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作为课程改革倡导的学习方式,探究学习已经得到一线教师的认同,广大教师设计了许多基于探究学习的教学案例。反思和剖析这些案例,对于设计有效的探究学习路径具有十分重要的意义。下面,笔者从“三角形的三边关系”教学案例出发,就如何设计探究学习的路径作些思考。
一、例说:探究学习路径
1.在“实验、猜测、反驳、验证和推理”的螺旋上升中形成并完善结论
在探究“三角形的三边关系”时,如何引导学生“用两边的和与第三边进行比较”是一个困难的问题。这个问题解决好了,学生猜测、发现、创造的火花就能够激发出来。
(1)实验,提出猜测。一位教师在教学“三角形的三边关系”时,先引导学生思考“将一根吸管剪成任意三段,把它们首尾相连,会得到什么图形”。学生在动手操作探究后形成了这样的观点:当较短的两条线段加起来比第三条线段短,或者等于第三条线段时,围不成三角形;当两条线段的和大于第三条线段时,就能够围成一个三角形。这就形成了第一次猜测:两条线段的和大于第三条线段时,三条线段能够围成一个三角形。
(2)反驳,完善猜测,形成结论。在第一次猜测形成后,教师出示了一个反例:“三条线段的长度分别是4、5、10。因为4+10>5,两条线段的和大于第三条线段,所以这三条线段可以围成三角形。你们同意吗?”这是对第一次猜测的反驳。通过反驳,引发学生的认知冲突,启发学生对刚刚获得的猜测进行修正、完善,从而形成进一步的猜测。
接着,教师进行追问:“在什么情况下才能够围成一个三角形呢?”学生回答了“任意两条线段的和大于第三条线段,就能够围成三角形”和“较短的两条线段的和大于第三条线段,就能够围成三角形”这两个结果。教师再问:“你怎样理解任意?”学生答:“就是随便拿两条线段。”教师小结:“这两个字非常关键,我们把刚才的这句话补充完整——三角形任意两边的和大于第三边。”
(3)实践,验证结论。猜测成立与否?教师安排学生做练习(如图1),学生在做练习的过程中,进一步验证结论、巩固结论。
(4)推理,优化结论。在学生完成上述练习后,教师启发学生:“有的同学为了防止出错,每道题加了3遍,有点麻烦吧?”学生回答:“只要较短的两条线段的和大于第三条就行了。”教师又问:“为什么?”学生答道:“如果较短的两条线段的和大于第三条,有较长的那条线段参与的两条线段的和一定大于第三条,这不就是任意两条线段的和大于第三条吗?”教师小结:“三角形较短的两边的和大于第三边。”
学生的推理太精彩了:从直觉出发,如果较短的两条线段的和大于第三条,那么,任意两条线段的和一定大于第三条。通过猜测、反驳、验证,已经得到了一个一般的结论,利用这个结论可以判断三条线段能否构成一个三角形。然而,在解决实际问题时,仍然比较繁琐,能否有一个更简洁的方法呢?教师引导学生进一步探究,将结论进一步精致化、实用化,得到一个优化的结论。这是认识的又一次深化。
2.在开掘课程资源和表征的转化中加深对结论的认识
(1)开掘丰厚的课程资源。对上述练习,如果学生顺利完成了“在能拼成三角形的各组小棒下面画钩”,通常就算解决了问题。教师用“一双慧眼”窥视到练习后面的“潜藏意蕴”,用“一双妙手”开掘出“丰厚的课程资源”。比如,对“长度分别为3、4、5的3根小棒”,教师让学生想象该三角形的形状。进一步,让学生观察这3根小棒长度的特点:长度是3个连续的自然数。这样做,一方面培养了学生的观察能力,另一方面又启发学生猜测:是否所有以3个连续的自然数为长度的小棒都能够构成一个三角形呢?这又是一个让学生猜测、验证的命题,学生再一次体验到探究的乐趣。对“长度分别为3、3、5的3根小棒”,教师提出了一个开放性问题:“我对这个等腰三角形很感兴趣。它的两条边是相等的, 都是3。现在把5厘米的边换一下,怎么换才能保证围成一个三角形呢?”
(2)实现表征的转化。在探究得到结论、通过练习加深了对结论的理解后,教师进一步引导学生:“为了方便, 我们用a、b、c分别表示三角形的三条边。你能用字母表示三角形三条边的关系吗?”学生回答:“表示为a+b>c、a+c>b、b+c>a。”
这就实现了从语言表征到符号表征的转化,学生的认识上升到一个更加抽象的水平。教师又问:“如果只用一个算式a、b来表示,这里a、b代表什么?”学生答道:“a、b既可以代表任意两条边,也可以代表较短的两条边。”
作出这一步表征,意义重大。其一,从数学的角度而言,加深了对符号的认识。a、b作为符号,代表性非常宽泛。它们既可以代表已知的数,也可以代表未知的数。字母表示某些东西,不同的字母或表达式可表示相同的东西。这里的a、b不仅可以代表任意两条边,不仅仅是原来的a、b边,也可以是c边;还可以代表较短的两条边。这就是a、b的本来面目,这就是a、b的应有之意。其二,从学习心理的角度而言,将原本3个式子压缩成1个,实现了由符号表征到更为抽象的符号表征的转化。这次抽象以符号为抽象的对象,是对符号的反身抽象,是对符号本身的抽象和压缩。也就是说,将具体的a、b、c边压缩成一个更为抽象的a,用一个式子涵盖了本节课所讲的主要内容。在深刻理解的基础上,对这些知识进行压缩,在认知结构上形成一个节点,从而节省了记忆空间,有利于知识的存储,也有利于知识的提取。
以上过程也就是用数学方法把实际材料组织起来的数学化的过程。数学化是有层次的,一般而言,由低到高,有两个层次:一是横向的数学化,即把生活世界引向符号世界。比如,用符号来表示三角形三边之间的关系。二是纵向的数学化,即在符号世界里,符号生成、重塑、被使用。用一个式子来表示三角形三边之间的关系,可以看做是纵向的数学化。
二、反思:偏离探究目标,违背数学逻辑
1.偏离探究目标
以上案例,呈现了一个真实的探究学习过程。教师成功地引导学生“用两条线段的和与第三条线段进行比较”,也成功地引导学生在“实验、猜测、验证、反驳、推理”中展开探究学习。从这个意义而言,该案例具有较大的学习价值。
然而,仔细分析不难发现,该案例探究的问题是“满足什么条件的三条线段,才能够围成一个三角形”,探究得到的结论是“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形”,或“较短的两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形”,或“两条线段的和等于或者小于第三条线段,不能够围成三角形”。这与本节课要探究的问题“三角形的三条边须满足什么样的关系”和结论“三角形任意两边的和大于第三边”并不完全一致。
从分析“反驳,完善猜测,形成结论”这一片段可以看出,学生按照教师的要求进行探究,得到的结论是“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形” 。教师所板书的结论是“三角形任意两边的和大于第三边”,两者并不完全一致。教师要得到所板书的结论,尚需扭转学生思想上的一个弯。
2.违背数学逻辑
如果探究的问题是“满足什么条件的三条线段,才能够围成一个三角形”,探究得到的结论是“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形”,那么该探究案例的设计就是正确的。
然而,分析该案例可以发现,教师是从“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成一个三角形”推导出“三角形任意两边的和大于第三边”的。从逻辑的角度来分析,这样推导是有缺陷的。
用A表示“任意两条线段的和大于第三条线段”,用B表示“围成一个三角形”。于是,“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成一个三角形”可以表示为“若A,则B”;“三角形任意两边的和大于第三边”可以表示为“若B,则A”。我们知道,命题“若A,则B”成立,其逆命题“若B,则A”不一定成立。也就是说,由学生探究的结论,并不能必然地推导出教师想得到的结论。相反,如果命题“两条线段的和等于或者小于第三条线段,不能够围成三角形”为真,却可以推导出其逆否命题“三角形任意两边的和大于第三边”一定为真。也就是说,可以从这个命题推导出教师想得到的结论。
上述分析表明:其一,要想得到教师所板书的结论,考察教师所作的推理,逻辑上是有缺陷的。弥补这一缺陷的办法是:强调“在什么样的条件下,三条线段不能够围成三角形”。其二,即便是这样,对于四年级的学生而言,要轻松地转过逻辑上的这个弯,还是有着较大的困难的。(未完待续)(作者单位:杭州师范大学)
作者简介:教授,教育学博士,心理学博士后,主要研究方向是基础教育数学课程改革的理论和实践,数学教育心理。在《课程教材教法》《人民教育》等刊物发表文章四十余篇,主持全国教育科学“十一五”规划课题“基于学生认知发展水平的课程标准的适切性研究”。
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
一、例说:探究学习路径
1.在“实验、猜测、反驳、验证和推理”的螺旋上升中形成并完善结论
在探究“三角形的三边关系”时,如何引导学生“用两边的和与第三边进行比较”是一个困难的问题。这个问题解决好了,学生猜测、发现、创造的火花就能够激发出来。
(1)实验,提出猜测。一位教师在教学“三角形的三边关系”时,先引导学生思考“将一根吸管剪成任意三段,把它们首尾相连,会得到什么图形”。学生在动手操作探究后形成了这样的观点:当较短的两条线段加起来比第三条线段短,或者等于第三条线段时,围不成三角形;当两条线段的和大于第三条线段时,就能够围成一个三角形。这就形成了第一次猜测:两条线段的和大于第三条线段时,三条线段能够围成一个三角形。
(2)反驳,完善猜测,形成结论。在第一次猜测形成后,教师出示了一个反例:“三条线段的长度分别是4、5、10。因为4+10>5,两条线段的和大于第三条线段,所以这三条线段可以围成三角形。你们同意吗?”这是对第一次猜测的反驳。通过反驳,引发学生的认知冲突,启发学生对刚刚获得的猜测进行修正、完善,从而形成进一步的猜测。
接着,教师进行追问:“在什么情况下才能够围成一个三角形呢?”学生回答了“任意两条线段的和大于第三条线段,就能够围成三角形”和“较短的两条线段的和大于第三条线段,就能够围成三角形”这两个结果。教师再问:“你怎样理解任意?”学生答:“就是随便拿两条线段。”教师小结:“这两个字非常关键,我们把刚才的这句话补充完整——三角形任意两边的和大于第三边。”
(3)实践,验证结论。猜测成立与否?教师安排学生做练习(如图1),学生在做练习的过程中,进一步验证结论、巩固结论。
(4)推理,优化结论。在学生完成上述练习后,教师启发学生:“有的同学为了防止出错,每道题加了3遍,有点麻烦吧?”学生回答:“只要较短的两条线段的和大于第三条就行了。”教师又问:“为什么?”学生答道:“如果较短的两条线段的和大于第三条,有较长的那条线段参与的两条线段的和一定大于第三条,这不就是任意两条线段的和大于第三条吗?”教师小结:“三角形较短的两边的和大于第三边。”
学生的推理太精彩了:从直觉出发,如果较短的两条线段的和大于第三条,那么,任意两条线段的和一定大于第三条。通过猜测、反驳、验证,已经得到了一个一般的结论,利用这个结论可以判断三条线段能否构成一个三角形。然而,在解决实际问题时,仍然比较繁琐,能否有一个更简洁的方法呢?教师引导学生进一步探究,将结论进一步精致化、实用化,得到一个优化的结论。这是认识的又一次深化。
2.在开掘课程资源和表征的转化中加深对结论的认识
(1)开掘丰厚的课程资源。对上述练习,如果学生顺利完成了“在能拼成三角形的各组小棒下面画钩”,通常就算解决了问题。教师用“一双慧眼”窥视到练习后面的“潜藏意蕴”,用“一双妙手”开掘出“丰厚的课程资源”。比如,对“长度分别为3、4、5的3根小棒”,教师让学生想象该三角形的形状。进一步,让学生观察这3根小棒长度的特点:长度是3个连续的自然数。这样做,一方面培养了学生的观察能力,另一方面又启发学生猜测:是否所有以3个连续的自然数为长度的小棒都能够构成一个三角形呢?这又是一个让学生猜测、验证的命题,学生再一次体验到探究的乐趣。对“长度分别为3、3、5的3根小棒”,教师提出了一个开放性问题:“我对这个等腰三角形很感兴趣。它的两条边是相等的, 都是3。现在把5厘米的边换一下,怎么换才能保证围成一个三角形呢?”
(2)实现表征的转化。在探究得到结论、通过练习加深了对结论的理解后,教师进一步引导学生:“为了方便, 我们用a、b、c分别表示三角形的三条边。你能用字母表示三角形三条边的关系吗?”学生回答:“表示为a+b>c、a+c>b、b+c>a。”
这就实现了从语言表征到符号表征的转化,学生的认识上升到一个更加抽象的水平。教师又问:“如果只用一个算式a、b来表示,这里a、b代表什么?”学生答道:“a、b既可以代表任意两条边,也可以代表较短的两条边。”
作出这一步表征,意义重大。其一,从数学的角度而言,加深了对符号的认识。a、b作为符号,代表性非常宽泛。它们既可以代表已知的数,也可以代表未知的数。字母表示某些东西,不同的字母或表达式可表示相同的东西。这里的a、b不仅可以代表任意两条边,不仅仅是原来的a、b边,也可以是c边;还可以代表较短的两条边。这就是a、b的本来面目,这就是a、b的应有之意。其二,从学习心理的角度而言,将原本3个式子压缩成1个,实现了由符号表征到更为抽象的符号表征的转化。这次抽象以符号为抽象的对象,是对符号的反身抽象,是对符号本身的抽象和压缩。也就是说,将具体的a、b、c边压缩成一个更为抽象的a,用一个式子涵盖了本节课所讲的主要内容。在深刻理解的基础上,对这些知识进行压缩,在认知结构上形成一个节点,从而节省了记忆空间,有利于知识的存储,也有利于知识的提取。
以上过程也就是用数学方法把实际材料组织起来的数学化的过程。数学化是有层次的,一般而言,由低到高,有两个层次:一是横向的数学化,即把生活世界引向符号世界。比如,用符号来表示三角形三边之间的关系。二是纵向的数学化,即在符号世界里,符号生成、重塑、被使用。用一个式子来表示三角形三边之间的关系,可以看做是纵向的数学化。
二、反思:偏离探究目标,违背数学逻辑
1.偏离探究目标
以上案例,呈现了一个真实的探究学习过程。教师成功地引导学生“用两条线段的和与第三条线段进行比较”,也成功地引导学生在“实验、猜测、验证、反驳、推理”中展开探究学习。从这个意义而言,该案例具有较大的学习价值。
然而,仔细分析不难发现,该案例探究的问题是“满足什么条件的三条线段,才能够围成一个三角形”,探究得到的结论是“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形”,或“较短的两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形”,或“两条线段的和等于或者小于第三条线段,不能够围成三角形”。这与本节课要探究的问题“三角形的三条边须满足什么样的关系”和结论“三角形任意两边的和大于第三边”并不完全一致。
从分析“反驳,完善猜测,形成结论”这一片段可以看出,学生按照教师的要求进行探究,得到的结论是“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形” 。教师所板书的结论是“三角形任意两边的和大于第三边”,两者并不完全一致。教师要得到所板书的结论,尚需扭转学生思想上的一个弯。
2.违背数学逻辑
如果探究的问题是“满足什么条件的三条线段,才能够围成一个三角形”,探究得到的结论是“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成三角形”,那么该探究案例的设计就是正确的。
然而,分析该案例可以发现,教师是从“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成一个三角形”推导出“三角形任意两边的和大于第三边”的。从逻辑的角度来分析,这样推导是有缺陷的。
用A表示“任意两条线段的和大于第三条线段”,用B表示“围成一个三角形”。于是,“任意两条线段的和大于第三条线段,能够围成一个三角形”可以表示为“若A,则B”;“三角形任意两边的和大于第三边”可以表示为“若B,则A”。我们知道,命题“若A,则B”成立,其逆命题“若B,则A”不一定成立。也就是说,由学生探究的结论,并不能必然地推导出教师想得到的结论。相反,如果命题“两条线段的和等于或者小于第三条线段,不能够围成三角形”为真,却可以推导出其逆否命题“三角形任意两边的和大于第三边”一定为真。也就是说,可以从这个命题推导出教师想得到的结论。
上述分析表明:其一,要想得到教师所板书的结论,考察教师所作的推理,逻辑上是有缺陷的。弥补这一缺陷的办法是:强调“在什么样的条件下,三条线段不能够围成三角形”。其二,即便是这样,对于四年级的学生而言,要轻松地转过逻辑上的这个弯,还是有着较大的困难的。(未完待续)(作者单位:杭州师范大学)
作者简介:教授,教育学博士,心理学博士后,主要研究方向是基础教育数学课程改革的理论和实践,数学教育心理。在《课程教材教法》《人民教育》等刊物发表文章四十余篇,主持全国教育科学“十一五”规划课题“基于学生认知发展水平的课程标准的适切性研究”。
□责任编辑 邓园生
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