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摘 要：数学建模是当前教学研究的热点，新课程标准对概念教学要求注重生成的过程.本文以“对数函数的概念”教学设计为例，将数学建模融入概念教学.以生物学问题为研究对象，注重数学建模的过程和对数函数概念的生成过程.让学生更好的感受对数函数的实际应用和理解概念的本质.
关键词：数学建模;对数函数;教学设计;生物学
一、教学内容的认识
“对数函数的概念”是新教材人教版必修第一册第4.4节“对数函数”的第一节课，是在学习完指数函数和对数概念后进行的研究.与指数函数的抽象概括得到不同，教科书是通过演绎推理获得对数函数的概念的.这一获得的过程对同学们来说非常新颖，是非常重要的数学过程和体验.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：认识对数函数，建立对数函数与指数函数的联系;教学难点：（1）数学模型的建立（2）对数函数概念的生成
二、教学设计与实施
1. 从生物学出发构建模型
课堂开始，首先回顾4.2.1的问题2：
问题：当生物死亡后，其机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率（简称衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
师生回顾：
师：如果你就是考古学家，你觉得你对它的死亡时间感兴趣吗？有没有什么办法可以得知生物体的死亡时间？
生：感兴趣，可以通过测出碳14含量来计算生物体的死亡时间.
师：是的，我们可以根据死亡时间推测该生物体生成所处的年代，如果是墓地还可根据墓地的形状以及陪葬品，进一步确认主人的身份，推知当时的科学工艺水平等等.这对过去的历史与科学文化的研究具有十分重要的意义.
【设计意图】以“科学考古”为话题代入课堂学习中，激发学生的学习兴趣和热情. 从另一个角度继续研究碳14衰减问题，让学生在认识对数函数时也能感受到对数函数的实际背景，同时也让学生进一步感受其中的函数模型.
师：作为考古学家的你，现在已经利用仪器，测出了死亡生物体内碳14的含量，那如何得知它死亡了多长时间呢？例如， 死亡生物体内碳14的含量为，那么死亡时间是？死亡生物体内碳14的含量为，那么死亡时间是？那么如果死亡生物体内碳14的含量为y，那么死亡时间是？
生：当y=，x=5730，当y=，，对任意.
【设计意图】通过前两个具体数例，帮助学生抽象概括出生物体内碳14的含量y与死亡时间x之间关系的数学模型. 体验数学模型的建立过程.
2. 对数函数概念的生成
师：这样我们就从原来的碳14含量y是死亡时间的函数，建立了死亡时间和碳14含量y间的一种对应关系.那么这种对应关系是函数关系吗？
生：是
师：目前还不知道，我们需要如何去判断呢？
学情预设：学生回答：只要判断对于任意的一个y是否会有唯一确定的x和它对应
（在实际课堂中，学生对这一问题基本回答不上来，没有头序）
师：很好，大家说了一部分，判断它是否是函数，应当从函数的概念出发.
师生活动：（共同回顾函数概念）设A、B是非空实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.
师：回到刚刚的问题，对照函数的定义，该如何判断其是否是函数关系？
生：“任意一个数x，要有唯一的y和它对应”，“对应法则”等等，
师（引导回答）：需要验证两个方面①两个非空实数集A和B ②确定的对应关系（“确定的”即是“任意一个数x，都有唯一的y和它对应”）
师（总结刚才的判断过程）：判断一个对应关系是否是函数关系，应当根据定义条件进行严格的验证.
师生活动（共同归纳，并板书）：
师：集合A、B确实是非空实数集满足①.那么如何判断②确定的对应关系？
学情预设：学生：对任意一个数y∈A，看是否都有唯一的x∈B和它对应.
（在实际课堂中，大多学生的反应符合预设）
师：对的，我们可以利用函数图象，先画出函数的图象，再过y轴正半轴上任一点作x轴的平行线，与该函数的图象有且只有一个交点，这就说明，对于任意一个，通过对应关系，在上都有唯一确定的数x与它对应，所以x也是y的函数.
另一方面，由指数函数是单调的这一特点也可以进行判断.
师：通过以上可以得知对应关系：也是函数关系，函数，y∈（0，1]刻画了时间x隨碳14含量y的衰减而变化的规律.
【设计意图】回顾函数概念后，学生从毫无头序到找到思路，加强了对概念的理解和重视.在判断的过程中对所需条件进行分析和一一验证，也培养了学生严谨的研究作风. 其中利用指数函数图像来判断“确定的对应关系”， 可以感受图像的直观，让学生感受数形结合的思想方法. 而从指数函数的单调性出发，则可以更加严谨的说明这一问题.
师：那么对于一般的底数a（教师板书：）和正数y，其得到的新的对应关系：x=logay是函数关系吗？
师生（教师板书，共同回答）：由 y=ax（a>0且a≠1）可以得到x=logay（a>0且a≠1），x也是y的函数.习惯上，将写x为自变量，写y为因变量，即写为y=logax，这就是今天要学习的对数函数.
一般地，函数叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，﹢∞）.
【设计意图】让学生经历“特殊到一般”的研究过程，体会“特殊到一般”的研究方法.
3. 对数函数概念的理解
师：回到对数函数的定义中，对数函数对它的底数有这样的限制：，这是为什么呢？
学情预设：学生回答：因为对数函数是从指数函数中变化得来，所以也要与指数函数对底数的要求一致.
（实际课堂中，符合预设）
师：最后要说的定义域，也是通过转换为x=ay 得到的，那你能通过这个转化，说出对数函数的值域吗？
生：值域为R.
师：从对数函数的定义域和值域上，我们还可以发现y=logax的值域等于y=ax的定义域，y=logax的定义域等于y=ax的值域，对数函数和指数函数有如此有趣、紧密的联系，后面我们会继续学习.
【设计意图】通过理解概念，挖掘出对数函数和指数函数定义域和值域的关系，为之后反函数的讲解铺垫.
4. 例题
课本例1，例2
5.作业
校本作业
参考文献：
[1]陈林.基于“数学建模理论”的高中生物学教学实践研究[D].四川师范大学，2017.
[2]沈小军，冯莉莉.数学模型在中学生物教学中的应用分析[J].读写写（教教学刊），2019（01）.
[3]王颖喆.关于中学数学建模教与学的思考[J].数学通报，2020（59-11）.
基金项目：福建省教育科学“十三五”规划2020年度教育教学改革专项课题 “基于‘数学建模理论’的高中生物新教材教学实践研究”（课题编号Fjjgzx20-002）
关键词：数学建模;对数函数;教学设计;生物学
一、教学内容的认识
“对数函数的概念”是新教材人教版必修第一册第4.4节“对数函数”的第一节课，是在学习完指数函数和对数概念后进行的研究.与指数函数的抽象概括得到不同，教科书是通过演绎推理获得对数函数的概念的.这一获得的过程对同学们来说非常新颖，是非常重要的数学过程和体验.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：认识对数函数，建立对数函数与指数函数的联系;教学难点：（1）数学模型的建立（2）对数函数概念的生成
二、教学设计与实施
1. 从生物学出发构建模型
课堂开始，首先回顾4.2.1的问题2：
问题：当生物死亡后，其机体内原有的碳14含量会按确定的衰减比率（简称衰减率）衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
师生回顾：
师：如果你就是考古学家，你觉得你对它的死亡时间感兴趣吗？有没有什么办法可以得知生物体的死亡时间？
生：感兴趣，可以通过测出碳14含量来计算生物体的死亡时间.
师：是的，我们可以根据死亡时间推测该生物体生成所处的年代，如果是墓地还可根据墓地的形状以及陪葬品，进一步确认主人的身份，推知当时的科学工艺水平等等.这对过去的历史与科学文化的研究具有十分重要的意义.
【设计意图】以“科学考古”为话题代入课堂学习中，激发学生的学习兴趣和热情. 从另一个角度继续研究碳14衰减问题，让学生在认识对数函数时也能感受到对数函数的实际背景，同时也让学生进一步感受其中的函数模型.
师：作为考古学家的你，现在已经利用仪器，测出了死亡生物体内碳14的含量，那如何得知它死亡了多长时间呢？例如， 死亡生物体内碳14的含量为，那么死亡时间是？死亡生物体内碳14的含量为，那么死亡时间是？那么如果死亡生物体内碳14的含量为y，那么死亡时间是？
生：当y=，x=5730，当y=，，对任意.
【设计意图】通过前两个具体数例，帮助学生抽象概括出生物体内碳14的含量y与死亡时间x之间关系的数学模型. 体验数学模型的建立过程.
2. 对数函数概念的生成
师：这样我们就从原来的碳14含量y是死亡时间的函数，建立了死亡时间和碳14含量y间的一种对应关系.那么这种对应关系是函数关系吗？
生：是
师：目前还不知道，我们需要如何去判断呢？
学情预设：学生回答：只要判断对于任意的一个y是否会有唯一确定的x和它对应
（在实际课堂中，学生对这一问题基本回答不上来，没有头序）
师：很好，大家说了一部分，判断它是否是函数，应当从函数的概念出发.
师生活动：（共同回顾函数概念）设A、B是非空实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.
师：回到刚刚的问题，对照函数的定义，该如何判断其是否是函数关系？
生：“任意一个数x，要有唯一的y和它对应”，“对应法则”等等，
师（引导回答）：需要验证两个方面①两个非空实数集A和B ②确定的对应关系（“确定的”即是“任意一个数x，都有唯一的y和它对应”）
师（总结刚才的判断过程）：判断一个对应关系是否是函数关系，应当根据定义条件进行严格的验证.
师生活动（共同归纳，并板书）：
师：集合A、B确实是非空实数集满足①.那么如何判断②确定的对应关系？
学情预设：学生：对任意一个数y∈A，看是否都有唯一的x∈B和它对应.
（在实际课堂中，大多学生的反应符合预设）
师：对的，我们可以利用函数图象，先画出函数的图象，再过y轴正半轴上任一点作x轴的平行线，与该函数的图象有且只有一个交点，这就说明，对于任意一个，通过对应关系，在上都有唯一确定的数x与它对应，所以x也是y的函数.
另一方面，由指数函数是单调的这一特点也可以进行判断.
师：通过以上可以得知对应关系：也是函数关系，函数，y∈（0，1]刻画了时间x隨碳14含量y的衰减而变化的规律.
【设计意图】回顾函数概念后，学生从毫无头序到找到思路，加强了对概念的理解和重视.在判断的过程中对所需条件进行分析和一一验证，也培养了学生严谨的研究作风. 其中利用指数函数图像来判断“确定的对应关系”， 可以感受图像的直观，让学生感受数形结合的思想方法. 而从指数函数的单调性出发，则可以更加严谨的说明这一问题.
师：那么对于一般的底数a（教师板书：）和正数y，其得到的新的对应关系：x=logay是函数关系吗？
师生（教师板书，共同回答）：由 y=ax（a>0且a≠1）可以得到x=logay（a>0且a≠1），x也是y的函数.习惯上，将写x为自变量，写y为因变量，即写为y=logax，这就是今天要学习的对数函数.
一般地，函数叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，﹢∞）.
【设计意图】让学生经历“特殊到一般”的研究过程，体会“特殊到一般”的研究方法.
3. 对数函数概念的理解
师：回到对数函数的定义中，对数函数对它的底数有这样的限制：，这是为什么呢？
学情预设：学生回答：因为对数函数是从指数函数中变化得来，所以也要与指数函数对底数的要求一致.
（实际课堂中，符合预设）
师：最后要说的定义域，也是通过转换为x=ay 得到的，那你能通过这个转化，说出对数函数的值域吗？
生：值域为R.
师：从对数函数的定义域和值域上，我们还可以发现y=logax的值域等于y=ax的定义域，y=logax的定义域等于y=ax的值域，对数函数和指数函数有如此有趣、紧密的联系，后面我们会继续学习.
【设计意图】通过理解概念，挖掘出对数函数和指数函数定义域和值域的关系，为之后反函数的讲解铺垫.
4. 例题
课本例1，例2
5.作业
校本作业
参考文献：
[1]陈林.基于“数学建模理论”的高中生物学教学实践研究[D].四川师范大学，2017.
[2]沈小军，冯莉莉.数学模型在中学生物教学中的应用分析[J].读写写（教教学刊），2019（01）.
[3]王颖喆.关于中学数学建模教与学的思考[J].数学通报，2020（59-11）.
基金项目：福建省教育科学“十三五”规划2020年度教育教学改革专项课题 “基于‘数学建模理论’的高中生物新教材教学实践研究”（课题编号Fjjgzx20-002）