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◆摘 要:《数学分析》学习是个难点。本文分析大一学生在概念定义、数学观念、问题解决、知识结构、自主自学和数学思考等方面存在问题及其成因,以提高《数学分析》教和学的效果。
◆关键词:《数学分析》;数学学习;学习能力
《数学分析》内容理论性比较强,抽象严谨,客观上给学生造成了理解难度,初次学习不易获得学习成功感受。多数学生被动学习《数学分析》,表现为死记硬背,不求甚解,套用教材例题完成作业,学习《数学分析》仅为了考试通过,缺乏学习兴趣和动机。本文针对目前大一学生学习《数学分析》存在问题及原因进行探讨,或许对《数学分析》教与学有所启发。
1概念定义方面
《数学分析》概念是《数学分析》思维基本形式,而概念的形式化和符号化结果是概念定义,是抽象的。学生能够理解概念表象,但并不能运用概念定义按照逻辑规则证明命题或解决问题,尤其不能用概念定义构造思路,表现为概念内涵理解不到位。如,学习了函数极限ε–δ多种定义后,不会利用定义证明函数极限题目,不能表达“因变量变化趋势”与“自变量变化范围或邻域”之间的相互依赖的量的关系。这些问题产生缘由,一方面在于学生思维方式还处于初等数学经验型,没能过渡到形式化思维,对于定义中涉及到符号逻辑关系理解不清。学生对概念的建构也仅仅是处在一个程序阶段,没有进入抽象阶段。所以,他们难以建立来自于数学结构的思维方式。另一方面在于教师教学时,没有创设概念定义的认知图式,不利于形成丰富的概念具象;没有从言语、符号、图形等表征有逻辑地推理式理解,不能形成定义的模式结构,在证明过程中也就不能有效的利用模式定义构建思路。
2数学观念方面
有的学生认为数学是一种游戏,学数学是背记定义定理,套例题,练习习题,要想解决数学问题必须多练习,借用典型题目是学生常用解题策略,至于其中的数学思想方法不作为学习任务。学生不去提供实际例子来说明教师的讲课内容。对于数学考试中的问题,在他们看来,研究试题的求解对考试来说是比较有用的,而定理的证明往往不太有用,除非考试前有明确告知。而授课过程中的一些评论或注释则认为是比较有用的,这大概是因为考试中会涉及到这些知识点的缘由。如,初学《极限与连续》时,它涉及到极限理论相对抽象,学生不愿思考概念的来龙去脉,只是把重点放在求极限的例习题上。这些问题产生缘由,一方面在于学生在数学学习经历中形成的传统认识,以为数学知识是真理,学生只能复制运用。即使到了高等数学阶段学习,科学数学观念仍然没有建立起来,表现为只注重数学思维的结果而不注重思维的过程,缺乏批判数学知识的意识性和主动性,很少去“再创造”自己数学知识。另一方面在于教师教学时,提供给学生都是一些算法和常规训练,这就使得学生在解决这类问题时也惯于进行常规思维,高水平认知技能得不到锻炼,《数学分析》思维也就得不到发展。机械地传授知识,没有引导学生深究知识的来龙去脉,也没有发掘学生的数学发现能力,学生的数学观念得不到有效的纠正。
3问题解决方面
学生解决问题仅限于模仿例题完成,独立地运用所学知识解决实际问题或证明命题感觉不足,课后练习参考答案或抄袭别人情形居多,没有形成应用《数学分析》知识解决问题的能力和信心,学生对问题解决表现出一些恐惧,尤其是证明题目,不能从所学知识中构造出解题思路,不能全面地考虑推理过程,不能理解逻辑推理的数学意义和本质,对于解决数学问题是旁观者。产生这些问题缘由,一方面在于学生沿袭以往的解题模式,缺乏条件和结论以及所涉及到的数学模型的全局性思考,不具备研究性思维方式。另一方面在于教师教学时,为了赶任务和进度,只重视知识传授,学生数学思考能力培养不足,没有在问题解决过程中进行数学知识和方法学习,没有采用探究性学习方式。在证明命题教学中,没有引导学生使用模型、例子、视觉等表达数学,即解释数学,Moore(1994)提出解释性对话是一种元数学,证明需要解释来揭示证明的思想内涵。其次,没有提出证明的一个全局的视角,即证明框架,Leron(1985)认为证明框架就是意味着证明思路的一个高水平结构的表征,依赖于细节性知识,可能是一个命题序列,或是一个整体思路。要激发学生讨论各种证明方法和思路,学会构造例子解释,并体会证明中的推理规则和逻辑结构。
4知识结构方面
学生初学《数学分析》时,仅掌握一些孤立的定义、定理和例题习题,至于其内在联系学生不大注意,认为没必要搞清楚,只会做题考试就行。学生知识成线性化、条块化和平面化,没有形成网络化、层状化和立体化,不利于知识的利用和提取。知识间内在联系不紧密,不能面对问题提取信息构成解题模式。如,学生学了极限、连续和导数后,仅限于孤立内容的数学问题解决,对于综合题目以及证明推理问题感到困难。造成问题缘由,一方面在于学生对知识学习的意义没搞清楚,对知识之间的内在逻辑没搞清楚,没有很好地应用知识解决问题,没有按照数学家研究数学的过程体会知识的来龙去脉,正如Tall所说的三个世界的行进:感知—运算—形式化,对所学知识没能进行反思,知识之间的联系和信念也体会不到,没有形成对知识内容的学习看法。另一方面在于教师教学时,过分强化习题演练,没有引导对新旧知识的对比分析,对问题解决中的数学知识思想方法的分析应用强化不够,没有对所学知识进行归纳总结,甚至一本书的思想认识的分析串讲。
5自主自学能力
初学《数学分析》时,大学生对内容体系和作用意义不够清楚,没有应有的内在学习动机和兴趣。表现为,不做课前预习,也不做相似教材的比较学习,不能主动地学习《数学分析》。刚上大学时,也不知道怎样做笔记,听老师讲课,做作业,面对一堂课这么多的定义定理,又复杂又抽象,感觉到仅靠记忆有些力不从心,必要的学习方法不能及时形成,不能跟踪教师做好《数学分析》深度学习。造成这些问题缘由,一方面学生形成《数学分析》学习方法,仍是惯用高中学习方式,模仿例题做习题,来应付考试,不能抓住《数学分析》的知识核心本质,体会不到数学知识的思想方法。另一方面教师教学时,没有比较初等数学与《数学分析》的特点,知识体系结构的形成,以及课程与教学的要求,尤其是大学数学的形式化、系统化和演绎化的看法,以及这些知识内容背后的探究过程,以至于提供帮助学生理解的具体素材,如具体直观的表达形式,数学家发现知识的原始路径,专业知识背景的数学模型了解等。
6数学思考能力
初学《数学分析》时,多数学生没有发展起元数学思考能力,即确信性和解释性的关系性思考,仅限于操作性思考,也没有发展起来辩证思维能力。形式推理能力水平不高,影響着学生对《数学分析》的知识思考,数学定义的形式化认识不能有效形成,不能利用概念定义进行证明思路的构造,对数学知识产生的内在逻辑联系搞不清楚,影响着《数学分析》的进一步学习,没能实现《数学分析》改善学生数学思维方式的目的。造成这方面问题的缘由,一是学生没有从数学知识产生的角度体会知识产生的缘由,以及知识产生过程的本原性思考,不能产生对数学知识系统认识。另一方面,教师教学时,教师过多围绕知识安排教学,没有对数学思考进行引导,没有从知识思想方法引导学生对知识进行思考,以及批评质疑。在《数学分析》教学时,要进行辨证分析,进而在合情推理能力训练的基础上,关注学生逻辑思维能力的培养。
大学生在初次学习《数学分析》中存在许多难以克服的问题,分析其产生缘由,及时查漏补缺,总结反思,有助于掌握《数学分析》的学习方法,也有助于教师提高《数学分析》教学的有效性。
参考文献
[1]曹荣荣.理工科大一学生高等数学思维研究[D].华东师范大学,2011,5.
[2]Morre,R.Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics,1994,27:249-266.
[3]Leron,U.Heuristic presentations:The role of Structuring. For the learning of Mathematics,1985,5(03):7-13.
[4]Tall,D.Introducing three worlds of mathematics. For the learning of mathematics,2014,23(03):29-33.
◆关键词:《数学分析》;数学学习;学习能力
《数学分析》内容理论性比较强,抽象严谨,客观上给学生造成了理解难度,初次学习不易获得学习成功感受。多数学生被动学习《数学分析》,表现为死记硬背,不求甚解,套用教材例题完成作业,学习《数学分析》仅为了考试通过,缺乏学习兴趣和动机。本文针对目前大一学生学习《数学分析》存在问题及原因进行探讨,或许对《数学分析》教与学有所启发。
1概念定义方面
《数学分析》概念是《数学分析》思维基本形式,而概念的形式化和符号化结果是概念定义,是抽象的。学生能够理解概念表象,但并不能运用概念定义按照逻辑规则证明命题或解决问题,尤其不能用概念定义构造思路,表现为概念内涵理解不到位。如,学习了函数极限ε–δ多种定义后,不会利用定义证明函数极限题目,不能表达“因变量变化趋势”与“自变量变化范围或邻域”之间的相互依赖的量的关系。这些问题产生缘由,一方面在于学生思维方式还处于初等数学经验型,没能过渡到形式化思维,对于定义中涉及到符号逻辑关系理解不清。学生对概念的建构也仅仅是处在一个程序阶段,没有进入抽象阶段。所以,他们难以建立来自于数学结构的思维方式。另一方面在于教师教学时,没有创设概念定义的认知图式,不利于形成丰富的概念具象;没有从言语、符号、图形等表征有逻辑地推理式理解,不能形成定义的模式结构,在证明过程中也就不能有效的利用模式定义构建思路。
2数学观念方面
有的学生认为数学是一种游戏,学数学是背记定义定理,套例题,练习习题,要想解决数学问题必须多练习,借用典型题目是学生常用解题策略,至于其中的数学思想方法不作为学习任务。学生不去提供实际例子来说明教师的讲课内容。对于数学考试中的问题,在他们看来,研究试题的求解对考试来说是比较有用的,而定理的证明往往不太有用,除非考试前有明确告知。而授课过程中的一些评论或注释则认为是比较有用的,这大概是因为考试中会涉及到这些知识点的缘由。如,初学《极限与连续》时,它涉及到极限理论相对抽象,学生不愿思考概念的来龙去脉,只是把重点放在求极限的例习题上。这些问题产生缘由,一方面在于学生在数学学习经历中形成的传统认识,以为数学知识是真理,学生只能复制运用。即使到了高等数学阶段学习,科学数学观念仍然没有建立起来,表现为只注重数学思维的结果而不注重思维的过程,缺乏批判数学知识的意识性和主动性,很少去“再创造”自己数学知识。另一方面在于教师教学时,提供给学生都是一些算法和常规训练,这就使得学生在解决这类问题时也惯于进行常规思维,高水平认知技能得不到锻炼,《数学分析》思维也就得不到发展。机械地传授知识,没有引导学生深究知识的来龙去脉,也没有发掘学生的数学发现能力,学生的数学观念得不到有效的纠正。
3问题解决方面
学生解决问题仅限于模仿例题完成,独立地运用所学知识解决实际问题或证明命题感觉不足,课后练习参考答案或抄袭别人情形居多,没有形成应用《数学分析》知识解决问题的能力和信心,学生对问题解决表现出一些恐惧,尤其是证明题目,不能从所学知识中构造出解题思路,不能全面地考虑推理过程,不能理解逻辑推理的数学意义和本质,对于解决数学问题是旁观者。产生这些问题缘由,一方面在于学生沿袭以往的解题模式,缺乏条件和结论以及所涉及到的数学模型的全局性思考,不具备研究性思维方式。另一方面在于教师教学时,为了赶任务和进度,只重视知识传授,学生数学思考能力培养不足,没有在问题解决过程中进行数学知识和方法学习,没有采用探究性学习方式。在证明命题教学中,没有引导学生使用模型、例子、视觉等表达数学,即解释数学,Moore(1994)提出解释性对话是一种元数学,证明需要解释来揭示证明的思想内涵。其次,没有提出证明的一个全局的视角,即证明框架,Leron(1985)认为证明框架就是意味着证明思路的一个高水平结构的表征,依赖于细节性知识,可能是一个命题序列,或是一个整体思路。要激发学生讨论各种证明方法和思路,学会构造例子解释,并体会证明中的推理规则和逻辑结构。
4知识结构方面
学生初学《数学分析》时,仅掌握一些孤立的定义、定理和例题习题,至于其内在联系学生不大注意,认为没必要搞清楚,只会做题考试就行。学生知识成线性化、条块化和平面化,没有形成网络化、层状化和立体化,不利于知识的利用和提取。知识间内在联系不紧密,不能面对问题提取信息构成解题模式。如,学生学了极限、连续和导数后,仅限于孤立内容的数学问题解决,对于综合题目以及证明推理问题感到困难。造成问题缘由,一方面在于学生对知识学习的意义没搞清楚,对知识之间的内在逻辑没搞清楚,没有很好地应用知识解决问题,没有按照数学家研究数学的过程体会知识的来龙去脉,正如Tall所说的三个世界的行进:感知—运算—形式化,对所学知识没能进行反思,知识之间的联系和信念也体会不到,没有形成对知识内容的学习看法。另一方面在于教师教学时,过分强化习题演练,没有引导对新旧知识的对比分析,对问题解决中的数学知识思想方法的分析应用强化不够,没有对所学知识进行归纳总结,甚至一本书的思想认识的分析串讲。
5自主自学能力
初学《数学分析》时,大学生对内容体系和作用意义不够清楚,没有应有的内在学习动机和兴趣。表现为,不做课前预习,也不做相似教材的比较学习,不能主动地学习《数学分析》。刚上大学时,也不知道怎样做笔记,听老师讲课,做作业,面对一堂课这么多的定义定理,又复杂又抽象,感觉到仅靠记忆有些力不从心,必要的学习方法不能及时形成,不能跟踪教师做好《数学分析》深度学习。造成这些问题缘由,一方面学生形成《数学分析》学习方法,仍是惯用高中学习方式,模仿例题做习题,来应付考试,不能抓住《数学分析》的知识核心本质,体会不到数学知识的思想方法。另一方面教师教学时,没有比较初等数学与《数学分析》的特点,知识体系结构的形成,以及课程与教学的要求,尤其是大学数学的形式化、系统化和演绎化的看法,以及这些知识内容背后的探究过程,以至于提供帮助学生理解的具体素材,如具体直观的表达形式,数学家发现知识的原始路径,专业知识背景的数学模型了解等。
6数学思考能力
初学《数学分析》时,多数学生没有发展起元数学思考能力,即确信性和解释性的关系性思考,仅限于操作性思考,也没有发展起来辩证思维能力。形式推理能力水平不高,影響着学生对《数学分析》的知识思考,数学定义的形式化认识不能有效形成,不能利用概念定义进行证明思路的构造,对数学知识产生的内在逻辑联系搞不清楚,影响着《数学分析》的进一步学习,没能实现《数学分析》改善学生数学思维方式的目的。造成这方面问题的缘由,一是学生没有从数学知识产生的角度体会知识产生的缘由,以及知识产生过程的本原性思考,不能产生对数学知识系统认识。另一方面,教师教学时,教师过多围绕知识安排教学,没有对数学思考进行引导,没有从知识思想方法引导学生对知识进行思考,以及批评质疑。在《数学分析》教学时,要进行辨证分析,进而在合情推理能力训练的基础上,关注学生逻辑思维能力的培养。
大学生在初次学习《数学分析》中存在许多难以克服的问题,分析其产生缘由,及时查漏补缺,总结反思,有助于掌握《数学分析》的学习方法,也有助于教师提高《数学分析》教学的有效性。
参考文献
[1]曹荣荣.理工科大一学生高等数学思维研究[D].华东师范大学,2011,5.
[2]Morre,R.Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics,1994,27:249-266.
[3]Leron,U.Heuristic presentations:The role of Structuring. For the learning of Mathematics,1985,5(03):7-13.
[4]Tall,D.Introducing three worlds of mathematics. For the learning of mathematics,2014,23(03):29-33.