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摘要：数学应用实践案例应取材于实际问题的真实任务。结合基于Matlab GUI的主轴回转精度误差计算器的完整开发过程，从案例编制的角度揭示了在案例取材、数学问题重述、数学模型及其计算的分析、Matlab编程等方面的要领，最后就数学应用能力的有效培养、工程技术文件的数学严谨性、案例的专业技能培训功能三个方面提出了思考。
关键词：数学；应用实践案例；主轴回转精度误差；Matlab GUI
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2013）09-0132-03
数学应用实践案例的开发是高职数学与专业结合的切入点，其目的是对高职数学课程进行有效的改革，提升数学教师的专业应用能力。那么，案例如何取材于真实的实际问题，案例在编制时如何将应用数学解决实际问题的全过程进行一定的去枝留干“手术”，以保证案例既作为适用于高职学生学用数学的真实情境，又成为培养相关专业技能的实训项目呢？通过开发案例给数学教师在高职数学教学内容、教学方式和手段等方面的改革带来哪些启示呢？下面结合近期我们完成的一个真实的数学应用实践案例进行初步剖析，同时提出三个值得深思的问题。
案例的取材过程
前不久，某研发实体开发了一种叫无磁双轴转台（如图1所示）的产品，该转台产品是一个高精设备，其中的精密主轴部件是保证其工作精度的核心。出厂前必须对主轴部件进行精度检测，检测标准为国防科技工业委员会1993年批准发布的《惯性技术测试设备主要性能试验方法（GJB1801-93）》。其中，研发人员需要对检测所得的测量数据进行误差评定，原有的误差计算小程序是采用过时的、繁琐的命令行方式进行的，希望重新开发一个具有图形用户界面（GUI）的、便于携带的“主轴回转精度误差计算器”。
通过仔细研究相关背景资料，我们发现里面只涉及傅里叶级数和Matlab软件的GUI编程两个数学内容。我们意识到，这既是一个带有普遍意义的制造业产品精度计算问题，又是高职制造类专业核心学习领域《机械制造基础》误差检测方面的教学内容。因此，从取材角度看，非常适合于高职数学应用实践案例的取材，可以较理想地开发编制成一个学用数学的真实情境。
同时，由于我国正由“制造大国”向“制造强国”迈进，加工中心和数控机床是我国制造业甚至许多高职院校已广泛使用的高精设备。这些精密机床是实现精密加工的首要基础条件。精密机床的质量取决于其关键部件，尤其是其精密主轴部件的质量。主轴的回转误差是影响机床加工精度的重要因素之一，它直接影响到加工零件的形状精度和表面粗糙度。因此，设计开发一个基于“主轴回转精度误差计算器”的数学应用实践案例，对于制造类专业的学生开展机床主轴回转误差的测试技术研究，同样具有重要意义，甚至可以延展为培养技能的专业实训项目。因为，通过回转误差的测试，可预测机床在理想加工条件下所能达到的最高精度，进行机床加工预测补偿控制；也可以判断产生加工误差的原因，以及机床的状态检测和故障诊断等，甚至开展在线动态测试技术的研究，后续的专业纵深研究空间非常大。
案例的编制及要领分析
按照GJB1801-93标准，转台主轴采用双向测量法进行。由于该方法忽略了平面镜的面型误差，混入了由于光管零位和平面镜与主轴轴线安装不垂直形成的误差，因而需要对测量数据进行消除这些误差的处理，然后才能进行误差结果的评定。下面将该案例的数学问题采用数学语言进行整理描述。
（一）数学问题重述
设双向测量法所得主轴从零度位置开始的n个均匀间隔转角位置的水平和垂直方向的两组测量值为Wxi、Wyi，对测量值的数据处理及误差结果评定方法如下。
1.数据处理
因为测量值是被测轴转角的周期函数，所以先将两组测量值Wxi、Wyi展开成傅里叶级数：
Wxi=■+■[axkcos（kθi）+bxksin（kθi）] （1）
Wyi=■+■[aykcos（kθi）+byksin（kθi）] （2）
式（1）、（2）中i=1，2，…，n；k为谐波次数；
零次和一次项傅里叶级数的系数为ax0、ay0及ax1、bx1、ay1、by1，单位：（″）。
ax0=■■Wxi，ax1=■■Wxicosθi，bx1=■■Wxisinθi（3）
ay0=■■Wyi，ay1=■■Wyicosθi，by1=■■Wyisinθi（4）
然后从傅里叶级数中扣除光管零位和平面镜与轴线安装不垂直造成的零次和一次谐波分量，得到回转误差的两个正交分量ΔWxi、ΔWyi：
ΔWxi=Wxi-■-ax1cosθi-bx1cosθi （5）
ΔWyi=Wyi-■-ay1cosθi-by1cosθi （6）
再将两个方向的轴系回转误差进行合成Wi=■：
2.误差结果评定
结果用最大回转误差表示：W=±Max{Wi}。
在该产品的实际检测中，若倾角回转误差W≤±4″，则俯仰轴回转精度符合要求。
（二）数学模型及其计算的分析
该问题的核心数学模型是傅里叶级数。傅里叶分析原理表明：任何周期函数都可以用相互正交的正弦函数和余弦函数构成的无穷级数表示。
实际上，尽管单圈测量的回转误差信号是随机的，但在理想的情况下，比如多圈测量且间隔角度无限小时，回转误差信号则是在圆周方向以2π为周期的连续随机变化的信号。因此，将单圈随机变化的回转误差信号表示成各阶有规律的相互正交的正弦和余弦分量的叠加后，可以对各阶谐波信号进行分析，进而得出产生回转误差的原因。式（1）、（2）表示的离散数据傅里叶级数模型是回转误差的谐波分析的思想基础。
这里，将测量值Wxi、Wyi展开成傅里叶级数后，其中的零次和一次项就是由于安装产生的误差，我们要做的只是在回转误差计算中予以剔除即可，以保证测量结果的精确性。 正因为如此，模型计算时并不需要对两组离散数据完整地展开为傅里叶级数。实际上，这里只涉及傅里叶级数的常数项和一次项的计算问题，即水平和垂直方向上各计算出1个常数项系数和2个一次项系数就行。
至于转角θi取值的问题，按照双向测量法的要求，主轴转动时是均匀的，即每间隔相同的角度转动主轴一周进行测量，比如对0°、15°、30°…、345°诸位置进行读数，则表示在区间[0°，360°）内按15°角度的间隔得到n=■=24个位置的某个方向上的测量值。因此，某方向如果测量n次，则转角θi将从0弧度开始，每隔步长为■取值，一直取到最后一个值2π-■。
（三）MATLAB的GUI编程分析
MATLAB是美国MathWorks公司发布的面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它能用矩阵方式高效处理数据，数值计算及编程功能强大，同时具备人机交互式的图形用户界面（GUI）设计。在进行试验性的模型数值计算M文件编程后，“主轴回转精度误差计算器”的GUI编程设计关键点如下。
1.图形界面设计部分
“主轴回转精度误差计算器”应满足用户根据检测需要可方便地输入任意维数的数组向量，同时自动检查是否输入了非数字，以及水平和垂直方向上的两组向量的维数是否一致。因此，设计时将2个Edit Text均采用行矩阵方式输入，并用1个Static Text提示数据输入格式样例，另外的4个Static Text用于注释和显示误差计算结果。
2.后台程序设计部分
在编写图形界面中唯一的Push Button相关M文件程序代码时，一是注意将用户输入的文本型格式数据转换为数值型格式数据，二是设定数组向量的维数为输入数据矩阵的第2个参数，即n=size（wx，2），同时给出相应维的转角数组为：θ=0∶2*pi/n∶2*pi-2*pi/n，打包发布后，最终完成该专用计算器的制作任务（误差计算实例如下页图2所示）。
案例引发的问题思考
回顾从案例的选材到案例编制的全过程，我们深深感到仍有许多问题值得进一步思考，这里仅列举如下三点抛砖引玉。
1.如何有效培养高职学生的数学应用能力？传统的高职数学教学中，数学应用能力的培养往往是通过围绕一个数学知识列举一些实际问题中的应用而展开的。本案例中的傅里叶级数在回转误差分析中的应用表明，传统方式不可能深入到如此具体工程意义的分析和研究。而现阶段高职院校的校企合作、工学结合的专业高技能人才培养模式为基于真实任务的数学问题解决方式培养学生数学应用能力提供了丰富的土壤，尤其是取材于工程实际问题的真实任务，是有效培养学生数学应用能力、实践能力和创新精神的重要资源，这样的资源急需大量地开发出来。
2.工程技术文件总是正确的吗？考虑到案例的背景是真实的实际问题，尽管理解相关的工程问题对于数学教师来说需要花费大量的时间，但这是我们提取出里面蕴含的数学问题的基础，是必须经历的首要过程。因此，编制案例前应与专业技术工程人员共同查阅和讨论工程技术文件，并用数学的眼光仔细核对其中的数学模型乃至数学表达式，对不严谨或错误的地方要及时指出并修改。比如作为工程标准的《惯性技术设备主要性能试验方法（GJB1801-93）》第6页的式（101-1）、第7页的式（101-2）、（101-3）、（101-4）出现下标及表达式的错误，应分别按本文中的（1）-（6）式进行修正。
3.案例可否用于高职专业教育中的技能实训项目？数学应用实践案例当然首先要保证在数学教学中的使用。但如果仅限于此，这样的案例仍是验证式的，也许最多算是解释了一下数学能用的道理而已。如果案例完成之后还有进一步改进和研究的空间，甚至可以作为专业技能实训项目，那么，这样的案例背后一定是具有生命力的真实工程技术问题了。比如，本文中案例涉及的检测方法目前就有更先进的CCD测量法，而误差评定方法也有不同优缺点的另外4种方法：最小包容区域法、最小外接圆法、最大内切圆法和最小二乘法。对于相关专业的学生来说，接下来的研究会更有意义。
参考文献：
[1]陈晓江.应用实践案例开发：高职数学课改的新探索[J].九江职业技术学院学报，2011（3）：26-27.
[2]国防科学技术工业委员会.中华人民共和国军用标准GJB1801-93惯性技术测试设备主要性能试验方法[S].1993-10-20.
[3]阚光萍.超精密空气主轴回转精度的测量与数据处理[J].航空精密制造技术，1999（3）：5-7.
[4]陈长浩.主轴运动精度的测试与研究[D].北京：北京工业大学，2010：10-16.
作者简介：
陈晓江（1967—），男，江西九江人，硕士，九江职业技术学院教授，图书馆馆长，研究方向为高职数学教育和数字化信息资源建设。
关键词：数学；应用实践案例；主轴回转精度误差；Matlab GUI
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2013）09-0132-03
数学应用实践案例的开发是高职数学与专业结合的切入点，其目的是对高职数学课程进行有效的改革，提升数学教师的专业应用能力。那么，案例如何取材于真实的实际问题，案例在编制时如何将应用数学解决实际问题的全过程进行一定的去枝留干“手术”，以保证案例既作为适用于高职学生学用数学的真实情境，又成为培养相关专业技能的实训项目呢？通过开发案例给数学教师在高职数学教学内容、教学方式和手段等方面的改革带来哪些启示呢？下面结合近期我们完成的一个真实的数学应用实践案例进行初步剖析，同时提出三个值得深思的问题。
案例的取材过程
前不久，某研发实体开发了一种叫无磁双轴转台（如图1所示）的产品，该转台产品是一个高精设备，其中的精密主轴部件是保证其工作精度的核心。出厂前必须对主轴部件进行精度检测，检测标准为国防科技工业委员会1993年批准发布的《惯性技术测试设备主要性能试验方法（GJB1801-93）》。其中，研发人员需要对检测所得的测量数据进行误差评定，原有的误差计算小程序是采用过时的、繁琐的命令行方式进行的，希望重新开发一个具有图形用户界面（GUI）的、便于携带的“主轴回转精度误差计算器”。
通过仔细研究相关背景资料，我们发现里面只涉及傅里叶级数和Matlab软件的GUI编程两个数学内容。我们意识到，这既是一个带有普遍意义的制造业产品精度计算问题，又是高职制造类专业核心学习领域《机械制造基础》误差检测方面的教学内容。因此，从取材角度看，非常适合于高职数学应用实践案例的取材，可以较理想地开发编制成一个学用数学的真实情境。
同时，由于我国正由“制造大国”向“制造强国”迈进，加工中心和数控机床是我国制造业甚至许多高职院校已广泛使用的高精设备。这些精密机床是实现精密加工的首要基础条件。精密机床的质量取决于其关键部件，尤其是其精密主轴部件的质量。主轴的回转误差是影响机床加工精度的重要因素之一，它直接影响到加工零件的形状精度和表面粗糙度。因此，设计开发一个基于“主轴回转精度误差计算器”的数学应用实践案例，对于制造类专业的学生开展机床主轴回转误差的测试技术研究，同样具有重要意义，甚至可以延展为培养技能的专业实训项目。因为，通过回转误差的测试，可预测机床在理想加工条件下所能达到的最高精度，进行机床加工预测补偿控制；也可以判断产生加工误差的原因，以及机床的状态检测和故障诊断等，甚至开展在线动态测试技术的研究，后续的专业纵深研究空间非常大。
案例的编制及要领分析
按照GJB1801-93标准，转台主轴采用双向测量法进行。由于该方法忽略了平面镜的面型误差，混入了由于光管零位和平面镜与主轴轴线安装不垂直形成的误差，因而需要对测量数据进行消除这些误差的处理，然后才能进行误差结果的评定。下面将该案例的数学问题采用数学语言进行整理描述。
（一）数学问题重述
设双向测量法所得主轴从零度位置开始的n个均匀间隔转角位置的水平和垂直方向的两组测量值为Wxi、Wyi，对测量值的数据处理及误差结果评定方法如下。
1.数据处理
因为测量值是被测轴转角的周期函数，所以先将两组测量值Wxi、Wyi展开成傅里叶级数：
Wxi=■+■[axkcos（kθi）+bxksin（kθi）] （1）
Wyi=■+■[aykcos（kθi）+byksin（kθi）] （2）
式（1）、（2）中i=1，2，…，n；k为谐波次数；
零次和一次项傅里叶级数的系数为ax0、ay0及ax1、bx1、ay1、by1，单位：（″）。
ax0=■■Wxi，ax1=■■Wxicosθi，bx1=■■Wxisinθi（3）
ay0=■■Wyi，ay1=■■Wyicosθi，by1=■■Wyisinθi（4）
然后从傅里叶级数中扣除光管零位和平面镜与轴线安装不垂直造成的零次和一次谐波分量，得到回转误差的两个正交分量ΔWxi、ΔWyi：
ΔWxi=Wxi-■-ax1cosθi-bx1cosθi （5）
ΔWyi=Wyi-■-ay1cosθi-by1cosθi （6）
再将两个方向的轴系回转误差进行合成Wi=■：
2.误差结果评定
结果用最大回转误差表示：W=±Max{Wi}。
在该产品的实际检测中，若倾角回转误差W≤±4″，则俯仰轴回转精度符合要求。
（二）数学模型及其计算的分析
该问题的核心数学模型是傅里叶级数。傅里叶分析原理表明：任何周期函数都可以用相互正交的正弦函数和余弦函数构成的无穷级数表示。
实际上，尽管单圈测量的回转误差信号是随机的，但在理想的情况下，比如多圈测量且间隔角度无限小时，回转误差信号则是在圆周方向以2π为周期的连续随机变化的信号。因此，将单圈随机变化的回转误差信号表示成各阶有规律的相互正交的正弦和余弦分量的叠加后，可以对各阶谐波信号进行分析，进而得出产生回转误差的原因。式（1）、（2）表示的离散数据傅里叶级数模型是回转误差的谐波分析的思想基础。
这里，将测量值Wxi、Wyi展开成傅里叶级数后，其中的零次和一次项就是由于安装产生的误差，我们要做的只是在回转误差计算中予以剔除即可，以保证测量结果的精确性。 正因为如此，模型计算时并不需要对两组离散数据完整地展开为傅里叶级数。实际上，这里只涉及傅里叶级数的常数项和一次项的计算问题，即水平和垂直方向上各计算出1个常数项系数和2个一次项系数就行。
至于转角θi取值的问题，按照双向测量法的要求，主轴转动时是均匀的，即每间隔相同的角度转动主轴一周进行测量，比如对0°、15°、30°…、345°诸位置进行读数，则表示在区间[0°，360°）内按15°角度的间隔得到n=■=24个位置的某个方向上的测量值。因此，某方向如果测量n次，则转角θi将从0弧度开始，每隔步长为■取值，一直取到最后一个值2π-■。
（三）MATLAB的GUI编程分析
MATLAB是美国MathWorks公司发布的面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它能用矩阵方式高效处理数据，数值计算及编程功能强大，同时具备人机交互式的图形用户界面（GUI）设计。在进行试验性的模型数值计算M文件编程后，“主轴回转精度误差计算器”的GUI编程设计关键点如下。
1.图形界面设计部分
“主轴回转精度误差计算器”应满足用户根据检测需要可方便地输入任意维数的数组向量，同时自动检查是否输入了非数字，以及水平和垂直方向上的两组向量的维数是否一致。因此，设计时将2个Edit Text均采用行矩阵方式输入，并用1个Static Text提示数据输入格式样例，另外的4个Static Text用于注释和显示误差计算结果。
2.后台程序设计部分
在编写图形界面中唯一的Push Button相关M文件程序代码时，一是注意将用户输入的文本型格式数据转换为数值型格式数据，二是设定数组向量的维数为输入数据矩阵的第2个参数，即n=size（wx，2），同时给出相应维的转角数组为：θ=0∶2*pi/n∶2*pi-2*pi/n，打包发布后，最终完成该专用计算器的制作任务（误差计算实例如下页图2所示）。
案例引发的问题思考
回顾从案例的选材到案例编制的全过程，我们深深感到仍有许多问题值得进一步思考，这里仅列举如下三点抛砖引玉。
1.如何有效培养高职学生的数学应用能力？传统的高职数学教学中，数学应用能力的培养往往是通过围绕一个数学知识列举一些实际问题中的应用而展开的。本案例中的傅里叶级数在回转误差分析中的应用表明，传统方式不可能深入到如此具体工程意义的分析和研究。而现阶段高职院校的校企合作、工学结合的专业高技能人才培养模式为基于真实任务的数学问题解决方式培养学生数学应用能力提供了丰富的土壤，尤其是取材于工程实际问题的真实任务，是有效培养学生数学应用能力、实践能力和创新精神的重要资源，这样的资源急需大量地开发出来。
2.工程技术文件总是正确的吗？考虑到案例的背景是真实的实际问题，尽管理解相关的工程问题对于数学教师来说需要花费大量的时间，但这是我们提取出里面蕴含的数学问题的基础，是必须经历的首要过程。因此，编制案例前应与专业技术工程人员共同查阅和讨论工程技术文件，并用数学的眼光仔细核对其中的数学模型乃至数学表达式，对不严谨或错误的地方要及时指出并修改。比如作为工程标准的《惯性技术设备主要性能试验方法（GJB1801-93）》第6页的式（101-1）、第7页的式（101-2）、（101-3）、（101-4）出现下标及表达式的错误，应分别按本文中的（1）-（6）式进行修正。
3.案例可否用于高职专业教育中的技能实训项目？数学应用实践案例当然首先要保证在数学教学中的使用。但如果仅限于此，这样的案例仍是验证式的，也许最多算是解释了一下数学能用的道理而已。如果案例完成之后还有进一步改进和研究的空间，甚至可以作为专业技能实训项目，那么，这样的案例背后一定是具有生命力的真实工程技术问题了。比如，本文中案例涉及的检测方法目前就有更先进的CCD测量法，而误差评定方法也有不同优缺点的另外4种方法：最小包容区域法、最小外接圆法、最大内切圆法和最小二乘法。对于相关专业的学生来说，接下来的研究会更有意义。
参考文献：
[1]陈晓江.应用实践案例开发：高职数学课改的新探索[J].九江职业技术学院学报，2011（3）：26-27.
[2]国防科学技术工业委员会.中华人民共和国军用标准GJB1801-93惯性技术测试设备主要性能试验方法[S].1993-10-20.
[3]阚光萍.超精密空气主轴回转精度的测量与数据处理[J].航空精密制造技术，1999（3）：5-7.
[4]陈长浩.主轴运动精度的测试与研究[D].北京：北京工业大学，2010：10-16.
作者简介：
陈晓江（1967—），男，江西九江人，硕士，九江职业技术学院教授，图书馆馆长，研究方向为高职数学教育和数字化信息资源建设。