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立体几何主要考查同学们的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力. 高考试题侧重于直线和平面的各种位置关系的判断证明，空间角和距离，几何体的面积与体积的考查，兼顾探究型创新题.
1. 位置关系
例1 如图，在四棱锥[P－ABCD]中，[PA]⊥底面[ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,][PA＝AB][＝BC]，[E]是[PC]的中点.
（Ⅰ）证明：[CD⊥AE]；
（Ⅱ）证明：[PD]⊥平面[ABE].
解析 （Ⅰ）在四棱锥[P－ABCD]中，因为[PA]⊥底面[ABCD]，[CD]⊂平面[ABCD]， 故[PA]⊥[CD]. ∵[AC]⊥[CD]，[PA]∩[AC]＝[A]，∴[CD]⊥平面[PAC]. ∵[AE]⊂平面[PAC]，∴[AE⊥CD].
（Ⅱ）由[PA＝AB＝BC]，[∠ABC＝60°]，可得[AC＝][PA]. ∵[E]是[PC]的中点，∴[AE⊥PC].
由（Ⅰ）知，[AE⊥CD]，且[PC∩CD＝C]，所以[AE]⊥平面[PCD]. 而[PD]⊂平面[PCD]，∴[AE⊥PD].
∵[PA]⊥底面[ABCD]，∴[PA]⊥[AB]、又[AD]⊥[AB]，[PA∩AD＝A]，∴[AB]⊥平面[PAD]，∴[AB]⊥[PD]. 又[AB∩AE＝A]，综上得[PD]⊥平面[ABE].
2. 角和距离
例2 已知正三角形[ABC]的边长为4，则到[△ABC]三顶点的距离都等于1的平面个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析 当三角形的三个顶点在平面同侧时，有两个平面；当三角形的三个顶点在平面异侧时，如[AB]在平面的一侧，[C]在平面的另一侧时，由于[C]到[AB]的距离为[23]，故可作两个平面与[AB]和点[C]的距离均为1，同理可得，另外两种情况也均有两个，所以这样的平面有2+3×2=8个. 答案D.
例3 在二面角[α-l-β]的平面[α]上，有两条互相垂直的直线[AB、CD]，其交点为[O，A、C]在[l]上，且[AB、CD]与另一个平面[β]所成的角分别为[θ]、[φ],若二面角[α-l-β]的大小为锐角[γ]，则有（ ）
A. sin2[γ]=sin2[θ]+sin2[φ]
B. sin2[γ]>sin2[θ]+sin2[φ]
C. sin2[γ] D. 以上三种情况都有可能
解析 如图所示，过[O]作[OE]⊥[β]于[E]，[OF]⊥[l]于[F]，连结[EA、EC、EF]，则[∠OAE=θ],[∠OCE=φ],[∠OFE=γ].
∴在[Rt△OAE]中，有sin2[θ=OE2OA2]，
在[Rt△OCE]中，有sin2[φ=OE2OC2]，
在[Rt△OFE]中，有sin2[γ=OE2OF2].
在[Rt△AOC]中，
又∵[1OA2+1OC2=OA2+OC2OA2⋅OC2]
[=AC2OF2⋅AC2=1OF2]，
即[OE2OA2+OE2OC2=OE2OF2].
∴sin2θ+sin2[φ]=sin2γ.
例4 已知几何体[EFG－ABCD]如图所示，其中四边形[ABCD、CDGF、ADGE]均为正方形，且边长为1，点[M]在边[DG]上.
（Ⅰ）求证：[BM⊥EF]；
（Ⅱ）是否存在点[M]，使得直线[MB]与平面[BEF]所成的角为45°，若存在，试求点[M]的位置；若不存在，请说明理由.
解析 ∵四边形[ABCD、CDGF、ADGE]均为正方形，∴[GD⊥DA，GD⊥DC]，又[DA∩DC＝D]，∴[GD]⊥平面[ABCD].
以点[D]为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系[D－xyz]，则[B](1,1,0)，[E](1,0,1)，[F](0,1,1). ∵点[M]在边[DG]上，故可设[M](0,0，[t])(0≤[t]≤1).
（Ⅰ）证明：∵[MB]＝(1,1，－[t])，[EF]＝(－1,1,0)，
∴[MB]·[EF]＝1×(－1)＋1×1＋(－[t])×0＝0，
∴[BM⊥EF].
（Ⅱ）假设存在点[M]使得直线[MB]与平面[BEF]所成的角为[45°]. 设平面[BEF]的一个法向量为[n＝(x,y,z)]，∵[BE]＝(0，－1,1)，[BF]＝(－1,0,1)，
∴[n⋅BE=0,n⋅BF=0,]∴[-y+z=0,-x+z=0,]
令[z＝1]得[x＝y＝1]，
∴[n＝(1,1,1)]，
∴cos<[n]，[MB]>＝[n⋅MB|n|⋅|MB|]＝[2-t3×2+t2].
∵直线B[M]与平面[BEF]所成的角为[45°]，
∴sin45°＝|cos<[n，MB]>|，即[|2-t3×2+t2|=22]，
解得[t＝-4±32]，又因0≤[t]≤1，
故取[t＝32－4]. 因此存在点[M](0,0,[32-4]).
[M]点位于[DG]上，且[DM]＝[32－4]时，使得直线[BM]与平面[BEF]所成的角为45°.
例5 如图，直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠ACB=90°]，[BC=AC=2]，[AA1=4]，[D]为棱[CC1]上的一动点，[M、N]分别为[△ABD]、[△A1B1D]的重心.
（Ⅰ）求证：[MN⊥BC]；
（Ⅱ）若二面角[C-AB-D]的大小为[arctan2]，求点[C1]到平面[A1B1D]的距离；
（Ⅲ）若点[C]在[△ABD]上的射影正好为[M]，试判断点[C1]在[△A1B1D]的射影是否为[N]？并说明理由.
解析 （Ⅰ）连结[DM、DN]并延长，分别交[AB、A1B1]于[P、Q]，连结[PQ].
[∵M、N]分别为[△ABD、△A1B1D]的重心，则[P、Q]分别为[AB、A1B1]的中点，[∴PQ∥BB1.]
[∵]在直三棱柱[ABC－A1B1C1]中，[BB1⊥BC，]
[∴MN⊥BC.]
（Ⅱ）连结[CP,∵AC=BC,∴CP⊥AB.]
[又∵CC1⊥面ABC，∴DP⊥AB，]
[∴∠CPD]为二面角[C-AB-D]的平面角，
[∴∠CPD=arctan2].
在[Rt△ABC]中，[AC=BC=2,∴CP=2.]
[在Rt△CDP中，CD=CP⋅tan∠CPD=2.]
[∵CC1=AA1=4,∴DC1=2.]
连结[C1Q,C1Q=CP=2,]
[∴DQ=DC12+C1Q2=6.]
同上可知，[DQ⊥A1B1,]
[∴SΔA1B1D=12AB⋅DQ=23.]
设[C1]到面[DA1B1]的距离为[h],
[∵VC1-A1B1D=VD-A1B1C1],
[∴h⋅SΔA1B1D=C1D⋅SΔA1B1C1],[∴h=233].
（Ⅲ）[∵CM⊥面ABD, ∴CM⊥DP.]
[∵CP2CD2=PMMD=12,CP=2,]
[∴CD=2,∴C1D=2,][则DQ=DP.]
[∵MN∥PQ,∴DM=DN.]
[∵CD2=DM⋅DP,∴DC12=DN⋅DQ.]
[∴△DC1Q]∽[△DNC1,∴∠C1ND=∠DC1Q=90°,]
[∴C1N⊥DQ, 又∵A1B1⊥面C1CPQ,]
[∴A1B1⊥C1N, ∴C1N⊥面A1B1D,]
[∴C1在面A1B1D的射影即为N].
3. 侧面积及体积
例6 一个空间几何体[G－ABCD]的三视图如图所示，其中[Ai、Bi、Ci、Di、Gi]([i]＝1,2,3)分别是[A、B、C、D、G]五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影. 在正(主)视图中，四边形[A1B1C1D1]为正方形，且[A1B1＝2a]；在侧(左)视图中，[A2D2⊥A2G2]；在俯视图中，[A3G3＝B3G3].
[正（主）视图][侧（左）视图][俯视图]
（Ⅰ）根据三视图作出空间几何体[G－ABCD]的直观图，并标明[A、B、C、D、G]五点的位置；
（Ⅱ）在空间几何体[G－ABCD]中，过点[B]作平面[AGC]的垂线，若垂足[H]在直线[CG]上，求证：平面[AGD]⊥平面[BGC]；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥[D－ACG]的体积及其外接球的表面积.
解析 （Ⅰ）空间几何体的直观图如图所示，由题意可知，平面[ABCD]⊥平面[ABG]，四边形[ABCD]为正方形，且[AG＝BG，AB＝2a].
（Ⅱ）证明：因为过[B]作平面[AGC]的垂线，垂足[H]在直线[CG]上，所以[BH]⊥平面[AGC]. 因为[AG]⊂平面[AGC]，所以[BH]⊥[AG]. 因为[BC]⊥[AB]，所以[BC]⊥平面[AGB]，所以[BC]⊥[AG]. 又因为[BC]∩[BH＝B]，所以[AG]⊥平面[BGC]. 又因为[AG]⊂面[AGD]，故平面[AGD]⊥平面[BGC].
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，[AG⊥GB，AG⊥CG]，所以[△ABG]为等腰直角三角形. 过点[G]作[GE⊥AB]于点[E]，则[GE]为[G]点到平面[ABCD]的距离，且[GE＝12AB＝a]，[AG＝BG＝2a]. 所以[VD－ACG＝][VG－ADC＝][13]×[12][AD]×[DC]×[GE＝23a3]. 取[AC]的中点[M]，因为[△AGC]和[△ACD]均为直角三角形，所以[MD＝MG＝MA＝MC]＝[12AC＝2a]. [M]是四棱锥[D－ACG]的外接球的球心，半径为[2a]，所以[S球＝4π×(2a)2＝8π a2].
例7 两个相同的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心)底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.
（Ⅰ）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线[DE]与[CF]所成的角；
（Ⅱ）问此正子体的体积[V]是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围.
解析 （Ⅰ）如图，设[CA]和[DB]相交于点[O]，依题意，[CA、DB、EF]两两垂直相交于[O]，分别以[CA、DB、EF]所在直线为[x、y、z]轴建立空间直角坐标系[O－xyz].
因为[AC＝1，BD＝1]，所以[D](0，[-12]，0)，[E](0,0，[12])，[C]([-12]，0,0)，[F](0,0，[-12])，[CE]＝(0，[12]，[12])，[DF]＝([12]，0，[-12])，
∴cos<[DE]，[DF]>＝[DE⋅CF|DE|⋅|CF|]
[=0×12+12×0+12×(-12)22×22=-12].
因为异面直线[DE]与[CF]所成的角为锐角，故异面直线[DE]与[CF]所成的角为[60°].
（Ⅱ）正子体的体积不是定值. 设正方形[ABCD]与正方体的截面四边形为[A′B′C′D′]，设[AA′＝x](0≤[x]≤1)，则[AB′＝1－x]，
[|AD|2＝x2＋(1－x)2＝2(x－12)2＋12]，
故[S正方形ABCD＝|AD|2∈[12，1]]，
[V＝13⋅S正方形ABCD⋅h⋅2＝13⋅S正方形ABCD⋅12⋅2]
[=13S正方形ABCD∈[16，13]].
4. 最值问题
例8 已知平面[α]∥平面[β,C、A∈α],[B、D∈β],[AB⊥CD],且[AB=2]，直线[AB]与平面[α]所成的角为[30°]，则线段[CD]长的取值范围为（ ）
A. ［1，+∞) B. (1,[233]]
C. [(233,433)] D. [[233],+∞)
解析 如图，过[D]作[DA′∥AB]交平面[α]于[A′]，由[α∥β],故[DA′=AB=2]，[DA′]与[α]成[30°]角. 由已知[DC⊥AB]. 可得[DC⊥DA′],所以[DC]在过[DC]且与[DA′]垂直的平面[γ]内. 令[γ∩α=l],在[γ]内[DC0]⊥[l]时最短，此时[DC0=DA′]·tan[30°=233],故[CD]≥[233]. 答案：D.
例9 在[60°]的二面角[α-l-β]中，动点[A∈α],动点[B∈β,AA1⊥β],垂足为[A1]，且[AA1=a],[AB=2a],那么点[B]到平面[α]的最大距离是 .
解析 过[A1]作[A1C]⊥[l],垂足为[C]，连结[AC]，则[AC⊥l],故[∠ACA1]为二面角[α-l-β]的平面角，即[∠ACA1=60°]. 显然，当[B、A1、C]三点共线时，点[B]到平面[α]的距离最大. 这时，在[△ABC]中，[AA1=a,AB=2a],[AC=233a],[BC=(33+1)a],由面积法求得[B]点到平面[α]的距离(即[AC]边上的高)为[3+12a]. 答案：[3+12a.]
例10 已知三棱锥[P-ABC]的四个顶点均在半径为3的球面上，且[PA、PB、PC]两两互相垂直，则三棱锥[P-ABC]的侧面积的最大值为 .
解析 依题意知，[PA、PB、PC]两两垂直，以[PA、PB、PC]为棱构造长方体，则该长方体的对角线即为球的直径，
所以[PA2+PB2+PC2=4R2=36,]
[S=12(PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA)]
[≤12(PA2+PB22+PB2+PC22+PC2+PA22)=18,]
[当PA=PB=PC=23时，取等号.] 答案：18.
5. 平行投影与中心投影
例11 （1）如图，在正四面体[A－BCD]中，[E、F]、[G]分别是三角形[ADC、ABD、BCD]的中心，则[△EFG]在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）
[①②③④]
A. ①③ B. ②③④
C. ③④ D. ②④
（2）如图，[E、F]分别为正方体的面[ADD1A1]、面[BCC1B1]的中心，则四边形[BFD1E]在该正方体的面上的射影可能是图 （要求：把可能的图的序号都填上）.
[①②③④]
解析 （1）正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质[E、F、G]三点在平面[ABC]内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示. 答案：C.
（2）∵面[BFD1E]⊥面[ADD1A1]，所以四边形[BFD1E]在面[ADD1A1]上的射影是③，同理，在面[BCC1B1]上的射影也是③. 过[E、F]分别作[DD1]和[CC1]的垂线，可得四边形[BFD1E]在面[DCC1D1]上的射影是②，同理在面[ABB1A1]，面[ABCD]和面[A1B1C1D1]上的射影也是②. 答案：②③.
例12 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的. 如图，正方体的一个顶点[A]在平面[α]内，其余顶点在[α]的同侧，正方体上与顶点[A]相邻的三个顶点到[α]的距离分别为1、2和4，[P]是正方体的其余四个顶点中的一个，则[P]到平面[α]的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）.
解析 如图，[B、D、A1]到平面[α]的距离分别为1、2、4，则[D、A1]的中点到平面[α]的距离为3，所以[D1]到平面[α]的距离为6；[B、A1]的中点到平面[α]的距离为[52]，所以[B1]到平面[α]的距离为5；则[D、B]的中点到平面[α]的距离为[32]，所以[C]到平面[α]的距离为3；[C]、[A1]的中点到平面[α]的距离为[72]，所以[C1]到平面[α]的距离为7；而[P]为[C、C1、B1、D1]中的一点，所以选①③④⑤.
6. 类比创新
例13 如图，在透明塑料制成的长方体[ABCD-][A1B1C1D1]容器内灌进一些水，将容器底面一边[BC]固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形[EFGH]的面积不改变；
③棱[A1D1]始终与水面[EFGH]平行；
④当[E∈AA1]时，[AE+BF]是定值.
其中正确说法是（ ）
A. ①②③ B. ①③
C. ①②③④ D. ①③④
答案 D
例14 给出如下定理：“若[Rt△ABC]的斜边[AB]上的高为[h]，则有[1h2=1CA2+1CB2]”. 在四面体[P-ABC]中，若[PA、PB、PC]两两垂直，底面[ABC]上的高为[h]，类比上述定理，得到的正确结论是 .
答案 [1h2=1PA2+1PB2+1PC2].
例15 具有公共[y]轴的两个直角坐标平面[α]和[β]所成的二面角[α-y轴－β]等于[60°]. 已知[β]内的曲线[C]的方程是[y2=2px (p>0)]，求曲线[C]在[α]内的射影的曲线方程.
解析 在[β]内，设点[M(x′,y′)]是曲线上任意一点（如图）过点[M]作[MN⊥α]，垂足为[N]，过[N]作[NH⊥y]轴，垂足为[H]，连接[MH]，则[MH⊥y]轴. 所以[∠MHN]是二面角[α-y轴－β]的平面角，依题意，[∠MHN][=60°].
在[RtΔMNH中,HN=HM⋅cos60°=12x.]
又知[HM∥x]轴（或[M]与[O]重合），
[HN∥x]轴（或[H]与[O]重合），设[N(x,y)]，
则[x=12x′,y=y′, ∴x′=2x,y′=y.]
因为点[M(x′,y′)]在曲线[y′2=2px′ (p>0)]上，所以[y2=2p(2x),]即所求射影的方程为[y2=4px(p>0).]
【专题训练七】
1. 在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[AA1=1]，点[E、F]分别在棱[A1D1、AB]上滑动，且线段[EF]的长恒等于2，则线段[EF]的中点[P]的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
2. 已知[ABCD-A1B1C1D1]是棱长为[a]的正方体，[P、Q]是[BD1]上的动点，且线段[PQ]的长为[b（b]是常数，[0 A. 常量 B. 变量有最大值
C. 变量有最小值 D. 变量有最小值也有最大值
3. 设长方体的三条棱长分别为[a、b、c]，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则[1a+1b+1c]等于（ ）
A. [112] B. [211] C. [114] D. [411]
4. 将[∠QMN=60°]，边长[MN=a]的菱形[MNPQ]沿对角线[NQ]折成[60°]的二面角，则[MP]与[NQ]间的距离等于（ ）
A. [32a] B. [34a] C. [64a] D. [34a]
5. 二面角[α-l-β]的平面角为[120°]，在[α]内，[AB⊥l]于[B，AB=2],在[β]内，[CD⊥l]于[D]，[CD=3],[BD=1],[M]是棱[l]上的一个动点，则[AM+CM]的最小值为（ ）
A. [25] B. [22] C. [26] D. [26]
6. 空间四点[A、B、C、D]中,每两点所连线段的长都等于[a], 动点[P]在线段[AB]上, 动点[Q]在线段[CD]上，则[P]与[Q]的最短距离为（ ）
A. [12a] B. [22a] C. [32a] D. [a]
7. 在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为[a]，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）
A. [(2+6)a] B. [2+62a]
C. [(1+3)a] D. [1+32a]
8. 已知长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[A1A=AB]=2，若棱[AB]上存在点[P]，使[D1P⊥PC]，则棱[AD]的长的取值范围是（ ）
A. [0,1] B. [0,2]
C. [0,2] D. [1,2]
9. 将正方形[ABCD]沿对角线[AC]折起，使点[D]在平面[ABC]外，则[DB]与平面[ABC]所成的角一定不等于（ ）
A. [30°] B. [45°] C. [60°] D. [90°]
10 . 如图，在正三角形[ABC]中，[D、E、F]分别为各边的中点，[G、H、I、J]分别为[AF、AD]、[BE、DE]的中点，将[△ABC]沿[DE、EF、DF]折成三棱锥后，[GH与IJ]所成角的度数为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 0°
11. 若取地球的半径为6371米，球面上两点[A]位于东经[121°27]，北纬[31°8]，[B]位于东经[121°27]，北纬[25°5]，则[A、B]两点的球面距离为 千米（结果精确到1千米）.
12. 在[120°]的二面角内放一个半径为6的球，使球与两个半平面各只有一个公共点，则这两个公共点之间的球面距离为 .
13. 已知圆柱的体积是[6π]，点[O]是圆柱的下底面圆心，底面半径为1，点[A]是圆柱的上底面圆周上一点，则直线[OA]与该圆柱的底面所成的角的大小是 （结果用反三角函数值表示）.
14. 圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 .
15. 如图，[△ABC]中，[∠C=90°]，[∠A=30°]，[BC=1]. 在三角形内挖去半圆（圆心[O]在边[AC]上，半圆与[BC、AB]相切于点[C、M]，与[AC]交于[N]），则图中阴影部分绕直线[AC]旋转一周所得旋转体的体积为 .
16. 如图所示，[△ADB]和[△CBD]都是等腰直角三角形. 且它们所在的平面互相垂直，[∠ADB]=[∠CBD=90°]，[AD=a].
（Ⅰ）求异面直线[AD、BC]所成的角；
（Ⅱ）设[P]是线段[AB]上的动点，问[P、B]两点间的距离多少时， [△PCD]与[△BCD]所在平面成[45°]角？
（Ⅲ）证明：[A、B、C、D]四点所在球面的面积为[S]，求[S]的值.
17. 如图，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[CC1=AC=BC=2]，[∠ACB=90°].
（Ⅰ）下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；
[左视图][主视图][俯视图]
（Ⅱ） 若[P]是[AA1]的中点，求四棱锥[B1-C1A1PC]的体积.
18. 在直角梯形[ABCD]中，[∠D=∠BAD=90°],[AD=DC=12AB=a],(如图①)将[△ADC]沿[AC]折起，使[D]到[D]. 记面[ACD]为[a],面[ABC]为[b、]面[BCD]为[g].
（Ⅰ）若二面角[a-AC-b]为直二面角（如图②），求二面角[b-BC-g]的大小;
（Ⅱ）若二面角[a-AC-b]为[60°]（如图③），求三棱锥[D-ABC]的体积.
[图① 图② 图③]
19. 如图，已知正方形[ABCD]和矩形[ACEF]所在的平面互相垂直，[AB=2]，[AF=1]，[M]是线段[EF]的中点.
（Ⅰ）求证[AM∥]平面[BDE]；
（Ⅱ）求二面角[A-DF-B]的大小；
（Ⅲ）试在线段[AC]上确定一点[P]，使得[PF]与[BC]所成的角是[60°].
20. 如图，平面[PAD]⊥平面[ABCD]，[ABCD]为正方形，[∠PAD=90°]，且[PA=AD，][E、F]分别是线段[PA、CD]的中点.
（Ⅰ）求证：[PA⊥]平面[ABCD]；
（Ⅱ）求[EF]和平面[ABCD]所成的角[α]；
（Ⅲ）求异面直线[EF]与[BD]所成的角[β].
21. 如图，正三棱柱[ABC－A1B1C1]中，底面边长为2，侧棱长为[2]，经过对角线[AB1]的平面交棱[A1C1]于点[D].
（Ⅰ）试确定[D]点的位置，使平面[AB1D∥BC1]，并证明你的结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角[A1－AB1－D]的大小.
1. 位置关系
例1 如图，在四棱锥[P－ABCD]中，[PA]⊥底面[ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,][PA＝AB][＝BC]，[E]是[PC]的中点.
（Ⅰ）证明：[CD⊥AE]；
（Ⅱ）证明：[PD]⊥平面[ABE].
解析 （Ⅰ）在四棱锥[P－ABCD]中，因为[PA]⊥底面[ABCD]，[CD]⊂平面[ABCD]， 故[PA]⊥[CD]. ∵[AC]⊥[CD]，[PA]∩[AC]＝[A]，∴[CD]⊥平面[PAC]. ∵[AE]⊂平面[PAC]，∴[AE⊥CD].
（Ⅱ）由[PA＝AB＝BC]，[∠ABC＝60°]，可得[AC＝][PA]. ∵[E]是[PC]的中点，∴[AE⊥PC].
由（Ⅰ）知，[AE⊥CD]，且[PC∩CD＝C]，所以[AE]⊥平面[PCD]. 而[PD]⊂平面[PCD]，∴[AE⊥PD].
∵[PA]⊥底面[ABCD]，∴[PA]⊥[AB]、又[AD]⊥[AB]，[PA∩AD＝A]，∴[AB]⊥平面[PAD]，∴[AB]⊥[PD]. 又[AB∩AE＝A]，综上得[PD]⊥平面[ABE].
2. 角和距离
例2 已知正三角形[ABC]的边长为4，则到[△ABC]三顶点的距离都等于1的平面个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析 当三角形的三个顶点在平面同侧时，有两个平面；当三角形的三个顶点在平面异侧时，如[AB]在平面的一侧，[C]在平面的另一侧时，由于[C]到[AB]的距离为[23]，故可作两个平面与[AB]和点[C]的距离均为1，同理可得，另外两种情况也均有两个，所以这样的平面有2+3×2=8个. 答案D.
例3 在二面角[α-l-β]的平面[α]上，有两条互相垂直的直线[AB、CD]，其交点为[O，A、C]在[l]上，且[AB、CD]与另一个平面[β]所成的角分别为[θ]、[φ],若二面角[α-l-β]的大小为锐角[γ]，则有（ ）
A. sin2[γ]=sin2[θ]+sin2[φ]
B. sin2[γ]>sin2[θ]+sin2[φ]
C. sin2[γ]
解析 如图所示，过[O]作[OE]⊥[β]于[E]，[OF]⊥[l]于[F]，连结[EA、EC、EF]，则[∠OAE=θ],[∠OCE=φ],[∠OFE=γ].
∴在[Rt△OAE]中，有sin2[θ=OE2OA2]，
在[Rt△OCE]中，有sin2[φ=OE2OC2]，
在[Rt△OFE]中，有sin2[γ=OE2OF2].
在[Rt△AOC]中，
又∵[1OA2+1OC2=OA2+OC2OA2⋅OC2]
[=AC2OF2⋅AC2=1OF2]，
即[OE2OA2+OE2OC2=OE2OF2].
∴sin2θ+sin2[φ]=sin2γ.
例4 已知几何体[EFG－ABCD]如图所示，其中四边形[ABCD、CDGF、ADGE]均为正方形，且边长为1，点[M]在边[DG]上.
（Ⅰ）求证：[BM⊥EF]；
（Ⅱ）是否存在点[M]，使得直线[MB]与平面[BEF]所成的角为45°，若存在，试求点[M]的位置；若不存在，请说明理由.
解析 ∵四边形[ABCD、CDGF、ADGE]均为正方形，∴[GD⊥DA，GD⊥DC]，又[DA∩DC＝D]，∴[GD]⊥平面[ABCD].
以点[D]为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系[D－xyz]，则[B](1,1,0)，[E](1,0,1)，[F](0,1,1). ∵点[M]在边[DG]上，故可设[M](0,0，[t])(0≤[t]≤1).
（Ⅰ）证明：∵[MB]＝(1,1，－[t])，[EF]＝(－1,1,0)，
∴[MB]·[EF]＝1×(－1)＋1×1＋(－[t])×0＝0，
∴[BM⊥EF].
（Ⅱ）假设存在点[M]使得直线[MB]与平面[BEF]所成的角为[45°]. 设平面[BEF]的一个法向量为[n＝(x,y,z)]，∵[BE]＝(0，－1,1)，[BF]＝(－1,0,1)，
∴[n⋅BE=0,n⋅BF=0,]∴[-y+z=0,-x+z=0,]
令[z＝1]得[x＝y＝1]，
∴[n＝(1,1,1)]，
∴cos<[n]，[MB]>＝[n⋅MB|n|⋅|MB|]＝[2-t3×2+t2].
∵直线B[M]与平面[BEF]所成的角为[45°]，
∴sin45°＝|cos<[n，MB]>|，即[|2-t3×2+t2|=22]，
解得[t＝-4±32]，又因0≤[t]≤1，
故取[t＝32－4]. 因此存在点[M](0,0,[32-4]).
[M]点位于[DG]上，且[DM]＝[32－4]时，使得直线[BM]与平面[BEF]所成的角为45°.
例5 如图，直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠ACB=90°]，[BC=AC=2]，[AA1=4]，[D]为棱[CC1]上的一动点，[M、N]分别为[△ABD]、[△A1B1D]的重心.
（Ⅰ）求证：[MN⊥BC]；
（Ⅱ）若二面角[C-AB-D]的大小为[arctan2]，求点[C1]到平面[A1B1D]的距离；
（Ⅲ）若点[C]在[△ABD]上的射影正好为[M]，试判断点[C1]在[△A1B1D]的射影是否为[N]？并说明理由.
解析 （Ⅰ）连结[DM、DN]并延长，分别交[AB、A1B1]于[P、Q]，连结[PQ].
[∵M、N]分别为[△ABD、△A1B1D]的重心，则[P、Q]分别为[AB、A1B1]的中点，[∴PQ∥BB1.]
[∵]在直三棱柱[ABC－A1B1C1]中，[BB1⊥BC，]
[∴MN⊥BC.]
（Ⅱ）连结[CP,∵AC=BC,∴CP⊥AB.]
[又∵CC1⊥面ABC，∴DP⊥AB，]
[∴∠CPD]为二面角[C-AB-D]的平面角，
[∴∠CPD=arctan2].
在[Rt△ABC]中，[AC=BC=2,∴CP=2.]
[在Rt△CDP中，CD=CP⋅tan∠CPD=2.]
[∵CC1=AA1=4,∴DC1=2.]
连结[C1Q,C1Q=CP=2,]
[∴DQ=DC12+C1Q2=6.]
同上可知，[DQ⊥A1B1,]
[∴SΔA1B1D=12AB⋅DQ=23.]
设[C1]到面[DA1B1]的距离为[h],
[∵VC1-A1B1D=VD-A1B1C1],
[∴h⋅SΔA1B1D=C1D⋅SΔA1B1C1],[∴h=233].
（Ⅲ）[∵CM⊥面ABD, ∴CM⊥DP.]
[∵CP2CD2=PMMD=12,CP=2,]
[∴CD=2,∴C1D=2,][则DQ=DP.]
[∵MN∥PQ,∴DM=DN.]
[∵CD2=DM⋅DP,∴DC12=DN⋅DQ.]
[∴△DC1Q]∽[△DNC1,∴∠C1ND=∠DC1Q=90°,]
[∴C1N⊥DQ, 又∵A1B1⊥面C1CPQ,]
[∴A1B1⊥C1N, ∴C1N⊥面A1B1D,]
[∴C1在面A1B1D的射影即为N].
3. 侧面积及体积
例6 一个空间几何体[G－ABCD]的三视图如图所示，其中[Ai、Bi、Ci、Di、Gi]([i]＝1,2,3)分别是[A、B、C、D、G]五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影. 在正(主)视图中，四边形[A1B1C1D1]为正方形，且[A1B1＝2a]；在侧(左)视图中，[A2D2⊥A2G2]；在俯视图中，[A3G3＝B3G3].
[正（主）视图][侧（左）视图][俯视图]
（Ⅰ）根据三视图作出空间几何体[G－ABCD]的直观图，并标明[A、B、C、D、G]五点的位置；
（Ⅱ）在空间几何体[G－ABCD]中，过点[B]作平面[AGC]的垂线，若垂足[H]在直线[CG]上，求证：平面[AGD]⊥平面[BGC]；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥[D－ACG]的体积及其外接球的表面积.
解析 （Ⅰ）空间几何体的直观图如图所示，由题意可知，平面[ABCD]⊥平面[ABG]，四边形[ABCD]为正方形，且[AG＝BG，AB＝2a].
（Ⅱ）证明：因为过[B]作平面[AGC]的垂线，垂足[H]在直线[CG]上，所以[BH]⊥平面[AGC]. 因为[AG]⊂平面[AGC]，所以[BH]⊥[AG]. 因为[BC]⊥[AB]，所以[BC]⊥平面[AGB]，所以[BC]⊥[AG]. 又因为[BC]∩[BH＝B]，所以[AG]⊥平面[BGC]. 又因为[AG]⊂面[AGD]，故平面[AGD]⊥平面[BGC].
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，[AG⊥GB，AG⊥CG]，所以[△ABG]为等腰直角三角形. 过点[G]作[GE⊥AB]于点[E]，则[GE]为[G]点到平面[ABCD]的距离，且[GE＝12AB＝a]，[AG＝BG＝2a]. 所以[VD－ACG＝][VG－ADC＝][13]×[12][AD]×[DC]×[GE＝23a3]. 取[AC]的中点[M]，因为[△AGC]和[△ACD]均为直角三角形，所以[MD＝MG＝MA＝MC]＝[12AC＝2a]. [M]是四棱锥[D－ACG]的外接球的球心，半径为[2a]，所以[S球＝4π×(2a)2＝8π a2].
例7 两个相同的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心)底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.
（Ⅰ）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线[DE]与[CF]所成的角；
（Ⅱ）问此正子体的体积[V]是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围.
解析 （Ⅰ）如图，设[CA]和[DB]相交于点[O]，依题意，[CA、DB、EF]两两垂直相交于[O]，分别以[CA、DB、EF]所在直线为[x、y、z]轴建立空间直角坐标系[O－xyz].
因为[AC＝1，BD＝1]，所以[D](0，[-12]，0)，[E](0,0，[12])，[C]([-12]，0,0)，[F](0,0，[-12])，[CE]＝(0，[12]，[12])，[DF]＝([12]，0，[-12])，
∴cos<[DE]，[DF]>＝[DE⋅CF|DE|⋅|CF|]
[=0×12+12×0+12×(-12)22×22=-12].
因为异面直线[DE]与[CF]所成的角为锐角，故异面直线[DE]与[CF]所成的角为[60°].
（Ⅱ）正子体的体积不是定值. 设正方形[ABCD]与正方体的截面四边形为[A′B′C′D′]，设[AA′＝x](0≤[x]≤1)，则[AB′＝1－x]，
[|AD|2＝x2＋(1－x)2＝2(x－12)2＋12]，
故[S正方形ABCD＝|AD|2∈[12，1]]，
[V＝13⋅S正方形ABCD⋅h⋅2＝13⋅S正方形ABCD⋅12⋅2]
[=13S正方形ABCD∈[16，13]].
4. 最值问题
例8 已知平面[α]∥平面[β,C、A∈α],[B、D∈β],[AB⊥CD],且[AB=2]，直线[AB]与平面[α]所成的角为[30°]，则线段[CD]长的取值范围为（ ）
A. ［1，+∞) B. (1,[233]]
C. [(233,433)] D. [[233],+∞)
解析 如图，过[D]作[DA′∥AB]交平面[α]于[A′]，由[α∥β],故[DA′=AB=2]，[DA′]与[α]成[30°]角. 由已知[DC⊥AB]. 可得[DC⊥DA′],所以[DC]在过[DC]且与[DA′]垂直的平面[γ]内. 令[γ∩α=l],在[γ]内[DC0]⊥[l]时最短，此时[DC0=DA′]·tan[30°=233],故[CD]≥[233]. 答案：D.
例9 在[60°]的二面角[α-l-β]中，动点[A∈α],动点[B∈β,AA1⊥β],垂足为[A1]，且[AA1=a],[AB=2a],那么点[B]到平面[α]的最大距离是 .
解析 过[A1]作[A1C]⊥[l],垂足为[C]，连结[AC]，则[AC⊥l],故[∠ACA1]为二面角[α-l-β]的平面角，即[∠ACA1=60°]. 显然，当[B、A1、C]三点共线时，点[B]到平面[α]的距离最大. 这时，在[△ABC]中，[AA1=a,AB=2a],[AC=233a],[BC=(33+1)a],由面积法求得[B]点到平面[α]的距离(即[AC]边上的高)为[3+12a]. 答案：[3+12a.]
例10 已知三棱锥[P-ABC]的四个顶点均在半径为3的球面上，且[PA、PB、PC]两两互相垂直，则三棱锥[P-ABC]的侧面积的最大值为 .
解析 依题意知，[PA、PB、PC]两两垂直，以[PA、PB、PC]为棱构造长方体，则该长方体的对角线即为球的直径，
所以[PA2+PB2+PC2=4R2=36,]
[S=12(PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA)]
[≤12(PA2+PB22+PB2+PC22+PC2+PA22)=18,]
[当PA=PB=PC=23时，取等号.] 答案：18.
5. 平行投影与中心投影
例11 （1）如图，在正四面体[A－BCD]中，[E、F]、[G]分别是三角形[ADC、ABD、BCD]的中心，则[△EFG]在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）
[①②③④]
A. ①③ B. ②③④
C. ③④ D. ②④
（2）如图，[E、F]分别为正方体的面[ADD1A1]、面[BCC1B1]的中心，则四边形[BFD1E]在该正方体的面上的射影可能是图 （要求：把可能的图的序号都填上）.
[①②③④]
解析 （1）正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质[E、F、G]三点在平面[ABC]内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示. 答案：C.
（2）∵面[BFD1E]⊥面[ADD1A1]，所以四边形[BFD1E]在面[ADD1A1]上的射影是③，同理，在面[BCC1B1]上的射影也是③. 过[E、F]分别作[DD1]和[CC1]的垂线，可得四边形[BFD1E]在面[DCC1D1]上的射影是②，同理在面[ABB1A1]，面[ABCD]和面[A1B1C1D1]上的射影也是②. 答案：②③.
例12 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的. 如图，正方体的一个顶点[A]在平面[α]内，其余顶点在[α]的同侧，正方体上与顶点[A]相邻的三个顶点到[α]的距离分别为1、2和4，[P]是正方体的其余四个顶点中的一个，则[P]到平面[α]的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）.
解析 如图，[B、D、A1]到平面[α]的距离分别为1、2、4，则[D、A1]的中点到平面[α]的距离为3，所以[D1]到平面[α]的距离为6；[B、A1]的中点到平面[α]的距离为[52]，所以[B1]到平面[α]的距离为5；则[D、B]的中点到平面[α]的距离为[32]，所以[C]到平面[α]的距离为3；[C]、[A1]的中点到平面[α]的距离为[72]，所以[C1]到平面[α]的距离为7；而[P]为[C、C1、B1、D1]中的一点，所以选①③④⑤.
6. 类比创新
例13 如图，在透明塑料制成的长方体[ABCD-][A1B1C1D1]容器内灌进一些水，将容器底面一边[BC]固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形[EFGH]的面积不改变；
③棱[A1D1]始终与水面[EFGH]平行；
④当[E∈AA1]时，[AE+BF]是定值.
其中正确说法是（ ）
A. ①②③ B. ①③
C. ①②③④ D. ①③④
答案 D
例14 给出如下定理：“若[Rt△ABC]的斜边[AB]上的高为[h]，则有[1h2=1CA2+1CB2]”. 在四面体[P-ABC]中，若[PA、PB、PC]两两垂直，底面[ABC]上的高为[h]，类比上述定理，得到的正确结论是 .
答案 [1h2=1PA2+1PB2+1PC2].
例15 具有公共[y]轴的两个直角坐标平面[α]和[β]所成的二面角[α-y轴－β]等于[60°]. 已知[β]内的曲线[C]的方程是[y2=2px (p>0)]，求曲线[C]在[α]内的射影的曲线方程.
解析 在[β]内，设点[M(x′,y′)]是曲线上任意一点（如图）过点[M]作[MN⊥α]，垂足为[N]，过[N]作[NH⊥y]轴，垂足为[H]，连接[MH]，则[MH⊥y]轴. 所以[∠MHN]是二面角[α-y轴－β]的平面角，依题意，[∠MHN][=60°].
在[RtΔMNH中,HN=HM⋅cos60°=12x.]
又知[HM∥x]轴（或[M]与[O]重合），
[HN∥x]轴（或[H]与[O]重合），设[N(x,y)]，
则[x=12x′,y=y′, ∴x′=2x,y′=y.]
因为点[M(x′,y′)]在曲线[y′2=2px′ (p>0)]上，所以[y2=2p(2x),]即所求射影的方程为[y2=4px(p>0).]
【专题训练七】
1. 在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[AA1=1]，点[E、F]分别在棱[A1D1、AB]上滑动，且线段[EF]的长恒等于2，则线段[EF]的中点[P]的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
2. 已知[ABCD-A1B1C1D1]是棱长为[a]的正方体，[P、Q]是[BD1]上的动点，且线段[PQ]的长为[b（b]是常数，[0
C. 变量有最小值 D. 变量有最小值也有最大值
3. 设长方体的三条棱长分别为[a、b、c]，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则[1a+1b+1c]等于（ ）
A. [112] B. [211] C. [114] D. [411]
4. 将[∠QMN=60°]，边长[MN=a]的菱形[MNPQ]沿对角线[NQ]折成[60°]的二面角，则[MP]与[NQ]间的距离等于（ ）
A. [32a] B. [34a] C. [64a] D. [34a]
5. 二面角[α-l-β]的平面角为[120°]，在[α]内，[AB⊥l]于[B，AB=2],在[β]内，[CD⊥l]于[D]，[CD=3],[BD=1],[M]是棱[l]上的一个动点，则[AM+CM]的最小值为（ ）
A. [25] B. [22] C. [26] D. [26]
6. 空间四点[A、B、C、D]中,每两点所连线段的长都等于[a], 动点[P]在线段[AB]上, 动点[Q]在线段[CD]上，则[P]与[Q]的最短距离为（ ）
A. [12a] B. [22a] C. [32a] D. [a]
7. 在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为[a]，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ）
A. [(2+6)a] B. [2+62a]
C. [(1+3)a] D. [1+32a]
8. 已知长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[A1A=AB]=2，若棱[AB]上存在点[P]，使[D1P⊥PC]，则棱[AD]的长的取值范围是（ ）
A. [0,1] B. [0,2]
C. [0,2] D. [1,2]
9. 将正方形[ABCD]沿对角线[AC]折起，使点[D]在平面[ABC]外，则[DB]与平面[ABC]所成的角一定不等于（ ）
A. [30°] B. [45°] C. [60°] D. [90°]
10 . 如图，在正三角形[ABC]中，[D、E、F]分别为各边的中点，[G、H、I、J]分别为[AF、AD]、[BE、DE]的中点，将[△ABC]沿[DE、EF、DF]折成三棱锥后，[GH与IJ]所成角的度数为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 0°
11. 若取地球的半径为6371米，球面上两点[A]位于东经[121°27]，北纬[31°8]，[B]位于东经[121°27]，北纬[25°5]，则[A、B]两点的球面距离为 千米（结果精确到1千米）.
12. 在[120°]的二面角内放一个半径为6的球，使球与两个半平面各只有一个公共点，则这两个公共点之间的球面距离为 .
13. 已知圆柱的体积是[6π]，点[O]是圆柱的下底面圆心，底面半径为1，点[A]是圆柱的上底面圆周上一点，则直线[OA]与该圆柱的底面所成的角的大小是 （结果用反三角函数值表示）.
14. 圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 .
15. 如图，[△ABC]中，[∠C=90°]，[∠A=30°]，[BC=1]. 在三角形内挖去半圆（圆心[O]在边[AC]上，半圆与[BC、AB]相切于点[C、M]，与[AC]交于[N]），则图中阴影部分绕直线[AC]旋转一周所得旋转体的体积为 .
16. 如图所示，[△ADB]和[△CBD]都是等腰直角三角形. 且它们所在的平面互相垂直，[∠ADB]=[∠CBD=90°]，[AD=a].
（Ⅰ）求异面直线[AD、BC]所成的角；
（Ⅱ）设[P]是线段[AB]上的动点，问[P、B]两点间的距离多少时， [△PCD]与[△BCD]所在平面成[45°]角？
（Ⅲ）证明：[A、B、C、D]四点所在球面的面积为[S]，求[S]的值.
17. 如图，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[CC1=AC=BC=2]，[∠ACB=90°].
（Ⅰ）下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；
[左视图][主视图][俯视图]
（Ⅱ） 若[P]是[AA1]的中点，求四棱锥[B1-C1A1PC]的体积.
18. 在直角梯形[ABCD]中，[∠D=∠BAD=90°],[AD=DC=12AB=a],(如图①)将[△ADC]沿[AC]折起，使[D]到[D]. 记面[ACD]为[a],面[ABC]为[b、]面[BCD]为[g].
（Ⅰ）若二面角[a-AC-b]为直二面角（如图②），求二面角[b-BC-g]的大小;
（Ⅱ）若二面角[a-AC-b]为[60°]（如图③），求三棱锥[D-ABC]的体积.
[图① 图② 图③]
19. 如图，已知正方形[ABCD]和矩形[ACEF]所在的平面互相垂直，[AB=2]，[AF=1]，[M]是线段[EF]的中点.
（Ⅰ）求证[AM∥]平面[BDE]；
（Ⅱ）求二面角[A-DF-B]的大小；
（Ⅲ）试在线段[AC]上确定一点[P]，使得[PF]与[BC]所成的角是[60°].
20. 如图，平面[PAD]⊥平面[ABCD]，[ABCD]为正方形，[∠PAD=90°]，且[PA=AD，][E、F]分别是线段[PA、CD]的中点.
（Ⅰ）求证：[PA⊥]平面[ABCD]；
（Ⅱ）求[EF]和平面[ABCD]所成的角[α]；
（Ⅲ）求异面直线[EF]与[BD]所成的角[β].
21. 如图，正三棱柱[ABC－A1B1C1]中，底面边长为2，侧棱长为[2]，经过对角线[AB1]的平面交棱[A1C1]于点[D].
（Ⅰ）试确定[D]点的位置，使平面[AB1D∥BC1]，并证明你的结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角[A1－AB1－D]的大小.