摘 要:用传统方法解立体几何题,最关键的地方是:如何准确地确定点到面的垂足点的位置?这才是立体几何的难点所在。
　　关键词:立体几何“高的高”突破难点
　　中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)05(c)-0113-01
　　
　　1 难点突破的方法
　　如果是正方形,这个正方形中两条互相垂直的边长即为高;如果是三角形就是其中一边上的高。但究竟选哪一条高,这要视具体情况具体分析,即:一定要找出该面中的两条互相垂直的线来。第二个“高”是指:再过空间中所求的点作选定的这个“高”(即垂线)的垂线,则此点的射影必是两高线的交点。下面以具体实例来谈谈笔者的方法。
　　例1:在直三棱柱-中,侧棱=2,∠=90,==,是棱的中点,是棱的中点,求二面角--的大小(如图1）。
　　解析:取的中点连结,并取的中点连结,并过点在△中作⊥于点并连结
　　
　　⊥平面
　　∵为在平面中的射影
　　又∵⊥由三垂线定理得AN⊥
　　∴--的二面角为∠。
　　由△∽△可得QK=继而得
　　
　　我们可以过点作面的垂线,也可过点作平面的垂线,对于此题,很明显的过点作平面的垂线要简单些;另一个关键点就是过点作平面的垂线,点在平面中的垂足点会落在哪儿？在平面中,∵⊥,可以说是平面⊿中的高,也可以说,是平面上的高。对于此题,只要稍微留意一下,∵=,显然,在平面中取的中点,连,则⊥,再分析一下就可看出,为三角形中的一条高线,故平面的垂线即为高的高,找到了⊥平面,则只需过垂足点作⊥棱,并连接,则∠=即为的二面角。
　　如果题中给定平面中的高不很明显,就需要我们去构造面上的高。下面举例来进行说明。
　　例2:如图,⊥平面,四边形是矩形,、分别是、的中点。
　　(1)求证:∥平面;
　　(2)若二面角--为45,=2,=3,求点到平面的距离。
　　解析:第一问只要辅助线作正确了,要证∥平面是一件相当容易的事,如图2只需取的中点,连结、,很容易证出平面为平行四边形,
　　∴∥,平面,∴∥平面
　　第二问是求点到面的距离
　　∵--为45
　　又∵底面为矩形,∴⊥
　　
　　只要稍仔细一点就可观察得出∠=45°为--的二面角
　　∴△为等腰直角三角形
　　
　　∵四边形是平行四边形,∴∥。
　　∴⊥平面,且平面,∴⊥。
　　∴在平面中构造了一个直角三角形,这时求点到平面的距离与求点到平面的距离是一回事,由图分析可得出,这时过点在△中作边上的高的垂线即为点到平面的距离。
　　
　　即为点到平面的距离,这样很容易在△中由等面积法可求得点到平面的距离,因为为的中点,则点到平面的距离为点到距离的一半,即点到平面的距离=。
　　此题就是求点到面的距离,而该面不是直角三角形。则可以在该面中构造出一个直角三角形,即可转化为求“高的高”,即为点到面距离。