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摘要:新课标要求在高中数学课程教学过程中应力求各种不同形式的自主学习,探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识。论文以“正整数平方和公式探讨”为主题搭建探究平台,进行探究活动,激发学生的数学思维,培养学生对数学的学习兴趣和创新意识。
关键词:探究;数列;平方和;归纳
作者简介:沈学美(1978-),女,浙江嘉善人,湖州市第二中学,中学一级教师,主要研究方向:高中数学教学。(浙江 湖州 313000)
合情推理是培养培养学生自主探究与合作交流的很好素材。《选修1-1》作业中有道题:“前n个正整数的和为=1+2+3+…+n=,应用合情推理得前n个正整数的平方和”,很多同学都不知从归纳推理还是类比推理着手,或是写出错误的命题,或是将高一老师补充的结论用上。有学生就说:“老师我是将这个当公式来记的,但不清楚怎么推出来的。”于是笔者因势利导组织了以“正整数平方和公式探讨”为主题的探究活动,旨在通过本次活动,激发学生的数学思维,培养学生对数学的兴趣及创新意识。笔者对这次活动作了案例分析,供大家参考。
一、提出问题,明确目标
大家都知道,前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(1+n)
那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+……+n2=?
二、分析问题,解决问题
T(老师):在不知结果的情况下,怎么办?
S(学生):合情推理。
T(老师):合情推理分归纳推理和类比推理。那本题我们可尝试怎样的推理?
S(学生):类比推理(大声),小部分同学认为归纳推理。
T(老师):好,我们来看看真理是否掌握在大部分同学的手里,结合题目我们来类比猜想S2(n)。
甲:S2(n)=;乙:S2(n)=;丙:S2(n)=等等,但经过验证发现结果都是错误的。
T(老师):确实本题不能一步到位。那我们能不能换一个角度再探究,参考少数同学认为归纳猜想并前后联系S1(n),S2(n)?然后师生共同列表:
T(老师):比较观察两组数据,探求规律。老师在巡视时发现学生思维活跃,想尽办法在纸上演算着。
终于一位学生兴奋地发现了规律。
…
.(成功的喜悦写在同学们的脸上,很多同学豁然开朗)
T(老师):很好。我们找到了结果,但毕竟是归纳推理,其准确性有待进一步的证明。
三、刨根问底,拓展延伸
T(老师):我们从S2(n)的形式上看它是数列的前n项和,能否用数列知识去探究呢?
学生A:12=1
22=(1+1)2=12+2×1+1
32=(2+1)2=22+2×2+1
42=(3+1)2=32+2×3+1
=(n-1+1)2=(n-1)2+2(n-1)+1
累加这n项得S2(n)=S2(n)-n2+2[S1(n)-n]+n,
整理得S1(n)=n(1+n)(学生紧张得检查前面步骤,在没有出错的情况下有点不知所措。)
T(老师):奇怪!S2(n)没得到反得到S1(n)。同学们有没有发现A同学是对S1(n)公式推导作出新的见解。到底对S2(n)的推倒有无帮助呢?
学生B:有。将立方展开累加。
13=1
23=(1+1)2=13+3×12+3×1+1
33=(2+1)2=23+3×22+3×2+1
……
n3=(n-1+1)2=(n-1)3+3×(n-1)2+3×(n-1)+1
累加这n项得S3(n)=[S3(n)-n3]+[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n,
整理得S2(n)=
T(老师):真是无心插柳柳成荫啊!以上的证明说明我们的猜想是?
S(学生):正确的!(那么整齐有力的回答足见学生们做对题目的成就感了。)正在大家体会着成功时,学生C站了起来,提出自己新的见解。
学生C:我认为12=1×1,22=2×2,32=3×3,…,n2=n×n(大家好奇地想知道他葫芦里卖的什么药?)。所以把n2看成n个n相加的结果,可以写成如图1所示形式。构成一个正三角形,正三角形数阵的各斜边对角线上的数字构成等差数列。
S2(n)=(1+2+3+…+n)+(2+3+…+n)+(3+4+…+n)+…+n
=[S1(n)-0]+[S1(n)-1]+[S1(n)-(1+2)]+…+[S1(n)-(1+2+…+(n-1))]
=nS1(n)-[]
=nS1(n)-
整理得S2(n)=S1(n)·
这个方法的获得使全般同学兴奋不已,其结果与上面的归纳猜想不谋而和,所有学生都感受到了数学美的震撼力。
T(老师):太棒了!这两位同学的解法体现了化归降次的思想,前者将三次和化归为二次和,后者将二次和化归为一次和。我们同学的思维越发灵活和开阔了。而且教师刚才在巡视时发现有几位同学在画图,不知道结果怎么样了?教师也很想知道本问题和图象有什么关系呢?
学生D:我将12=1×1看成单位正方形的面积,同理n2=n×n看成边长n个单位正方形的面积。如图2所示总面积=S2(n)=1×(1+2+…+n)+1×(2+3+…+n)+…+1×n
计算方式与上相同。
T(老师):很好,这位同学将代数思想转化到几何思想,而且做成功了。很有创意!
四、反思小结
T:从以上的推理过程中你得到了什么启示?
学生E:我想今天课题是正整数的平方和公式推导,我们在多次失败中走了出来并发现有不少办法证得,除了课堂上的方法外,我想课下我们还会试求新办法。
学生F:这个可作为公式使用了,我也知道怎么来的了,并且也学会去推正整数立方和公式了。
T(老师):我们今天对“科学的探究不是一帆风顺的”这句话应有更深刻的了解。数学家们很多发现都是在走了许多弯路的情况下获得的,比如歌德巴赫猜想至今悬而未决,但探索问题的意义远远超过问题解决本身,在探求过程中数学家们对数学发展已经起了巨大推动作用,而我们学生在探求过程中开发智商,把多种知识网罗利用。数学发现过程是一个探索创造的过程,是一个不断地提出猜想验证猜想的过程,合情推理和论证推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程。就象E同学一样在座的很多同学都有一定的体会,课下写一段学习体会,把你的感受记下来。
五、课后品尝探究感悟
本节课使学生们充分体会到数学的魅力,成功的快乐,可谓精彩纷呈。学习数学就应勇于探索,敢于创新,只有这样数学才变得丰富而多彩,学习才变得轻松而愉快。
本节课让学生探究未知领域时,安排他们发现问题并提出问题,分析问题,解决问题是一次通过,验证反思而进行的一次思维训练,同时也是一次让学生真正参与的课。记住结论固然重要,但探究的过程更为重要。在课堂上他们体验多次失败。第一次,学生计算6个以上的值时仍没发现规律。第二次类比猜想时也没成功。第三次师生作表时学生从和,差,积都没成功,直到作商。但也是暂时的,是否正确有待验证。在一次次挫折面前,扒下的是意志不坚者,老师乘机还数学本来面貌与学生,对其进行耐挫教育。
笔者尝试给学生们布置“学习心得体会”,同学们写的很认真却出乎意料。笔者在此摘录几句:“我以前只会死记硬背公式,从不考虑由来,等到考试时一紧张,脑海一片空白,却无从下手。”“以前看老师解题那么顺手,而自己要花很多时间,总以为自己笨,现在我有信心坚持下去,遇到运算繁锁的问题,也要勇敢地做下去。”“数学是要找规律,找联系,透过现象看本质。”
作为教师,我们希望学生成绩优良的同时,也要多了解同学们的真实想法,课堂尝试谈感受,知识点归纳,写小论文,图书馆等查找数学资料等。将课堂延伸课外,我们应该努力提供发展思维的最佳空间,让学生在数学王国的天空自由飞翔。
参考文献:
[1]徐彦辉.数学探究的教育价值——试论数学探究教学的学科底蕴[J].学科教育,2002,(8):33-35,41.
[2]陈柏良.运用案例开展数学探究教学[J].中学教研(数学版),2004,(9):1-6.
[3]赵洪林.数学探究教学的思考与实践[J].教学与管理(理论版),2005,(6):42-43.
[4]郁梅华.初中数学探究教学策略的研究和实践[J].基础教育(上海),2004,(10):48-51.
[5]姚新国.课本一例题的探究教学[J].数学教学通讯(中教版),2005,(9):27-29.
[6]谭坚.论数学教学中的创新思想教育[J].长沙大学学报,2001,(4):79-81.
[7]刘兴凤.重视习题功能 实行探究教学[J].山东教育(中学刊),2006,(5):34.
[8]管宏斌.课本习题——数学探究教学的源泉[J].中学数学教学,2005,(1).
(责任编辑:郝魁府)
关键词:探究;数列;平方和;归纳
作者简介:沈学美(1978-),女,浙江嘉善人,湖州市第二中学,中学一级教师,主要研究方向:高中数学教学。(浙江 湖州 313000)
合情推理是培养培养学生自主探究与合作交流的很好素材。《选修1-1》作业中有道题:“前n个正整数的和为=1+2+3+…+n=,应用合情推理得前n个正整数的平方和”,很多同学都不知从归纳推理还是类比推理着手,或是写出错误的命题,或是将高一老师补充的结论用上。有学生就说:“老师我是将这个当公式来记的,但不清楚怎么推出来的。”于是笔者因势利导组织了以“正整数平方和公式探讨”为主题的探究活动,旨在通过本次活动,激发学生的数学思维,培养学生对数学的兴趣及创新意识。笔者对这次活动作了案例分析,供大家参考。
一、提出问题,明确目标
大家都知道,前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(1+n)
那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+……+n2=?
二、分析问题,解决问题
T(老师):在不知结果的情况下,怎么办?
S(学生):合情推理。
T(老师):合情推理分归纳推理和类比推理。那本题我们可尝试怎样的推理?
S(学生):类比推理(大声),小部分同学认为归纳推理。
T(老师):好,我们来看看真理是否掌握在大部分同学的手里,结合题目我们来类比猜想S2(n)。
甲:S2(n)=;乙:S2(n)=;丙:S2(n)=等等,但经过验证发现结果都是错误的。
T(老师):确实本题不能一步到位。那我们能不能换一个角度再探究,参考少数同学认为归纳猜想并前后联系S1(n),S2(n)?然后师生共同列表:
T(老师):比较观察两组数据,探求规律。老师在巡视时发现学生思维活跃,想尽办法在纸上演算着。
终于一位学生兴奋地发现了规律。
…
.(成功的喜悦写在同学们的脸上,很多同学豁然开朗)
T(老师):很好。我们找到了结果,但毕竟是归纳推理,其准确性有待进一步的证明。
三、刨根问底,拓展延伸
T(老师):我们从S2(n)的形式上看它是数列的前n项和,能否用数列知识去探究呢?
学生A:12=1
22=(1+1)2=12+2×1+1
32=(2+1)2=22+2×2+1
42=(3+1)2=32+2×3+1
=(n-1+1)2=(n-1)2+2(n-1)+1
累加这n项得S2(n)=S2(n)-n2+2[S1(n)-n]+n,
整理得S1(n)=n(1+n)(学生紧张得检查前面步骤,在没有出错的情况下有点不知所措。)
T(老师):奇怪!S2(n)没得到反得到S1(n)。同学们有没有发现A同学是对S1(n)公式推导作出新的见解。到底对S2(n)的推倒有无帮助呢?
学生B:有。将立方展开累加。
13=1
23=(1+1)2=13+3×12+3×1+1
33=(2+1)2=23+3×22+3×2+1
……
n3=(n-1+1)2=(n-1)3+3×(n-1)2+3×(n-1)+1
累加这n项得S3(n)=[S3(n)-n3]+[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n,
整理得S2(n)=
T(老师):真是无心插柳柳成荫啊!以上的证明说明我们的猜想是?
S(学生):正确的!(那么整齐有力的回答足见学生们做对题目的成就感了。)正在大家体会着成功时,学生C站了起来,提出自己新的见解。
学生C:我认为12=1×1,22=2×2,32=3×3,…,n2=n×n(大家好奇地想知道他葫芦里卖的什么药?)。所以把n2看成n个n相加的结果,可以写成如图1所示形式。构成一个正三角形,正三角形数阵的各斜边对角线上的数字构成等差数列。
S2(n)=(1+2+3+…+n)+(2+3+…+n)+(3+4+…+n)+…+n
=[S1(n)-0]+[S1(n)-1]+[S1(n)-(1+2)]+…+[S1(n)-(1+2+…+(n-1))]
=nS1(n)-[]
=nS1(n)-
整理得S2(n)=S1(n)·
这个方法的获得使全般同学兴奋不已,其结果与上面的归纳猜想不谋而和,所有学生都感受到了数学美的震撼力。
T(老师):太棒了!这两位同学的解法体现了化归降次的思想,前者将三次和化归为二次和,后者将二次和化归为一次和。我们同学的思维越发灵活和开阔了。而且教师刚才在巡视时发现有几位同学在画图,不知道结果怎么样了?教师也很想知道本问题和图象有什么关系呢?
学生D:我将12=1×1看成单位正方形的面积,同理n2=n×n看成边长n个单位正方形的面积。如图2所示总面积=S2(n)=1×(1+2+…+n)+1×(2+3+…+n)+…+1×n
计算方式与上相同。
T(老师):很好,这位同学将代数思想转化到几何思想,而且做成功了。很有创意!
四、反思小结
T:从以上的推理过程中你得到了什么启示?
学生E:我想今天课题是正整数的平方和公式推导,我们在多次失败中走了出来并发现有不少办法证得,除了课堂上的方法外,我想课下我们还会试求新办法。
学生F:这个可作为公式使用了,我也知道怎么来的了,并且也学会去推正整数立方和公式了。
T(老师):我们今天对“科学的探究不是一帆风顺的”这句话应有更深刻的了解。数学家们很多发现都是在走了许多弯路的情况下获得的,比如歌德巴赫猜想至今悬而未决,但探索问题的意义远远超过问题解决本身,在探求过程中数学家们对数学发展已经起了巨大推动作用,而我们学生在探求过程中开发智商,把多种知识网罗利用。数学发现过程是一个探索创造的过程,是一个不断地提出猜想验证猜想的过程,合情推理和论证推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程。就象E同学一样在座的很多同学都有一定的体会,课下写一段学习体会,把你的感受记下来。
五、课后品尝探究感悟
本节课使学生们充分体会到数学的魅力,成功的快乐,可谓精彩纷呈。学习数学就应勇于探索,敢于创新,只有这样数学才变得丰富而多彩,学习才变得轻松而愉快。
本节课让学生探究未知领域时,安排他们发现问题并提出问题,分析问题,解决问题是一次通过,验证反思而进行的一次思维训练,同时也是一次让学生真正参与的课。记住结论固然重要,但探究的过程更为重要。在课堂上他们体验多次失败。第一次,学生计算6个以上的值时仍没发现规律。第二次类比猜想时也没成功。第三次师生作表时学生从和,差,积都没成功,直到作商。但也是暂时的,是否正确有待验证。在一次次挫折面前,扒下的是意志不坚者,老师乘机还数学本来面貌与学生,对其进行耐挫教育。
笔者尝试给学生们布置“学习心得体会”,同学们写的很认真却出乎意料。笔者在此摘录几句:“我以前只会死记硬背公式,从不考虑由来,等到考试时一紧张,脑海一片空白,却无从下手。”“以前看老师解题那么顺手,而自己要花很多时间,总以为自己笨,现在我有信心坚持下去,遇到运算繁锁的问题,也要勇敢地做下去。”“数学是要找规律,找联系,透过现象看本质。”
作为教师,我们希望学生成绩优良的同时,也要多了解同学们的真实想法,课堂尝试谈感受,知识点归纳,写小论文,图书馆等查找数学资料等。将课堂延伸课外,我们应该努力提供发展思维的最佳空间,让学生在数学王国的天空自由飞翔。
参考文献:
[1]徐彦辉.数学探究的教育价值——试论数学探究教学的学科底蕴[J].学科教育,2002,(8):33-35,41.
[2]陈柏良.运用案例开展数学探究教学[J].中学教研(数学版),2004,(9):1-6.
[3]赵洪林.数学探究教学的思考与实践[J].教学与管理(理论版),2005,(6):42-43.
[4]郁梅华.初中数学探究教学策略的研究和实践[J].基础教育(上海),2004,(10):48-51.
[5]姚新国.课本一例题的探究教学[J].数学教学通讯(中教版),2005,(9):27-29.
[6]谭坚.论数学教学中的创新思想教育[J].长沙大学学报,2001,(4):79-81.
[7]刘兴凤.重视习题功能 实行探究教学[J].山东教育(中学刊),2006,(5):34.
[8]管宏斌.课本习题——数学探究教学的源泉[J].中学数学教学,2005,(1).
(责任编辑:郝魁府)