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【摘要】本文以“蝴蝶”为载体，首先引导学生探究“梯形”蝴蝶定理，让学生经历数学建模的过程，然后进一步引导学生探究“蝴蝶定理”，形成研究几何新命题的“基本套路”，积累数学建模和几何问题研究的基本活动经验，感悟“综合与实践”课程教与学的方法.
【关键词】综合与实践；蝴蝶定理；经验《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》在第二学段对梯形的教学要求为：通过观察、操作，认识梯形；探索并掌握梯形的面积公式.而第三学段对梯形不作要求.学校举行第二届教学年会，笔者选择以“蝴蝶”为载体，以“蝴蝶定理”作为实践研究主题，进行“综合与实践”课程开发，既拓展了课本知识，又帮助学生积累“综合与实践”课学习的基本活动经验，同时激发学生对生活中数学现象的探究兴趣.1创新设计
教学目标
1.从数学角度，了解蝴蝶的结构，发现“蝴蝶”身上所蕴含丰富的数学图形；
2.探究梯形蝴蝶定理，拓宽教材知识——梯形的性质；
3.让学生经历“蝴蝶定理”的探究过程，积累数学建模和几何探究的基本路径与方法.
教学重点
梯形蝴蝶定理的探究.
教学难点
蝴蝶定理的证明思路的形成.
教学过程
环节1情境创设.
课前播放蝴蝶视频，让学生感受蝴蝶的美丽.
师：蝴蝶漂亮吗？
生：漂亮.
师：你认为蝴蝶漂亮在哪里？
生：一是蝴蝶色彩斑斓，颜色非常美丽；二是它的体态是轴对称图形，飞舞起来，给人以美的享受.
师：同学们说得很好，从颜色、形状等角度来分析蝴蝶.请大家再思考：数学中的几何主要研究什么？从数学角度来看，蝴蝶美在哪里？
生：对称性.
（但对几何研究什么？学生有困难，教师引导得出：几何主要研究物体的“形状、大小、位置”，颜色、材质等问题不是数学的研究对象.）
师：如果要画一只蝴蝶，你怎么画？
生：先画蝴蝶的一半，然后用对称性来画另一半.
师：很好，这就是对称性在画图中的运用.蝴蝶不仅有优美的体形——对称性，而且它的身上还含有丰富的几何图形，这节课，我们先研究蝴蝶中的几何图形.
设计意图一是让学生感受到蝴蝶的美不仅来自于它的色彩，而且来自于数学对称美；二是为实践探究提供真实有趣的素材；三是让学生进一步了解数学中几何的研究对象.
2关于“综合与实践”的教学思考
《课标（2011年版）》指出：“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授.它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动，其核心是学生在教师引导和帮助下有目标、自主的实践活动[1].
2.1问题选择是关键
问题既可以来自于教材，也可以由教师、学生开发，但数学味和匹配性应是选题的前提.
（1）问题要有数学味.问题素材要以数学问题为载体，并且应该是好的数学问题，能够体现出数学的内部知识结构关系、数学的应用以及数学的发展，并能渗透数学思想方法.譬如本案例中“蝴蝶”问题，是教师研制、开发、生成适合九年级学生的研究性问题，问题含有丰富的数学元素，如对称性、特殊点构成等腰梯形以及等腰梯形各元素之间的关系等等，是比较综合运用中学知识研究小学内容的拓展性问题，尤其是建模思想是中学数学核心思想方法之一.因此问题设计很有数学味儿.
（2）问题要有匹配性.所选的问题不仅要与学生的知识水平与兴趣匹配，还要与学生能力水平和思维层次匹配，即所选问题要符合学生最近发展区原理，并且有利于在短暂的45分钟内，让学生发现问题、解决问题，并让学生汲取深刻的活动体验，积累数学活动经验[2].例如本案例中的“蝴蝶”问题，学生都知道蝴蝶因对称而美丽，在此基础上教师提出“蝴蝶身上还有哪些数学元素？”激发学生的好奇，激发学生研究的欲望，为问题的顺利解决创设了良好的情境.而从蝴蝶身上抽象出的图案——等腰梯形是学生所熟悉的图形，在此基础上再拓展到一般梯形，所用到的知识是初中学生已经具备的平行、全等、相似、面积等有关知识，因此学生在问题的发现和解决过程中思维达到了“羽化成蝶”的境界，充分拓展了学生的思维的广度与深度.
2.2探究感悟是核心
“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.学生是学习的主体，这一特点在综合实践活动中更为突出.
（1）放手让学生自主探究.综合实践活动的教学设计要注重设计学生自主参与为主的学习活动.譬如在梯形蝴蝶定理教学环节中，教师放手让学生将实际问题抽象为数学问题，再通过观察、画图、测量发现图形的特征，然后通过一般化发现梯形的性质，让学生自己经历了发现问题、提出问题、解决问题，交流收获体会的全过程.教师主要组织好学生之间的合作交流，在学生难以发现面积之间关系时，给于启发、引导.在圆中的蝴蝶定理证明时，难度较高，教师要适时适机地给与学生思路引导，帮助学生解决学习过程中的困难.
（2）重在引导学生体验感悟.学之道，在于悟.综合实践活动的教学是否成功，关键是看亲身经历过程体验得深刻与否？是否真正有利于学生的主动发展.如案例中教师重视引导学生体验和感悟蝴蝶问题和几何命题探究路径与方法的形成过程，积累了数学建模的经验，形成了几何命题探究的基本套路，优化了方法性认知结构，提高学生发现问题和解决解决问题的能力.
2.3经验积累是目标
《课标（2011年版）》指出：“积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之中.‘综合与实践’是实现这些目标的重要和有效的载体.”[1]因此，数学综合与实践活动的目标定位与学科教学有所不同，它的目标主要从以下两个方面来定位：
（1）积累思想方法经验.抽象、推理、模型是中学数学最基本的核心思想.如在发现、探究“梯形蝴蝶定理”的过程中，让学生经历了以下的数学建模过程：
在这一过程中，学生积累了研究一个实际问题的“基本套路”，感悟数学抽象、数学推理和数学建模等核心思想.而在“圆中的蝴蝶定理”探究过程中，笔者又让学生经历探究一个新命题的“基本套路”：
实验操作→观察发现→猜想结论→验证结论→证明结论
再一次让学生感悟猜想、推理的方法，让学生在“做数学”的过程中学会了“数学思考”，并实现了由“学会数学”到“会学数学”的转变，提升数学育人价值.
（2）积累思维实验经验.案例中由蝴蝶抽象为数学问题——梯形，要经历画图操作，寻找线段和面积的数量关系的存在性、引发数学猜想，再验证数量关系的合理性，这必然仰赖于思维的参与，而获得猜想又需要实物或图形直观下的数学理解.在蝴蝶定理的证明思路形成过程中，需要数学思维方法——分析法和综合法，在整个探究过程中学生的数学思维羽化成蝶、翩翩起舞.
总之，“综合与实践”课教学教师要为学生营造一片数学学习的芳草地，为花与蝶的相遇创设情境，也就是说教师要选好数学问题，引导和启发学生进入角色，放手让学生参与，让学生在自主合作探究中自觉自悟，发展思维.只有这样才能聆听到花与蝶的私语，才能收获“蝶恋花”的喜悦.
参考文献
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.1.
[2]朱桂凤，孙朝仁.数学综合实践课的设计与思考——以一节综合实践课的教学设计为例[J].初中数学教与学，2013（1）.
作者简介朱先东（1966—），男，浙江省中学数学特级教师，主要从事中学数学教学研究与评价研究.近五年，研究主方向为“数学整体性教学”.主持两项浙江省重点规划课题研究，获杭州市教育科研优秀成果奖一等奖.有近50多篇教学论文发表，其中核心期刊10多篇，被人大资料复印中心全文转载6篇.
【关键词】综合与实践；蝴蝶定理；经验《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》在第二学段对梯形的教学要求为：通过观察、操作，认识梯形；探索并掌握梯形的面积公式.而第三学段对梯形不作要求.学校举行第二届教学年会，笔者选择以“蝴蝶”为载体，以“蝴蝶定理”作为实践研究主题，进行“综合与实践”课程开发，既拓展了课本知识，又帮助学生积累“综合与实践”课学习的基本活动经验，同时激发学生对生活中数学现象的探究兴趣.1创新设计
教学目标
1.从数学角度，了解蝴蝶的结构，发现“蝴蝶”身上所蕴含丰富的数学图形；
2.探究梯形蝴蝶定理，拓宽教材知识——梯形的性质；
3.让学生经历“蝴蝶定理”的探究过程，积累数学建模和几何探究的基本路径与方法.
教学重点
梯形蝴蝶定理的探究.
教学难点
蝴蝶定理的证明思路的形成.
教学过程
环节1情境创设.
课前播放蝴蝶视频，让学生感受蝴蝶的美丽.
师：蝴蝶漂亮吗？
生：漂亮.
师：你认为蝴蝶漂亮在哪里？
生：一是蝴蝶色彩斑斓，颜色非常美丽；二是它的体态是轴对称图形，飞舞起来，给人以美的享受.
师：同学们说得很好，从颜色、形状等角度来分析蝴蝶.请大家再思考：数学中的几何主要研究什么？从数学角度来看，蝴蝶美在哪里？
生：对称性.
（但对几何研究什么？学生有困难，教师引导得出：几何主要研究物体的“形状、大小、位置”，颜色、材质等问题不是数学的研究对象.）
师：如果要画一只蝴蝶，你怎么画？
生：先画蝴蝶的一半，然后用对称性来画另一半.
师：很好，这就是对称性在画图中的运用.蝴蝶不仅有优美的体形——对称性，而且它的身上还含有丰富的几何图形，这节课，我们先研究蝴蝶中的几何图形.
设计意图一是让学生感受到蝴蝶的美不仅来自于它的色彩，而且来自于数学对称美；二是为实践探究提供真实有趣的素材；三是让学生进一步了解数学中几何的研究对象.
2关于“综合与实践”的教学思考
《课标（2011年版）》指出：“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授.它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动，其核心是学生在教师引导和帮助下有目标、自主的实践活动[1].
2.1问题选择是关键
问题既可以来自于教材，也可以由教师、学生开发，但数学味和匹配性应是选题的前提.
（1）问题要有数学味.问题素材要以数学问题为载体，并且应该是好的数学问题，能够体现出数学的内部知识结构关系、数学的应用以及数学的发展，并能渗透数学思想方法.譬如本案例中“蝴蝶”问题，是教师研制、开发、生成适合九年级学生的研究性问题，问题含有丰富的数学元素，如对称性、特殊点构成等腰梯形以及等腰梯形各元素之间的关系等等，是比较综合运用中学知识研究小学内容的拓展性问题，尤其是建模思想是中学数学核心思想方法之一.因此问题设计很有数学味儿.
（2）问题要有匹配性.所选的问题不仅要与学生的知识水平与兴趣匹配，还要与学生能力水平和思维层次匹配，即所选问题要符合学生最近发展区原理，并且有利于在短暂的45分钟内，让学生发现问题、解决问题，并让学生汲取深刻的活动体验，积累数学活动经验[2].例如本案例中的“蝴蝶”问题，学生都知道蝴蝶因对称而美丽，在此基础上教师提出“蝴蝶身上还有哪些数学元素？”激发学生的好奇，激发学生研究的欲望，为问题的顺利解决创设了良好的情境.而从蝴蝶身上抽象出的图案——等腰梯形是学生所熟悉的图形，在此基础上再拓展到一般梯形，所用到的知识是初中学生已经具备的平行、全等、相似、面积等有关知识，因此学生在问题的发现和解决过程中思维达到了“羽化成蝶”的境界，充分拓展了学生的思维的广度与深度.
2.2探究感悟是核心
“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.学生是学习的主体，这一特点在综合实践活动中更为突出.
（1）放手让学生自主探究.综合实践活动的教学设计要注重设计学生自主参与为主的学习活动.譬如在梯形蝴蝶定理教学环节中，教师放手让学生将实际问题抽象为数学问题，再通过观察、画图、测量发现图形的特征，然后通过一般化发现梯形的性质，让学生自己经历了发现问题、提出问题、解决问题，交流收获体会的全过程.教师主要组织好学生之间的合作交流，在学生难以发现面积之间关系时，给于启发、引导.在圆中的蝴蝶定理证明时，难度较高，教师要适时适机地给与学生思路引导，帮助学生解决学习过程中的困难.
（2）重在引导学生体验感悟.学之道，在于悟.综合实践活动的教学是否成功，关键是看亲身经历过程体验得深刻与否？是否真正有利于学生的主动发展.如案例中教师重视引导学生体验和感悟蝴蝶问题和几何命题探究路径与方法的形成过程，积累了数学建模的经验，形成了几何命题探究的基本套路，优化了方法性认知结构，提高学生发现问题和解决解决问题的能力.
2.3经验积累是目标
《课标（2011年版）》指出：“积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之中.‘综合与实践’是实现这些目标的重要和有效的载体.”[1]因此，数学综合与实践活动的目标定位与学科教学有所不同，它的目标主要从以下两个方面来定位：
（1）积累思想方法经验.抽象、推理、模型是中学数学最基本的核心思想.如在发现、探究“梯形蝴蝶定理”的过程中，让学生经历了以下的数学建模过程：
在这一过程中，学生积累了研究一个实际问题的“基本套路”，感悟数学抽象、数学推理和数学建模等核心思想.而在“圆中的蝴蝶定理”探究过程中，笔者又让学生经历探究一个新命题的“基本套路”：
实验操作→观察发现→猜想结论→验证结论→证明结论
再一次让学生感悟猜想、推理的方法，让学生在“做数学”的过程中学会了“数学思考”，并实现了由“学会数学”到“会学数学”的转变，提升数学育人价值.
（2）积累思维实验经验.案例中由蝴蝶抽象为数学问题——梯形，要经历画图操作，寻找线段和面积的数量关系的存在性、引发数学猜想，再验证数量关系的合理性，这必然仰赖于思维的参与，而获得猜想又需要实物或图形直观下的数学理解.在蝴蝶定理的证明思路形成过程中，需要数学思维方法——分析法和综合法，在整个探究过程中学生的数学思维羽化成蝶、翩翩起舞.
总之，“综合与实践”课教学教师要为学生营造一片数学学习的芳草地，为花与蝶的相遇创设情境，也就是说教师要选好数学问题，引导和启发学生进入角色，放手让学生参与，让学生在自主合作探究中自觉自悟，发展思维.只有这样才能聆听到花与蝶的私语，才能收获“蝶恋花”的喜悦.
参考文献
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.1.
[2]朱桂凤，孙朝仁.数学综合实践课的设计与思考——以一节综合实践课的教学设计为例[J].初中数学教与学，2013（1）.
作者简介朱先东（1966—），男，浙江省中学数学特级教师，主要从事中学数学教学研究与评价研究.近五年，研究主方向为“数学整体性教学”.主持两项浙江省重点规划课题研究，获杭州市教育科研优秀成果奖一等奖.有近50多篇教学论文发表，其中核心期刊10多篇，被人大资料复印中心全文转载6篇.