 汪正俊.工程制图[M].北京：人民邮电出版社，2013.
关键词 工程制图 正交圆柱体 相贯线 投影
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2015.09.038
Two Orthogonal Cylinders Intersecting Lines
Teaching in Engineering Drawing
CHENG Gang[1][2]， LU Shuqun[3]
（[1] Anhui University of Science & Technology， Huainan， Anhui 232001;
[2] Anhui Mine Mechanical and Electrical Equipment Collaborative Innovation Center， Huainan， Anhui 232001;
[3] School of Mechanical and Automotive Engineering， Chuzhou University， Chuzhou， Anhui 239000）
Abstract For shape characteristics and laws of the two orthogonal projection cylinders intersecting line space curve equation was derived by two orthogonal lines intersecting cylinders in the accumulation of non-hyperbolic or linear projection surface projection， the projection of the space curve intuitive when the problem of the poor， expressed by three-dimensional modeling software change in diameter of two orthogonal lines intersecting cylinders evolution trend， combined with the actual operation and gives a flowchart for solving the two cylinders intersecting lines.
Key words engineering drawing; orthogonal cylinder; intersecting Line; projection
0 前言
相贯线是工程制图中重、难点教学内容。教材中关于相贯线的定义是：“两立体表面的交线称为相贯线。”两曲面立体表面的相贯性一般是封闭的空间曲线，其形状取决于曲面立体的形状、大小和它们轴线的相对位置。求作时，首先是判定相贯线的形状特点，再根据相贯线各投影特点，作出投影图。在教学实践中，由于相贯性的相对抽象性，学生很难理解并正确作图，究其原因是在于：一是没有深度地理解相贯线的形状特征;二是没有通过三维模拟技术生动表达出相贯性的形成原理。文章以两正交圆柱体相贯线为例，针对上述问题做一些教学上的探讨研究。
1 数学分析
教材中针对两正交圆柱体相贯线的作图方法和步骤叙述较多，而对于其相贯线的由来或形状的准确描述很少。准确描述曲线在于利用数学语言来求解相贯线上点的运动轨迹，求出其对应方程。方程在逻辑上的优势对于工科学生来说更具备深刻记忆的特征，一旦相贯线方程和投影方程被确定，对应的曲线形状通过前期数学知识的积累，学生将会很容易地搜索到曲线的特征，这对后面找点近似描出相贯线投影具有很强的提示作用，从而强化了形状预判的理论根据。
1.1基本理论
从高等数学上可以获知，空间曲线可以看作两个曲面的交线，如图1所示。假设两曲面的方程分别为：（，，）=0，（，，）=0，它们所产生的空间交线为，的任意点坐标均满足两曲面的方程，因此交线的一般方程为：
（1）
方程组（1）消去变量后得到方程：
（）=0（2）
方程（2）即为曲线在面上的投影。同理，消去方程组（1）的变量或变量，分别和=0或=0联立，就可以得出空间曲线在面或面上的投影方程。
图1空间曲面交线图2两正交圆柱体相贯
1.2方程推导
根据上述空间曲线方程和空间曲线在坐标面上的投影理论，对于两正交圆柱体，如图2所示。其相贯线（圆柱面交线）方程为：（3）
消去变量，可得出两正交圆柱体的相贯线在面上的投影方程组为：=（4）
从图2中可以看出：相贯线在面和面上的因投影具有积聚性特点，判断较易，为圆弧或整圆。两圆柱体是正交，前后对称，因而相贯线在面上的投影即可以看作在面上的投影，方程组（4）便可描述。通过对方程组（4）的分析可以得出，其表达式为双曲线形式（=情况除外）。
当=时，方程组（4）简化为：
（5）
此时为两个相等直径的正交圆柱体相贯，其面投影从双曲线转变为直线相交形式，类似于“住焙拧？
2三维辅助模型
实践教学中，学生对相贯线的形成过程和相关规律并不能理解透彻、融会贯通，原因在于学生对于三维转换成二维的思维过程没有彻底解放，而且相贯线相对其它形体投影又比较抽象，空间曲线的投影往往给学生造成巨大的困惑。直观度较差是学生无法充分领会相贯线特性的重要障碍。因而，在实践教学中，为了让学生能从充分认知相贯性的形成过程和投影规律，利用现阶段成熟的三维建模软件，配合相关的动画技术，建立三维模型的动态效果来帮助学生建立起空间概念是非常有必要的。常用的三维建模软件有AutoCAD、Solidworks、Pro/E、Catia、3dmax等等，实际上在当前的机械设计过程中，三维模型造型已经渗透到设计诸多环节中，亦成为工程师绘制工程图重要的辅助参考，可以说三维造型技术与二维绘图已融为一体。对两正交圆柱体相贯线投影特性，借以三维建模软件，绘制出两正交圆柱体相贯时，竖直圆柱直径不变而水平圆柱直径改变时，相贯线的变化趋势与规律。如图3所示。 （a）（b）（c）（d）（e）
图3直径变化时两正交圆柱体相贯线演变趋势
结合前文对两正交圆柱体相贯线的数学方程的推导结论，通过建模软件的三维造型功能，从图3可以看出直径变化时两正交圆柱体相贯线演变趋势为：竖直圆柱直径不变而水平圆柱直径改变时，当竖直圆柱直径大于水平圆柱直径时，相贯线在非积聚性投影面上投影为左右对称的两条双曲线;当竖直圆柱直径等于水平圆柱直径时，相贯线在非积聚性投影面上投影为两条直线，类似于“住焙牛坏笔痹仓本缎∮谒皆仓本妒保喙嵯咴诜腔坌酝队懊嫔贤队拔舷露猿频牧教跛摺W苤礁鲋本恫煌仓逭皇保湎喙嵯咴诜腔坌酝队懊嫔贤队拔撸沂窍蚪闲〉脑仓宸较虬枷蛲淝？
3投影画法
通过数学推导，我们获得：除相贯线为直线这种特殊情况外，其余两正交圆柱体相贯线在非积聚性的投影面上投影均为双曲线。对于两正交圆柱体相贯线画法可采用表面取点法去求作，求出相贯线上的特殊点，然后再根据需求求出一般点，最后用光滑的曲线连接各点即可。这好比已经知道了该问题的答案，只不过利用表面取点法这种方法来重演这个问题，抑或说求作方法更强调的是一种过程，这里估且不去讨论表面取点法来求作相贯线的投影步骤。在现实设计中，图纸上出现两圆柱体的相贯线情况较多，两圆柱轴线正交相贯且直径不相等时，在不致引起误解的情况下，通常是采用的简化画法来替代取点方法求作相贯线的投影，即以相贯两圆柱体中较大圆柱的半径为半径，以圆弧替代相贯线。所以说两正交圆柱体相贯线在实际操作中更注重的是最后制图表达的效果。两圆柱体相贯线求解流程图如图4所示。
图4两圆柱体相贯线求解流程图
4小结
工程制图圆柱体相贯线的教学中要求学生重点熟悉和掌握两正交圆柱体相贯线投影规律和作图方法。正确理解和化抽象为具体的思路在于要深度领会两正交圆柱体相贯线的投影形状特征。本文是以数学推导的方式建立了相贯线的投影方程，如此可强化学生的逻辑记忆，同时也具备更强的说服力。此外，通过三维模拟技术生动再现了两正交圆柱体相贯线的演变趋势，这对学生从理性再到感性认识度又再次强化，如此可以将两正交圆柱体相贯线的形状特征深刻地固化在大脑里，在后期遇到绘制两正交圆柱体相贯线时便可快速地作出形状预判，结合简化画法，在实际操作中将更为准确、方便。
基金项目：安徽理工大学校青年基金（编号：QN201317）
参考文献
[1] 张文利.几种典型相贯线的数学分析[J].镇江高专学报，2003.16（4）：55-57.
[2] 李富平，左宗义，冯开平.制图课件“相贯线"的设计与图形制作[J].集美大学学报（自然科学版），2001 （增刊）：253-255.
[3] 毛文武.基于CAD三维造型的制图课程教学改革与探索[J].机电技术，2011（6）：166-168.
[4] 林四连.Pro/ENGINEER在《工程制图》相贯线教学中的应用[J].黎明职业大学学报，2009（2）：53-55.
[5] 汪正俊.工程制图[M].北京：人民邮电出版社，2013.