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一个命题p,使用逻辑联结词“非”,就构成了一个复合命题“非p”(记为「p)。“非p”叫做命题p的非命题,也叫做命题p的否定。命题p与它的否定“非p”的真值为一真一假、一假一真,所以有时也称它们是一对矛盾命题。
在数学学习中,经常需要写出一个命题的否定,如运用反证法时,要将结论否定,写出命题“若p则q”的否命题,要将p,q都否定,等等。但是,要正确无误地写出一个命题的否定并非易事,比如,不少学生认为,“四边相等的四边形是正方形”的否定是“四边相等的四边形不是正方形”。“若a,b是奇数,则a+b是偶数”的否定是“若a,b是奇数,则a+b不是偶数”。事实上,这些都不正确。本文就如何写出一个命题的否定,谈谈自己的看法,仅供参考。
1 简单命题“x是y”的否定
逻辑联结词的简单命题“x是y”的否定是“x不是y”,这里x是指一个特定对象,如“2是有理数”的否定为“2不是有理数”。
2 命题“p且q”、“p或q”的否定
给定命题p、q,用联结词“且”(“或”)构成的复合命题“p且q”(“p或q”)叫做p、q的联言命题(选言命题),记作:p∧q(p∨q)。
对“且”、“或”命题的否定符合德·摩根律。
「(p∧q)=「p∨「q,「(p∨q)=「p∧「q
证明见真值表1
由此可以看出,命题p∧q和p∨q的否定,既否定命题p、q,又要将联结词改变
例如:p:3>2,
q:3=2
p∧q:3>2且3=2
p∨q:3>2或3=2
「(p∧q):3≤2或3≠2
「(p∨q):3≤2且3≠2
3 量词的否定
许多命题中有“许多”(或其同义词“任意”、“任何”、“一切”等)、“存在”(或“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等)这两个词,在逻辑中,这两个词称为量词,分别以与表示,量词只有这两个。
再如“所有有理数是实数”这样的命题中,有两个基本成分:“a,a∈Q”,“a∈R”,前者中“a∈Q”指出所讨论的对象的范围是Q,后者反映对前者的判断,称为量词的作用范围(或称“辖域”)。对这样的命题否定,只需对这两个成分否定,得到“a,a∈Q”,“aR”,即“存在有理数不是实数”,注意对前者的否定不是“a,aQ”,因为否定时仍应在原有对象范围内进行,对含有“存在”的命题的否定可类似地进行。总之,记p是包含量词“存在”、“所有”的命题,则「p可以从p中把“所有”改为“存在”,把“存在”改成“所有”,并把它们的作用范围否定而得到。
例1、写出下列命题的否定
(1)任何实数x都是方程2x-13=0的根;
(2)自然数不是无理数;
(3)存在质偶数;
(4)三角形中至少有一个角大于60°;
(5)对任意实数x,存在实数y0,使x+y0>0。
解:上述各命题的否定分别是:
(1)存在实数x0不是方程2x0-13=0的根;
(2)存在自然数是无理数;
(3)所有的质数都不是偶数;
(4)有一个三角形的三个角都不大于60°;
(5)存在实数x0,对任意实数y,有x0+y≤0。
必须注意,(2)(4)中省略了量词“所有”。
4 命题“若p则q”的否定
对于命题“若p则q”(记为pq)而言,它的否定是什么呢?我们不妨用真值表进行讨论,由表2可知,命题“若p则q”与命题“非p或q”的真值表完全一样,也就是说,这两个命题等价。
也就是说,命题“若p则q”的否定是“p且非q”,而不是“若p则非q”。比如,在日常生活中,我们经常听到父母对子女允诺:“如果你学习好,我就奖励你”。只有在一种情况下,父母没有信守承诺,即孩子学习好,但父母并没有给予奖励。在数学中,多数命题pq都含有变元。如“若x≥2,则x2≥4”等,必须注意,这类命题在表述时常常省略了量词“所有”。写出这类命题的否定时,必须先否定量词。
例2、写出下列命题的否定
(1)若x2<4,则x<2;
(2)被8整除的数能被4整除。
解:(1)原命题:x(x2<4x<2),
否定:x(x2<4且x≥2),
即存在大于或等于2的数x,满足x2<4。
(2)原命题:x(x能被8整除x能被4整除)
否定:x(x能被8整除x不能被4整除)
即存在一个数能被8整除但不能被4整除
5命题的否定与否命题
命题的否定与否命题是完全不同的两个概念,其一,任何命题均有否定,而否命题仅仅针对命题“若p则q”而言;其二,命题的否定是原命题的矛盾命题,真假性相反,两者必是一真一假,而互否的两个命题的真假性没有关系,两者可能同真,可能同假,也可能一真一假。
例3、写出下列命题的否定和否命题,并判断真假:
(1)若x>y,则3x>3y
(2)若x2+x<2,则x2-x<2
解:(1)原命题:x,y(x>y3x>3y)真命题
否定:x,y(x>y且3x≤3y)假命题
否命题:x,y(x≤y3x≤3y)真命题
(2)原命题:x(x2+x<2x2-x<2)假命题
否定:x(x2+x<2且x2-x≥2)真命题
否命题:x(x2+x≥2x2-x≥2)假命题
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
在数学学习中,经常需要写出一个命题的否定,如运用反证法时,要将结论否定,写出命题“若p则q”的否命题,要将p,q都否定,等等。但是,要正确无误地写出一个命题的否定并非易事,比如,不少学生认为,“四边相等的四边形是正方形”的否定是“四边相等的四边形不是正方形”。“若a,b是奇数,则a+b是偶数”的否定是“若a,b是奇数,则a+b不是偶数”。事实上,这些都不正确。本文就如何写出一个命题的否定,谈谈自己的看法,仅供参考。
1 简单命题“x是y”的否定
逻辑联结词的简单命题“x是y”的否定是“x不是y”,这里x是指一个特定对象,如“2是有理数”的否定为“2不是有理数”。
2 命题“p且q”、“p或q”的否定
给定命题p、q,用联结词“且”(“或”)构成的复合命题“p且q”(“p或q”)叫做p、q的联言命题(选言命题),记作:p∧q(p∨q)。
对“且”、“或”命题的否定符合德·摩根律。
「(p∧q)=「p∨「q,「(p∨q)=「p∧「q
证明见真值表1
由此可以看出,命题p∧q和p∨q的否定,既否定命题p、q,又要将联结词改变
例如:p:3>2,
q:3=2
p∧q:3>2且3=2
p∨q:3>2或3=2
「(p∧q):3≤2或3≠2
「(p∨q):3≤2且3≠2
3 量词的否定
许多命题中有“许多”(或其同义词“任意”、“任何”、“一切”等)、“存在”(或“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等)这两个词,在逻辑中,这两个词称为量词,分别以与表示,量词只有这两个。
再如“所有有理数是实数”这样的命题中,有两个基本成分:“a,a∈Q”,“a∈R”,前者中“a∈Q”指出所讨论的对象的范围是Q,后者反映对前者的判断,称为量词的作用范围(或称“辖域”)。对这样的命题否定,只需对这两个成分否定,得到“a,a∈Q”,“aR”,即“存在有理数不是实数”,注意对前者的否定不是“a,aQ”,因为否定时仍应在原有对象范围内进行,对含有“存在”的命题的否定可类似地进行。总之,记p是包含量词“存在”、“所有”的命题,则「p可以从p中把“所有”改为“存在”,把“存在”改成“所有”,并把它们的作用范围否定而得到。
例1、写出下列命题的否定
(1)任何实数x都是方程2x-13=0的根;
(2)自然数不是无理数;
(3)存在质偶数;
(4)三角形中至少有一个角大于60°;
(5)对任意实数x,存在实数y0,使x+y0>0。
解:上述各命题的否定分别是:
(1)存在实数x0不是方程2x0-13=0的根;
(2)存在自然数是无理数;
(3)所有的质数都不是偶数;
(4)有一个三角形的三个角都不大于60°;
(5)存在实数x0,对任意实数y,有x0+y≤0。
必须注意,(2)(4)中省略了量词“所有”。
4 命题“若p则q”的否定
对于命题“若p则q”(记为pq)而言,它的否定是什么呢?我们不妨用真值表进行讨论,由表2可知,命题“若p则q”与命题“非p或q”的真值表完全一样,也就是说,这两个命题等价。
也就是说,命题“若p则q”的否定是“p且非q”,而不是“若p则非q”。比如,在日常生活中,我们经常听到父母对子女允诺:“如果你学习好,我就奖励你”。只有在一种情况下,父母没有信守承诺,即孩子学习好,但父母并没有给予奖励。在数学中,多数命题pq都含有变元。如“若x≥2,则x2≥4”等,必须注意,这类命题在表述时常常省略了量词“所有”。写出这类命题的否定时,必须先否定量词。
例2、写出下列命题的否定
(1)若x2<4,则x<2;
(2)被8整除的数能被4整除。
解:(1)原命题:x(x2<4x<2),
否定:x(x2<4且x≥2),
即存在大于或等于2的数x,满足x2<4。
(2)原命题:x(x能被8整除x能被4整除)
否定:x(x能被8整除x不能被4整除)
即存在一个数能被8整除但不能被4整除
5命题的否定与否命题
命题的否定与否命题是完全不同的两个概念,其一,任何命题均有否定,而否命题仅仅针对命题“若p则q”而言;其二,命题的否定是原命题的矛盾命题,真假性相反,两者必是一真一假,而互否的两个命题的真假性没有关系,两者可能同真,可能同假,也可能一真一假。
例3、写出下列命题的否定和否命题,并判断真假:
(1)若x>y,则3x>3y
(2)若x2+x<2,则x2-x<2
解:(1)原命题:x,y(x>y3x>3y)真命题
否定:x,y(x>y且3x≤3y)假命题
否命题:x,y(x≤y3x≤3y)真命题
(2)原命题:x(x2+x<2x2-x<2)假命题
否定:x(x2+x<2且x2-x≥2)真命题
否命题:x(x2+x≥2x2-x≥2)假命题
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”