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摘要：本文阐述一种基于matlab的GMRES实现方法，主要针对于大规模跨区域电力系统分析中潮流计算的修正方程，在求解这个高维数超稀疏的线性方程组中避免了采用直接法进行求解，满足大型电力系统潮流计算的需要。该方法采用基于Krylov子空间的Arnoldi过程生成单位正交化基 和系数矩陣 ，然后采用基于Given变换的回代法求解最小二乘问题求解 向量，结合重启动技术，极大地提高计算的效率和收敛性。该方法具有算法稳定、简单及通用性强等特点，能够为后续电力工作者应用于潮流计算和电力系统分析中进一步扩展应用。算例结果验证文中实现的正确性和有效性。
关键词：Matlab GMRES方法 潮流计算 修正方程 大型稀疏线性方程组
引言
所谓电力系统潮流，是指系统中所有运行参数的总体，包括各个母线电压的大小和相位、各个发电机和负荷的功率及电流，以及各个变压器和线路等元件所通过的功率、电流和其损耗。潮流问题是电力系统分析的基础和核心。随着我国经济的发展，电力工业发展很快，而且向着大电网、智能化的方向发展，根据我国制定“西电东送、南北互供、全国联网”的战略构想，已基本上实现除西藏、新疆、海南、台湾外全国联网。
Krylov子空间法是二十世纪十大算法之一，具有存储量少，计算量小且易于并行等优点，非常适合并行求解高维稀疏线性方程组。根据不同的极小化方法Krylov子空间法主要有CG（Conjugate Gradient）法、MINRES（Minimal Residual）法、GMRES 法（Generalised Minimal Residual）、BiCG 法（Bi-Conjugate Gradient）、CGS法（Conjugate Gradient Squared）。其中，GMRES适合于求解大型非对称线性方程组，结合预条件处理技术的GMRES法具有良好的收敛特性和较高的数值稳定性，同时采用重启动技术可以有效的降低对内存占有的需求。
本文基于matlab对GMRES方法进行研究实现，并将其应用在牛顿拉夫逊法潮流计算的修正方程中，对于求解修正方程的要求可以归纳如下：①计算方法的可靠性和收敛性；②计算结果的精度；③对计算机内存量的要求。该方法采用基于Krylov子空间的Arnoldi过程生成单位正交基 和系数矩阵 ，然后采用基于Given变换的回代法求解最小二乘问题求得 向量，结合重启动技术，极大地提高计算的效率和收敛性。
1 GMRES原理
GMRES是求解高维稀疏线性代数方程组有效的迭代方法，早在上世纪五、六十年代提出，但是当时及以后的一段时间却很少运用于实际工程计算中，近年来才引起学者和工程师们的广泛关注和研究。
1.1 基于Krylov子空间的GMRES（m）
对于电力系统潮流计算的修正方程可以写成公式1的形式，其中 的阶数是 ，当电力系统的节点数 很大时，公式1将是一个高阶稀疏线性代数方程组。
公式1
设初值为 ，则初始残量为 ，根据其投影原理可以寻找 使残量 最小，通过Arnoldi过程构造Krylov子空间 ，生成单位正交化基 和系数矩阵 ，求解步骤如下：
其中，由于GMRES迭代次数太多，会占用大量的存储空间，往往需要加入重启动过程，超过最大迭代次数m，则进行重启动过程，进入算法步骤14重新计算。
1.2 最小二乘问题
其第i行、i+1行和第i列、i+1列的4个元素为旋转因子，定义为：
2 GMRES实现方法
2 数据验证
为了验证本文GMRES算法的有效性，采用IEEE118节点系统进行潮流计算验证，通过实例运行和MATLAB软件中的gmres软件包进行比较，并进行多次运算，其中，仿真中取容许误差为 ，重启动 ，为了方便对比，计算机和潮流计算程序的其他参数是一样的，本实验采用Intel i5-2320处理器3.00GHz主频，2.91GB，2.99Hz的内存，采用牛顿拉夫逊法进行潮流计算，结果证明本文算法更加适用于电力系统的潮流计算。
3 总结
本文从大规模跨区域电力系统分析中潮流计算中修正方程求解的实际问题出发，针对在求解这个高维数超稀疏的线性方程组中传统方法比较困难，对计算机配置要求较高，阐述一种基于matlab的GMRES实现方法，该方法采用基于Krylov子空间的Arnoldi过程生成单位正交化基 和系数矩阵 ，然后采用基于Given变换的回代法求解最小二乘问题求解 向量，结合重启动技术，极大地提高计算的效率和收敛性。结合IEEE118节点算例验证，
该方法具有算法稳定、简单及通用性强等特点，能够为后续电力工作者直接应用于潮流计算和电力系统分析中。
参考文献
[1] 石洋. 基于 GMRES 改进连续潮流法的静态电压稳定研究[D]. 太原理工大学，2011.
[2]董晓明. 连续潮流算法改进及工程应用[D]. 山东大学，2009.
[3]江伟，王成山. 电力系统输电能力研究中 PV 曲线的求取[J]. 电力系统自动化，2001，25（2）：9-12.
[4]周双喜，冯治鸿，杨宁. 大型电力系统 PV 曲线的求取[J]. 电网技术，1996，20（8）：4-8.
作者简介：高 成（1988-），男，通信作者，四川乐山人，硕士，主要从事电力系统分析研究。
（作者单位：国网乐山供电公司）
关键词：Matlab GMRES方法 潮流计算 修正方程 大型稀疏线性方程组
引言
所谓电力系统潮流，是指系统中所有运行参数的总体，包括各个母线电压的大小和相位、各个发电机和负荷的功率及电流，以及各个变压器和线路等元件所通过的功率、电流和其损耗。潮流问题是电力系统分析的基础和核心。随着我国经济的发展，电力工业发展很快，而且向着大电网、智能化的方向发展，根据我国制定“西电东送、南北互供、全国联网”的战略构想，已基本上实现除西藏、新疆、海南、台湾外全国联网。
Krylov子空间法是二十世纪十大算法之一，具有存储量少，计算量小且易于并行等优点，非常适合并行求解高维稀疏线性方程组。根据不同的极小化方法Krylov子空间法主要有CG（Conjugate Gradient）法、MINRES（Minimal Residual）法、GMRES 法（Generalised Minimal Residual）、BiCG 法（Bi-Conjugate Gradient）、CGS法（Conjugate Gradient Squared）。其中，GMRES适合于求解大型非对称线性方程组，结合预条件处理技术的GMRES法具有良好的收敛特性和较高的数值稳定性，同时采用重启动技术可以有效的降低对内存占有的需求。
本文基于matlab对GMRES方法进行研究实现，并将其应用在牛顿拉夫逊法潮流计算的修正方程中，对于求解修正方程的要求可以归纳如下：①计算方法的可靠性和收敛性；②计算结果的精度；③对计算机内存量的要求。该方法采用基于Krylov子空间的Arnoldi过程生成单位正交基 和系数矩阵 ，然后采用基于Given变换的回代法求解最小二乘问题求得 向量，结合重启动技术，极大地提高计算的效率和收敛性。
1 GMRES原理
GMRES是求解高维稀疏线性代数方程组有效的迭代方法，早在上世纪五、六十年代提出，但是当时及以后的一段时间却很少运用于实际工程计算中，近年来才引起学者和工程师们的广泛关注和研究。
1.1 基于Krylov子空间的GMRES（m）
对于电力系统潮流计算的修正方程可以写成公式1的形式，其中 的阶数是 ，当电力系统的节点数 很大时，公式1将是一个高阶稀疏线性代数方程组。
公式1
设初值为 ，则初始残量为 ，根据其投影原理可以寻找 使残量 最小，通过Arnoldi过程构造Krylov子空间 ，生成单位正交化基 和系数矩阵 ，求解步骤如下：
其中，由于GMRES迭代次数太多，会占用大量的存储空间，往往需要加入重启动过程，超过最大迭代次数m，则进行重启动过程，进入算法步骤14重新计算。
1.2 最小二乘问题
其第i行、i+1行和第i列、i+1列的4个元素为旋转因子，定义为：
2 GMRES实现方法
2 数据验证
为了验证本文GMRES算法的有效性，采用IEEE118节点系统进行潮流计算验证，通过实例运行和MATLAB软件中的gmres软件包进行比较，并进行多次运算，其中，仿真中取容许误差为 ，重启动 ，为了方便对比，计算机和潮流计算程序的其他参数是一样的，本实验采用Intel i5-2320处理器3.00GHz主频，2.91GB，2.99Hz的内存，采用牛顿拉夫逊法进行潮流计算，结果证明本文算法更加适用于电力系统的潮流计算。
3 总结
本文从大规模跨区域电力系统分析中潮流计算中修正方程求解的实际问题出发，针对在求解这个高维数超稀疏的线性方程组中传统方法比较困难，对计算机配置要求较高，阐述一种基于matlab的GMRES实现方法，该方法采用基于Krylov子空间的Arnoldi过程生成单位正交化基 和系数矩阵 ，然后采用基于Given变换的回代法求解最小二乘问题求解 向量，结合重启动技术，极大地提高计算的效率和收敛性。结合IEEE118节点算例验证，
该方法具有算法稳定、简单及通用性强等特点，能够为后续电力工作者直接应用于潮流计算和电力系统分析中。
参考文献
[1] 石洋. 基于 GMRES 改进连续潮流法的静态电压稳定研究[D]. 太原理工大学，2011.
[2]董晓明. 连续潮流算法改进及工程应用[D]. 山东大学，2009.
[3]江伟，王成山. 电力系统输电能力研究中 PV 曲线的求取[J]. 电力系统自动化，2001，25（2）：9-12.
[4]周双喜，冯治鸿，杨宁. 大型电力系统 PV 曲线的求取[J]. 电网技术，1996，20（8）：4-8.
作者简介：高 成（1988-），男，通信作者，四川乐山人，硕士，主要从事电力系统分析研究。
（作者单位：国网乐山供电公司）