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[摘要]针对混沌系统中Lyapunov指数的估计问题，从受控角度出发，提出一种Lyapunov指数新的估计方法。得知只要离散系统中的向量场函数 f(x)对应的雅克比矩阵fx(x)满足一定的条件，就能得到系统Lyapunov指数的上界和下界。分析表明，该估计方法具有可计算性，而且容易操作。
[关键词]Lyapunov指数 特征值 奇异值
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1010064－02
一、引言
混沌是一种普遍现象，自从E.N.lorenz发现混沌吸引子，在混沌领域的研究引起了很多学者的浓厚兴趣[2,4,5]。混沌行为的特点是轨道对初始条件的敏感依赖性质（指数发散），形象地说就是一个小的偏离就会导致实质完全不同的结果。
有几种分析方法可以对运动行为做定性分析，例如庞加莱截面，功率谱及Lyapunov指数等等，作为混沌特征参量之一的Lyapunov指数,由于只要能判定系统的一个Lyapunov指数为正,就可以判定系统处于混沌状态,而正的李雅普若夫指数是描述轨道对初始条件敏感依赖性的最佳方法，它精确地描述了相邻轨道的发散程度，当系统只有最大的李雅普若夫指数大于零时，系统为混沌，而当一个以上的李雅普若夫指数大于零时，系统为超混沌。李昌平等对Lyapunov指数估计问题做了部分工作[4,5]。本文从受控理论出发，提出了一种Lyapunov指数的估计方法，该方法具有可计算性。在第二部分中，集中讨论并论证了本文提出的估计方法。在第三部分，给出了两个例题验证结论的有效性。
二、离散系统的Lyapunov指数的估计
下面我们先介绍Lyapunov指数的定义及其向量受控关系的定义。
（一）相关定义
考虑下列非线性离散系统：
（二）相关的引理
在这里要用到矩阵，向量受控关系的基本性质与 有关的受控问题中的一些结果。例如：两个可逆矩阵与具有相同的特征值及其矩阵的奇异值与特征值之间的关系；
引理1[1] 设为ｎ阶实矩阵，记的奇异值为的奇异值为
再由引理2，我们知道下面的特征值都是相应矩阵的奇异值。所以我们既可以用奇异值的性质，即引理1 ，也可以用特征值的性质。
（三）Lyapunov指数的估计
基于上面引理我们得到下面的关于离散动力系统的Lyapunov指数估计的结论及其推论
定理1 系统(1)中，记 有
，则系统(1)对于系统在x0处的Lyapunov指数有
由系统(1)Lyapunov指数的定义及极限夹逼则，知有下列不等式成立
推论如果该系统(1)是一维系统，且 ，则系统在区间的任意点的Lyapunov指数都满足：
(由定理一此推论显然成立 )
三、例题
1．考虑一个著名的Henon系统，下面为其形式
[8] ,这一结果满足定理一的结果：
Henon系统是一个混沌系统[8]，只要初始值发生微小的变化，随着n的增加，它们将变得毫不相关。Fig 1是此系统在初始条件发生很小变化时的对照图。
2．再考虑一个著名的Tent系统，下面为其形式
四、结束语
一维离散系统就可以产生混沌[8]，上面的例子也是最好的实例。在定理1中的结论给出了Lyapunov指数的估计，可能判断当>1时，所有的Lyapunov指数都大于零系统为混沌状态；而当<1时，所有的Lyapunov指数都小于零系统为非混沌状态。本文得到所有Lyapunov指数有共同的上下界，对于单独估计单个Lyapunov指数的更紧的取值范围有待于进一步的研究。
参考文献：
[1]A.W.Marshall and J.Olhin , Inequalities: Theroy of Majorization and Its Applications[M]. Academic Press New York,1979 .
[2]Hongyun YIN,LI Qing,WANG Zhiliang,and LI Qin, “癈”?[J] , Journal of University of Science and Technology Beijing4, 446 , 2004.
[3]ChangPing Li and GuanRong Chen , Estimating the Lyapunov Exponents of Discrete Systems,[J]Chaos 14 , 343 ,2004.
[4]ChangPing Li and Xiaohua Xia , On The Bound of the Lyapunov Exponents for Continous system,[J] , chaos 14 ,557 , 2004 .
[5]ChangPing Li and GuangRong Chen, Chaos, Solitons Fractals 18, 807[J] (2003).
[6]程云鹏，矩阵论(第二版) [M].西安：西北工业大学出版社 (2004).
[7]刘华杰，混沌之旅：科学与文化[M]，山东教育出版社，1996.
[8]韩茂安，毕平等译，动力系统导论[M]，机械工业出版社（2007).
作者简介：
雷丽兰，女，汉，江西进贤，江西师范大学瑶湖校区计算机信息工程学院，硕士，主要研究方向：复杂系统。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
[关键词]Lyapunov指数 特征值 奇异值
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2008）1010064－02
一、引言
混沌是一种普遍现象，自从E.N.lorenz发现混沌吸引子，在混沌领域的研究引起了很多学者的浓厚兴趣[2,4,5]。混沌行为的特点是轨道对初始条件的敏感依赖性质（指数发散），形象地说就是一个小的偏离就会导致实质完全不同的结果。
有几种分析方法可以对运动行为做定性分析，例如庞加莱截面，功率谱及Lyapunov指数等等，作为混沌特征参量之一的Lyapunov指数,由于只要能判定系统的一个Lyapunov指数为正,就可以判定系统处于混沌状态,而正的李雅普若夫指数是描述轨道对初始条件敏感依赖性的最佳方法，它精确地描述了相邻轨道的发散程度，当系统只有最大的李雅普若夫指数大于零时，系统为混沌，而当一个以上的李雅普若夫指数大于零时，系统为超混沌。李昌平等对Lyapunov指数估计问题做了部分工作[4,5]。本文从受控理论出发，提出了一种Lyapunov指数的估计方法，该方法具有可计算性。在第二部分中，集中讨论并论证了本文提出的估计方法。在第三部分，给出了两个例题验证结论的有效性。
二、离散系统的Lyapunov指数的估计
下面我们先介绍Lyapunov指数的定义及其向量受控关系的定义。
（一）相关定义
考虑下列非线性离散系统：
（二）相关的引理
在这里要用到矩阵，向量受控关系的基本性质与 有关的受控问题中的一些结果。例如：两个可逆矩阵与具有相同的特征值及其矩阵的奇异值与特征值之间的关系；
引理1[1] 设为ｎ阶实矩阵，记的奇异值为的奇异值为
再由引理2，我们知道下面的特征值都是相应矩阵的奇异值。所以我们既可以用奇异值的性质，即引理1 ，也可以用特征值的性质。
（三）Lyapunov指数的估计
基于上面引理我们得到下面的关于离散动力系统的Lyapunov指数估计的结论及其推论
定理1 系统(1)中，记 有
，则系统(1)对于系统在x0处的Lyapunov指数有
由系统(1)Lyapunov指数的定义及极限夹逼则，知有下列不等式成立
推论如果该系统(1)是一维系统，且 ，则系统在区间的任意点的Lyapunov指数都满足：
(由定理一此推论显然成立 )
三、例题
1．考虑一个著名的Henon系统，下面为其形式
[8] ,这一结果满足定理一的结果：
Henon系统是一个混沌系统[8]，只要初始值发生微小的变化，随着n的增加，它们将变得毫不相关。Fig 1是此系统在初始条件发生很小变化时的对照图。
2．再考虑一个著名的Tent系统，下面为其形式
四、结束语
一维离散系统就可以产生混沌[8]，上面的例子也是最好的实例。在定理1中的结论给出了Lyapunov指数的估计，可能判断当>1时，所有的Lyapunov指数都大于零系统为混沌状态；而当<1时，所有的Lyapunov指数都小于零系统为非混沌状态。本文得到所有Lyapunov指数有共同的上下界，对于单独估计单个Lyapunov指数的更紧的取值范围有待于进一步的研究。
参考文献：
[1]A.W.Marshall and J.Olhin , Inequalities: Theroy of Majorization and Its Applications[M]. Academic Press New York,1979 .
[2]Hongyun YIN,LI Qing,WANG Zhiliang,and LI Qin, “癈”?[J] , Journal of University of Science and Technology Beijing4, 446 , 2004.
[3]ChangPing Li and GuanRong Chen , Estimating the Lyapunov Exponents of Discrete Systems,[J]Chaos 14 , 343 ,2004.
[4]ChangPing Li and Xiaohua Xia , On The Bound of the Lyapunov Exponents for Continous system,[J] , chaos 14 ,557 , 2004 .
[5]ChangPing Li and GuangRong Chen, Chaos, Solitons Fractals 18, 807[J] (2003).
[6]程云鹏，矩阵论(第二版) [M].西安：西北工业大学出版社 (2004).
[7]刘华杰，混沌之旅：科学与文化[M]，山东教育出版社，1996.
[8]韩茂安，毕平等译，动力系统导论[M]，机械工业出版社（2007).
作者简介：
雷丽兰，女，汉，江西进贤，江西师范大学瑶湖校区计算机信息工程学院，硕士，主要研究方向：复杂系统。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”