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一个命题p，使用逻辑联结词“非”，就构成了一个复合命题“非p”(记为｢p)。“非p”叫做命题p的非命题，也叫做命题p的否定。命题p与它的否定“非p”的真值为一真一假、一假一真，所以有时也称它们是一对矛盾命题。
在数学学习中，经常需要写出一个命题的否定，如运用反证法时，要将结论否定，写出命题“若p则q”的否命题，要将p，q都否定，等等。但是，要正确无误地写出一个命题的否定并非易事，比如，不少学生认为，“四边相等的四边形是正方形”的否定是“四边相等的四边形不是正方形”。“若a，b是奇数，则a+b是偶数”的否定是“若a，b是奇数，则a+b不是偶数”。事实上，这些都不正确。本文就如何写出一个命题的否定，谈谈自己的看法，仅供参考。
1 简单命题“x是y”的否定
逻辑联结词的简单命题“x是y”的否定是“x不是y”，这里x是指一个特定对象，如“2是有理数”的否定为“2不是有理数”。
2 命题“p且q”、“p或q”的否定
给定命题p、q，用联结词“且”(“或”)构成的复合命题“p且q”(“p或q”)叫做p、q的联言命题(选言命题)，记作：p∧q(p∨q)。
对“且”、“或”命题的否定符合德·摩根律。
｢(p∧q)=｢p∨｢q，｢(p∨q)=｢p∧｢q
证明见真值表1
由此可以看出，命题p∧q和p∨q的否定，既否定命题p、q，又要将联结词改变
例如：p：3>2，
q：3=2
p∧q：3>2且3=2
p∨q：3>2或3=2
｢(p∧q)：3≤2或3≠2
｢(p∨q)：3≤2且3≠2
3 量词的否定
许多命题中有“许多”(或其同义词“任意”、“任何”、“一切”等)、“存在”(或“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等)这两个词，在逻辑中，这两个词称为量词，分别以与表示，量词只有这两个。
再如“所有有理数是实数”这样的命题中，有两个基本成分：“a，a∈Q”，“a∈R”，前者中“a∈Q”指出所讨论的对象的范围是Q，后者反映对前者的判断，称为量词的作用范围(或称“辖域”)。对这样的命题否定，只需对这两个成分否定，得到“a，a∈Q”，“aR”，即“存在有理数不是实数”，注意对前者的否定不是“a，aQ”，因为否定时仍应在原有对象范围内进行，对含有“存在”的命题的否定可类似地进行。总之，记p是包含量词“存在”、“所有”的命题，则｢p可以从p中把“所有”改为“存在”，把“存在”改成“所有”，并把它们的作用范围否定而得到。
例1、写出下列命题的否定
(1)任何实数x都是方程2x-13=0的根；
(2)自然数不是无理数；
(3)存在质偶数；
(4)三角形中至少有一个角大于60°；
(5)对任意实数x，存在实数y0，使x+y0>0。
解：上述各命题的否定分别是：
(1)存在实数x0不是方程2x0-13=0的根；
(2)存在自然数是无理数；
(3)所有的质数都不是偶数；
(4)有一个三角形的三个角都不大于60°；
(5)存在实数x0，对任意实数y，有x0+y≤0。
必须注意，(2)(4)中省略了量词“所有”。
4 命题“若p则q”的否定
对于命题“若p则q”(记为pq)而言，它的否定是什么呢?我们不妨用真值表进行讨论，由表2可知，命题“若p则q”与命题“非p或q”的真值表完全一样，也就是说，这两个命题等价。
也就是说，命题“若p则q”的否定是“p且非q”，而不是“若p则非q”。比如，在日常生活中，我们经常听到父母对子女允诺：“如果你学习好，我就奖励你”。只有在一种情况下，父母没有信守承诺，即孩子学习好，但父母并没有给予奖励。在数学中，多数命题pq都含有变元。如“若x≥2，则x2≥4”等，必须注意，这类命题在表述时常常省略了量词“所有”。写出这类命题的否定时，必须先否定量词。
例2、写出下列命题的否定
(1)若x2<4，则x<2；
(2)被8整除的数能被4整除。
解：(1)原命题：x(x2<4x<2)，
否定：x(x2<4且x≥2)，
即存在大于或等于2的数x，满足x2<4。
(2)原命题：x(x能被8整除x能被4整除)
否定：x(x能被8整除x不能被4整除)
即存在一个数能被8整除但不能被4整除
5命题的否定与否命题
命题的否定与否命题是完全不同的两个概念，其一，任何命题均有否定，而否命题仅仅针对命题“若p则q”而言；其二，命题的否定是原命题的矛盾命题，真假性相反，两者必是一真一假，而互否的两个命题的真假性没有关系，两者可能同真，可能同假，也可能一真一假。
例3、写出下列命题的否定和否命题，并判断真假：
(1)若x>y，则3x>3y
(2)若x2+x<2，则x2-x<2
解：(1)原命题：x，y(x>y3x>3y)真命题
否定：x，y(x>y且3x≤3y)假命题
否命题：x，y(x≤y3x≤3y)真命题
(2)原命题：x(x2+x<2x2-x<2)假命题
否定：x(x2+x<2且x2-x≥2)真命题
否命题：x(x2+x≥2x2-x≥2)假命题
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
在数学学习中，经常需要写出一个命题的否定，如运用反证法时，要将结论否定，写出命题“若p则q”的否命题，要将p，q都否定，等等。但是，要正确无误地写出一个命题的否定并非易事，比如，不少学生认为，“四边相等的四边形是正方形”的否定是“四边相等的四边形不是正方形”。“若a，b是奇数，则a+b是偶数”的否定是“若a，b是奇数，则a+b不是偶数”。事实上，这些都不正确。本文就如何写出一个命题的否定，谈谈自己的看法，仅供参考。
1 简单命题“x是y”的否定
逻辑联结词的简单命题“x是y”的否定是“x不是y”，这里x是指一个特定对象，如“2是有理数”的否定为“2不是有理数”。
2 命题“p且q”、“p或q”的否定
给定命题p、q，用联结词“且”(“或”)构成的复合命题“p且q”(“p或q”)叫做p、q的联言命题(选言命题)，记作：p∧q(p∨q)。
对“且”、“或”命题的否定符合德·摩根律。
｢(p∧q)=｢p∨｢q，｢(p∨q)=｢p∧｢q
证明见真值表1
由此可以看出，命题p∧q和p∨q的否定，既否定命题p、q，又要将联结词改变
例如：p：3>2，
q：3=2
p∧q：3>2且3=2
p∨q：3>2或3=2
｢(p∧q)：3≤2或3≠2
｢(p∨q)：3≤2且3≠2
3 量词的否定
许多命题中有“许多”(或其同义词“任意”、“任何”、“一切”等)、“存在”(或“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等)这两个词，在逻辑中，这两个词称为量词，分别以与表示，量词只有这两个。
再如“所有有理数是实数”这样的命题中，有两个基本成分：“a，a∈Q”，“a∈R”，前者中“a∈Q”指出所讨论的对象的范围是Q，后者反映对前者的判断，称为量词的作用范围(或称“辖域”)。对这样的命题否定，只需对这两个成分否定，得到“a，a∈Q”，“aR”，即“存在有理数不是实数”，注意对前者的否定不是“a，aQ”，因为否定时仍应在原有对象范围内进行，对含有“存在”的命题的否定可类似地进行。总之，记p是包含量词“存在”、“所有”的命题，则｢p可以从p中把“所有”改为“存在”，把“存在”改成“所有”，并把它们的作用范围否定而得到。
例1、写出下列命题的否定
(1)任何实数x都是方程2x-13=0的根；
(2)自然数不是无理数；
(3)存在质偶数；
(4)三角形中至少有一个角大于60°；
(5)对任意实数x，存在实数y0，使x+y0>0。
解：上述各命题的否定分别是：
(1)存在实数x0不是方程2x0-13=0的根；
(2)存在自然数是无理数；
(3)所有的质数都不是偶数；
(4)有一个三角形的三个角都不大于60°；
(5)存在实数x0，对任意实数y，有x0+y≤0。
必须注意，(2)(4)中省略了量词“所有”。
4 命题“若p则q”的否定
对于命题“若p则q”(记为pq)而言，它的否定是什么呢?我们不妨用真值表进行讨论，由表2可知，命题“若p则q”与命题“非p或q”的真值表完全一样，也就是说，这两个命题等价。
也就是说，命题“若p则q”的否定是“p且非q”，而不是“若p则非q”。比如，在日常生活中，我们经常听到父母对子女允诺：“如果你学习好，我就奖励你”。只有在一种情况下，父母没有信守承诺，即孩子学习好，但父母并没有给予奖励。在数学中，多数命题pq都含有变元。如“若x≥2，则x2≥4”等，必须注意，这类命题在表述时常常省略了量词“所有”。写出这类命题的否定时，必须先否定量词。
例2、写出下列命题的否定
(1)若x2<4，则x<2；
(2)被8整除的数能被4整除。
解：(1)原命题：x(x2<4x<2)，
否定：x(x2<4且x≥2)，
即存在大于或等于2的数x，满足x2<4。
(2)原命题：x(x能被8整除x能被4整除)
否定：x(x能被8整除x不能被4整除)
即存在一个数能被8整除但不能被4整除
5命题的否定与否命题
命题的否定与否命题是完全不同的两个概念，其一，任何命题均有否定，而否命题仅仅针对命题“若p则q”而言；其二，命题的否定是原命题的矛盾命题，真假性相反，两者必是一真一假，而互否的两个命题的真假性没有关系，两者可能同真，可能同假，也可能一真一假。
例3、写出下列命题的否定和否命题，并判断真假：
(1)若x>y，则3x>3y
(2)若x2+x<2，则x2-x<2
解：(1)原命题：x，y(x>y3x>3y)真命题
否定：x，y(x>y且3x≤3y)假命题
否命题：x，y(x≤y3x≤3y)真命题
(2)原命题：x(x2+x<2x2-x<2)假命题
否定：x(x2+x<2且x2-x≥2)真命题
否命题：x(x2+x≥2x2-x≥2)假命题
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”