全等是研究图形的重要方法,三角形全等是全等图形的重要基础.为了帮助同学们学好三角形全等,现总结三角形全等的六种模式,供大家参考.
　　
　　 一、“公共角”模式
　　 公共角是两个图形中都含有的角,为全等提供了一个已知条件.
　　 例1如图1,AB=AC,AD=AE,请说出∠B=∠C的理由.
　　 分析:∠A是公共角,再加上AB=AC,AD=AE,由边角边可得△ABE≌△ACD.
　　 又全等三角形的对应角相等,所以∠B=∠C.
　　 二、“对顶角”模式
　　 “对顶角相等”为判定三角形全等提供了一个已知条件.
　　 例2 如图2,直线AB、CD相交于点O,OA=OB,OC=OD,那么AC∥BD吗?为什么?
　　 分析:∠AOC与∠BOD是对顶角,由对顶角相等,得∠AOC=∠BOD.又因为OA=OB,OC=OD,由边角边可得△AOC≌△BOD.又全等三角形的对应角相等,所以∠C=∠D.又由内错角相等,两直线平行,所以AC∥BD.
　　 三、“公共边”模式
　　 公共边相等可作为两个三角形全等的一个条件.
　　 例3 如图3,已知AC=AD,BC=BD,AB是∠CAD的平分线吗?为什么?
　　 分析:由于AC=AD,BC=BD,又AB是公共边,由边边边得△ABC≌△ABD.
　　 由全等三角形的对应角相等可得∠CAB=∠DAB,即AB是∠CAD的平分线.
　　 四、“角平分线”模式
　　 角平分线提供了两个相等的角,同时角平分线又可以成为公共边,因此有角平分线的问题应考虑边角边或角角边或角边角的判定方法.
　　 例4 如图4,已知BD是∠ABC的平分线,AC是∠DCB的平分线,∠ABC=∠DCB,AB与CD相等吗?为什么?
　　 分析:由BD平分∠ABC,AC平分∠DCB,
　　 因为∠ABC=∠DCB,
　　 所以∠DBC=∠ACB.
　　 又BC是公共边,由角边角可得△ACB≌△DBC.
　　 又全等三角形的对应边相等,所以AB=CD.
　　 五、“平移模式”
　　 把“公共边”模式中的一个三角形平行移动,便把公共边分成了两部分,这时往往通过两条线段相加或相减的方法得到对应边相等.
　　 例5 如图5,A、D、F、B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.那么EF∥CD吗?为什么?
　　 分析:由AD=BF,可得AD+DF=BF+DF,即AF=BD.
　　 因为AE∥BC,由两直线平行,内错角相等,得∠A=∠B.
　　 又因为AE=BC,根据边角边可得△EAF≌△CBD.
　　 由全等三角形的对应角相等,得∠EFA=∠CDB.
　　 由内错角相等,两直线平行,得EF∥CD.
　　 六、“旋转模式”
　　 把“公共角”模式中的一个三角形绕着公共角的顶点旋转,便把公共角分成了两部分,这时往往通过两个角相加或相减的方法得到对应角相等.
　　 例6 如图6所示,已知∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE.
　　 求证:∠1=∠2.
　　 分析:由∠BAC=∠DAE,
　　 可得∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.
　　 即∠BAD=∠EAC.
　　 再由AB=AC,AD=AE,由边角边可得△ABD≌△ACE.
　　 又全等三角形的对应角相等,所以∠1=∠2.