论文部分内容阅读
《关于数学问题解决思维结构的探析》(孙淑娥、罗增儒，载《陕西师范大学继续教育学报》，2000年3月)
所谓思维模式或思维模式结构是内化于人脑中具有特定知识内容的“思维框架”，它既是实践形式结构的内化，又是对客体结构的映射，而思维方式是数学知识与主体认知长期相互作用的结果。因此，思维模式不同于思维方式，但二者又有相似之处。思维方式是一种比较明显的、动态的表层结构，思维模式则是比较隐蔽的、静态的深层结构。思维模式对某一具体问题而言不是绝对的，它依赖于主体建立的问题空间，而问题空间却依赖于主体的思维方式，思维方式依托着主体的思维结构。这说明了数学思维基本成分的作用才是构成思维结构动态系统的源泉。因此，思维基本成分整合的结果便产生了思维模式。
从个体认知过程看。随个体认知结构与问题结构的反复不断作用。使认识得到深化的同时，数学思维成分在不断完善和思维过程不断深化中则能使认知策略从较大范围内得到改善，从而使认知水平得到提高。认知策略与思维策略在一定范围内可以互相借用。本文中的思维策略也可说成是解题策略，而数学问题解决思维策略是数学思想转化为解题操作的桥梁，它又是关于问题的一些基本考虑和总体把握。所以，处于比较高层次的解题策略是在比较高的思维水平或认知水平上形成的，是对思维模式的综合。也是对问题空间的搜索和本质的概括，更是对问题结构的总体把握。作者的统计调查分析表明了数学思维基本成分在思维策略构建中与认知结构、问题表征和总体水平之间有着很强的相关性。
《数学思维，数学教学与问题解决》(黄光荣，载《大学数学》，2004年4月)
问题解决是以适应客观世界运动变化之需要为目的的辨证的动态思维过程。把问题解决作为过程，有助于我们检验对解决问题的方法和技巧的运用和问题彼此间的相互联系和辨证关系的认识。有助于我们从系统整体的高度去发现，去设计，去创造，去完成。
正因为问题解决是数学思维的过程和目的，它同样也是进行数学思维的基本方法之一。美国数学咨询委员会(NACOME)认为：问题解决是一种数学基本技能，并把问题解决能力列为十项基本技能之首，对如何评价和定义问题解决能力进行了许多探索和研究。充分认识和强调问题解决能力的重要性。当问题解决被理解为数学思维的基本方法时，它远非一个单一的技巧，而是若干个技巧的有机组合，人们必须考虑问题的具体内容，问题的形式以及构造数学模型，设计求解模型的方法等等。其焦点在于必须认识问题解决的必要性、可行性和选择问题及所应用的技巧时的困难。
当知识的传授是通过问题解决方法来实现时，它就是关于知识应用的知识，是解决实际问题的知识，运用它可以达到推出新知识、广泛迁移知识和灵活运用知识的目的。在教学中，我们应设法将静止的知识讲解为关于解决问题的活的知识。
当知识的传授是通过问题方法来实现时，能体现知识的实际意义。因为按照维特根斯坦和杜威等人对知识涵义的理解，知识的意义是存在于对知识的用法之中的，知识是为解决问题服务的，知识的应用无法通过抽象的规则、形式化体系和公理化方法来学会，必须通过一个一个实际问题或案例的解决过程及反思活动而逐渐掌握。应用知识解决问题的能力，正是在问题解决过程中不断形成和发展起来的。
《数学问题解决过程的教学策略》(沈丹丹，载《浙江师大学报(自然科学版)》，2001年8月)
数学中的“问题解决”应包括提出合适的问题和对问题进行恰当表达的智慧，从“杂乱无章”中理出头绪的逻辑思维和富有想象力的直觉思维，对问题进行反思和拓展的自我意识等。为此，数学教学中不仅要重视过程，即帮助学生了解可能遇到的障碍和掌握逾越的方法。而且要重视初始状态的描述、数学模型的建立及目标状态的延拓上，即要把数学“问题解决”的整个过程展示给学生。
法国学者庞加莱强调了直觉与逻辑的对立性。他指出“逻辑不是充分的，证明的科学并非全部科学，直觉作为补充物必然保持它的作用”。按照庞加莱的观点，数学直觉是对于抽象的数学对象的一种“非同寻常的洞察力”，它需要我们把想象和合理的思考结合起来。教学中通过对比两组图形的异同。通过预测复杂问题的结果以及对可能发生情形的猜想并反思自己的思维过程等方法可发展学生的直觉思维。
有时，“问题解决”的过程并非是常规或自动化的，而是需要不断进行自我反思，并随时加以必要调整的动态过程。为此，需要宽领域地摄取信息，并学会接受和处理不确定性信息。“数学地反思”是指在解决数学问题中的自我意识、自我评估和自我调整，亦即对自己所从事的“问题解决”的过程有清醒的自我意识。
《元认知开发与数学问题解决》(李玉琪，载《教育研究》，1996年第1期)
元认知理论表明，认知策略是揭示解题变量与解题方法之间的关系的过程。在元认知的作用下，利用内化了的策略性知识的启发作用。能够保持或修改思考路线。调控解题方法。
元认知体验通过修正目标。改组元认知知识和激活策略的方式，能很好地实现主体对问题解决创造心理活动的调节作用。元认知体验还包括着道德感、理智感、美感等高级情操，它们在数学问题解决中也都起着重要的作用。
监控作用是通过元认知知识和元认知体验的交互作用来实现的。在问题解决的整个过程中，解题者的“显性”思维(抽象思维、逻辑思维)与“隐性”思维(形象思维、直觉思维、美感)的交织使用，都是围绕着目标来进行的。记忆的探索及假设的提出也都是围绕着目标而展开的，因此，数学问题解决的心理活动总是由意识控制着。被目标支配着，受实践的目的性制导着的。
心理学研究表明，思维品质与元认知实质上是同一事物的两个方面：思维品质是思维整体结构功能的外在组织形式，代表的是表层结构：而元认知则是思维整体结构功能的内在组织形式，代表的是深层结构。虽然，思维品质是衡量人们智力、思维能力高低的主要指标，但是，差异的原因应从思维的深层结构里去分析，外在思维品质的差异根源在于思维整体结构的内在运行机制的差异。因此，元认知与思维品质存在因果关系，元认知的培养训练促进了思维品质的发展，是改善思维、智力水平的关键和突破口。人们在认知活动中，根据活动的目的和要求，自觉地采取相应的策略，并根据活动反馈信息，及时地调整策略，从而导致问题得到最快、最佳的解决。
《关于数学问题解决策略的几点思考》(潘小明，载《菏泽师专学报》，2002年11月)
问题解决的课程目标应建立在学生“学会知识”和“学会思维”有机辩证统一的基础上，为了能达到这个目标，数学教师应当努力为学生创设问题情境，通过不断提示数学美的特征，提高学生对数学问题及解的兴趣，激活学生问题探索的内驱力，启发学生在学习过程中不断提出问题。培养学生反向思维的意识及习惯，使学生认识到解决问题的途径不是单一的，而是开放式的，即问题的答案可能是多样的，甚至是无数的。但由于数学问题解决对象的抽象性，数学问题解决活动过程的探索性、严谨性以及数学评议的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握问题活动的本质，教师必须采取一系列有效的反思指导策略才能帮助认知主体逐步形成反思意识和反思习惯，从而不断洞察数学问题解决活动的本质特征。
为此。教师应通过多方面的工作把对学生的反思指导落到实处，比如，从学生问题解决经验有效建构的内在条件角度来分析，应当引导学生反思自己以何种方式解决了何种问题。就具体的策略而言，笔者认为应通过渗透、总结、迁移等方法指导学生内化并灵活运用如下12种具体的问题解决方法：(1)画图，引入符号，列表分析数据；(2)分类，分析特殊情况、一般化；(3)转化；(4)类比，联想；(5)建模；(6)讨论，分头工作；(7)证明，举反例；(8)简化以寻找规律(结论和方法)；(9)估计和猜测；(10)寻找不同的解法；(11)检验；(12)推广。数学问题解决中的反思指导应超越波利亚的启发法，不能停留于对个体反思性思维的启发，而应对群体(学习共同体)的反思性思维启发作出积极的探索。事实上我们应当看到，具有不同社会文化背景学生个体的反思性数学思维在一定条件下可与数学问题解决环境中具体事物发生作用，所谓的反思指导不能完全归结为学生内在的信息加工过程，而是既要重视“调节”、“观念”在数学问题解决中的作用，又要重视“环境认知”、“分配认知”在数学问题解决中的作用。
所谓思维模式或思维模式结构是内化于人脑中具有特定知识内容的“思维框架”，它既是实践形式结构的内化，又是对客体结构的映射，而思维方式是数学知识与主体认知长期相互作用的结果。因此，思维模式不同于思维方式，但二者又有相似之处。思维方式是一种比较明显的、动态的表层结构，思维模式则是比较隐蔽的、静态的深层结构。思维模式对某一具体问题而言不是绝对的，它依赖于主体建立的问题空间，而问题空间却依赖于主体的思维方式，思维方式依托着主体的思维结构。这说明了数学思维基本成分的作用才是构成思维结构动态系统的源泉。因此，思维基本成分整合的结果便产生了思维模式。
从个体认知过程看。随个体认知结构与问题结构的反复不断作用。使认识得到深化的同时，数学思维成分在不断完善和思维过程不断深化中则能使认知策略从较大范围内得到改善，从而使认知水平得到提高。认知策略与思维策略在一定范围内可以互相借用。本文中的思维策略也可说成是解题策略，而数学问题解决思维策略是数学思想转化为解题操作的桥梁，它又是关于问题的一些基本考虑和总体把握。所以，处于比较高层次的解题策略是在比较高的思维水平或认知水平上形成的，是对思维模式的综合。也是对问题空间的搜索和本质的概括，更是对问题结构的总体把握。作者的统计调查分析表明了数学思维基本成分在思维策略构建中与认知结构、问题表征和总体水平之间有着很强的相关性。
《数学思维，数学教学与问题解决》(黄光荣，载《大学数学》，2004年4月)
问题解决是以适应客观世界运动变化之需要为目的的辨证的动态思维过程。把问题解决作为过程，有助于我们检验对解决问题的方法和技巧的运用和问题彼此间的相互联系和辨证关系的认识。有助于我们从系统整体的高度去发现，去设计，去创造，去完成。
正因为问题解决是数学思维的过程和目的，它同样也是进行数学思维的基本方法之一。美国数学咨询委员会(NACOME)认为：问题解决是一种数学基本技能，并把问题解决能力列为十项基本技能之首，对如何评价和定义问题解决能力进行了许多探索和研究。充分认识和强调问题解决能力的重要性。当问题解决被理解为数学思维的基本方法时，它远非一个单一的技巧，而是若干个技巧的有机组合，人们必须考虑问题的具体内容，问题的形式以及构造数学模型，设计求解模型的方法等等。其焦点在于必须认识问题解决的必要性、可行性和选择问题及所应用的技巧时的困难。
当知识的传授是通过问题解决方法来实现时，它就是关于知识应用的知识，是解决实际问题的知识，运用它可以达到推出新知识、广泛迁移知识和灵活运用知识的目的。在教学中，我们应设法将静止的知识讲解为关于解决问题的活的知识。
当知识的传授是通过问题方法来实现时，能体现知识的实际意义。因为按照维特根斯坦和杜威等人对知识涵义的理解，知识的意义是存在于对知识的用法之中的，知识是为解决问题服务的，知识的应用无法通过抽象的规则、形式化体系和公理化方法来学会，必须通过一个一个实际问题或案例的解决过程及反思活动而逐渐掌握。应用知识解决问题的能力，正是在问题解决过程中不断形成和发展起来的。
《数学问题解决过程的教学策略》(沈丹丹，载《浙江师大学报(自然科学版)》，2001年8月)
数学中的“问题解决”应包括提出合适的问题和对问题进行恰当表达的智慧，从“杂乱无章”中理出头绪的逻辑思维和富有想象力的直觉思维，对问题进行反思和拓展的自我意识等。为此，数学教学中不仅要重视过程，即帮助学生了解可能遇到的障碍和掌握逾越的方法。而且要重视初始状态的描述、数学模型的建立及目标状态的延拓上，即要把数学“问题解决”的整个过程展示给学生。
法国学者庞加莱强调了直觉与逻辑的对立性。他指出“逻辑不是充分的，证明的科学并非全部科学，直觉作为补充物必然保持它的作用”。按照庞加莱的观点，数学直觉是对于抽象的数学对象的一种“非同寻常的洞察力”，它需要我们把想象和合理的思考结合起来。教学中通过对比两组图形的异同。通过预测复杂问题的结果以及对可能发生情形的猜想并反思自己的思维过程等方法可发展学生的直觉思维。
有时，“问题解决”的过程并非是常规或自动化的，而是需要不断进行自我反思，并随时加以必要调整的动态过程。为此，需要宽领域地摄取信息，并学会接受和处理不确定性信息。“数学地反思”是指在解决数学问题中的自我意识、自我评估和自我调整，亦即对自己所从事的“问题解决”的过程有清醒的自我意识。
《元认知开发与数学问题解决》(李玉琪，载《教育研究》，1996年第1期)
元认知理论表明，认知策略是揭示解题变量与解题方法之间的关系的过程。在元认知的作用下，利用内化了的策略性知识的启发作用。能够保持或修改思考路线。调控解题方法。
元认知体验通过修正目标。改组元认知知识和激活策略的方式，能很好地实现主体对问题解决创造心理活动的调节作用。元认知体验还包括着道德感、理智感、美感等高级情操，它们在数学问题解决中也都起着重要的作用。
监控作用是通过元认知知识和元认知体验的交互作用来实现的。在问题解决的整个过程中，解题者的“显性”思维(抽象思维、逻辑思维)与“隐性”思维(形象思维、直觉思维、美感)的交织使用，都是围绕着目标来进行的。记忆的探索及假设的提出也都是围绕着目标而展开的，因此，数学问题解决的心理活动总是由意识控制着。被目标支配着，受实践的目的性制导着的。
心理学研究表明，思维品质与元认知实质上是同一事物的两个方面：思维品质是思维整体结构功能的外在组织形式，代表的是表层结构：而元认知则是思维整体结构功能的内在组织形式，代表的是深层结构。虽然，思维品质是衡量人们智力、思维能力高低的主要指标，但是，差异的原因应从思维的深层结构里去分析，外在思维品质的差异根源在于思维整体结构的内在运行机制的差异。因此，元认知与思维品质存在因果关系，元认知的培养训练促进了思维品质的发展，是改善思维、智力水平的关键和突破口。人们在认知活动中，根据活动的目的和要求，自觉地采取相应的策略，并根据活动反馈信息，及时地调整策略，从而导致问题得到最快、最佳的解决。
《关于数学问题解决策略的几点思考》(潘小明，载《菏泽师专学报》，2002年11月)
问题解决的课程目标应建立在学生“学会知识”和“学会思维”有机辩证统一的基础上，为了能达到这个目标，数学教师应当努力为学生创设问题情境，通过不断提示数学美的特征，提高学生对数学问题及解的兴趣，激活学生问题探索的内驱力，启发学生在学习过程中不断提出问题。培养学生反向思维的意识及习惯，使学生认识到解决问题的途径不是单一的，而是开放式的，即问题的答案可能是多样的，甚至是无数的。但由于数学问题解决对象的抽象性，数学问题解决活动过程的探索性、严谨性以及数学评议的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握问题活动的本质，教师必须采取一系列有效的反思指导策略才能帮助认知主体逐步形成反思意识和反思习惯，从而不断洞察数学问题解决活动的本质特征。
为此。教师应通过多方面的工作把对学生的反思指导落到实处，比如，从学生问题解决经验有效建构的内在条件角度来分析，应当引导学生反思自己以何种方式解决了何种问题。就具体的策略而言，笔者认为应通过渗透、总结、迁移等方法指导学生内化并灵活运用如下12种具体的问题解决方法：(1)画图，引入符号，列表分析数据；(2)分类，分析特殊情况、一般化；(3)转化；(4)类比，联想；(5)建模；(6)讨论，分头工作；(7)证明，举反例；(8)简化以寻找规律(结论和方法)；(9)估计和猜测；(10)寻找不同的解法；(11)检验；(12)推广。数学问题解决中的反思指导应超越波利亚的启发法，不能停留于对个体反思性思维的启发，而应对群体(学习共同体)的反思性思维启发作出积极的探索。事实上我们应当看到，具有不同社会文化背景学生个体的反思性数学思维在一定条件下可与数学问题解决环境中具体事物发生作用，所谓的反思指导不能完全归结为学生内在的信息加工过程，而是既要重视“调节”、“观念”在数学问题解决中的作用，又要重视“环境认知”、“分配认知”在数学问题解决中的作用。