想必不少读者都已经看过9月上映的科幻大片《盗梦空间》,与一般的商业电影不同,作为好莱坞“十大最难懂”电影之一,《盗梦空间》在片中运用了很多关于分形几何和非欧几何的原理。
　　其中,最明显的例子就是柯布的助理阿瑟带着梦境设计师阿里阿德妮走在一个极其经典的“无限楼梯”上,走了四段,一直觉得向上却走进了一个死圈。
　　
　　几何的诞生
　　
　　几何的研究对象是图形,人类最初的几何知识,来源农业的发展对于土地测量的要求,就如“几何”的希腊词源是测量土地一样,对古代埃及人来说,几何学就是“测地术”。
　　渐渐地,希腊人开始由重视计算转向重视推理,由重视算术转向重视几何学。并由此建立了几何公理体系,关于数学的第一本经典著作——欧几里得(约前330-前275)的《几何原本》也由此而生,并统治了几何学2000余年。
　　无论怎样形容《几何原本》的伟大也不会显得过分夸张,它所奠定的公理化思想和演绎体系。直接孕育了现代科学,给它提供了最强大的力量,在西方它是仅次于《圣经》而流传最广的书籍,从牛顿到林肯无不为之倾倒,它把几何学的所有命题推理都建立在一开头给出的5个公理和5个公设上,用这些最基本的砖石筑起一幢高不可攀的大厦。
　　其他4个公设我们都已经在小学、初中数学中学习过,我们中学所学的几何都在欧氏几何的体系之下。
　　1.可以在任意两点间画一直线
　　2.可以延长一线段作一直线
　　3.圆心和半径决定一个圆
　　4.所有的直角都相等
　　
　　几何原理中的家丑
　　
　　最使数学家们关注的是欧氏公理系统中的所谓“第五公设”——若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于两直角,则适当延长这两条直线必在和小于两直角的一侧相交。
　　相比前面的4个公设,第五公设简直复杂到家了。
　　欧氏第五公设是数学史上的一个著名难题,为解决这一问题历代数学家付出了极大代价,经历了无数次的失败和挫折。
　　显而易见,这条公理完全不像欧几里得的其他公理那样简单清楚,而是语句冗长,含义不清。同时欧几里得本人也似乎尽量少用第五公设,直到第29个定理才用到它,而且以后再也没有使用,也就是说,在《几何原本》中我们可以不依靠第五公设而推出前28个命题。
　　因此,数学家提出,第五公设能不能不作为公设,而作为定理?能不能依靠前4个公设来证明第五公设?这就是几何发展史上最著名的,争论长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
　　从希腊时代延续到19世纪初,以证明第五公设为目的的种种尝试出现了,许多杰出的数学家提出了各种“证明”,然而结果都是错误的,以至于法国数学家达朗贝尔(1717—1783)在1759年说:“第五公设问题是‘几何原理中的家丑’。”
　　
　　从欧氏几何到罗氏几何
　　
　　曾经用来证明第五公设的等价命题有许多,其中最著名的莫过于英国数学家普雷非尔提出的“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行”,这正是我们从教科书学到的第五公设。
　　直到大数学家高斯出现,他是第一个预见了非欧几何的人,但高斯害怕过于超前的思想会导致自己陷入不被理解的尴尬境地,因而关于此问题毕生也没有发表什么见解。
　　俄国数学家罗巴切夫斯基(1792—1856)才无愧于享有这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号,罗巴切夫斯基是从1815年开始着手研究第五公设问题的,到1826年2月23日于喀山大学物理数学系学术会议上首次宣读自己新几何学的论文——《简要叙述平行线公理的一个严格证明》,罗巴切夫斯基用“从直线外一点,至少可以作两条直线和这条直线平行”来代替第五公设,而保持其他不变,经过极为细致深入的推理,他得出了一个又一个在直觉上让人匪夷所思,但在逻辑上又毫无矛盾的命题,最后,罗巴切夫斯基得出两个重要的结论:
　　第一,第五公设不能被证明,
　　第二,在新的公理体系中展开的一连串推理,得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理,并形成了新的理论,这个理论像欧氏几何一样是完善的、严密的几何学(双曲型几何)。
　　在这个新几何中,与平行公理无关的命题与欧氏几何一致;与平行公理有关的定理则被新的定理代替,其中有一些新定理与人们的直接经验相矛盾,诸如:“三角形三内角之和小于180°”,“若三组对应角分别相等,则两三角形必全等”等,这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何,简称罗氏几何,这是第一个被提出的非欧几何学。
　　然而,通往真理的道路往往是坎坷曲折的,罗巴切夫斯基的新学说违背了两千多年来的传统思想,他的学说一发表,社会上的嘲弄、攻击甚至侮辱、谩骂暴雨般地袭来;科学院拒绝接受他的论文,大主教宣布他的学说是“邪说”,大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”,是一场“笑话”,连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何,如德国诗人歌德在他的名著《浮士德》中写下了这样的诗句:有几何兮,名日“非欧”,自己嘲笑,莫名其妙!(苏步青译文)
　　1893年,在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像,这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫期基,非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果,它的创立,不仅带来了数学的巨大进步,而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
　　
　　从罗氏几何到黎曼几何
　　
　　细心的读者已经注意到。欧氏几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”,罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”,那么是否存在这样的几何,“过直线外一点,不能作直线和已知直线平行”?黎曼几何就回答了这个问题。
　　黎曼几何是由德国数学家黎曼(1826—1866)创立的,它的一条基本规定是:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点),在黎曼几何学中不承认平行线的存在,它的另一条公设讲:直线可以无限延伸,但总的长度是有限的,黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面,在这个几何中,三角形的内角和超过180°。
　　事实上我们可以拿地球做例子,将地球表面作为平面,其上的经线作为直线,那么很好理解的是,任意的经线都不平行,并且经线可以无限延伸(因为是个圆),但是总长度有限,用任意两条不重合的经线和赤道夹成的三角形,这个三角形的内角和超过180°(经线与赤道的夹角为2个直角,加上顶角,超过180°)。
　　近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用,物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。
　　至于具体应用上,在我们这个不大不小、不远不近的空间里,也就是在我们的日常生活中,欧氏几何是适用的:在宇宙空间中或原子核世界里,罗氏几何更符合客观实际;在地球表面研究航海、航空等实际问题中,黎曼几何更准确一些。