论文部分内容阅读
摘 要：教师教书不仅要停留在“教知识”上，而且应该教会学生会学，成为一名“思考者”. 教师应该教给学生掌握学习的方法，掌握科学研究的方法，学会自己独立地获取知识，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至问题最终的构建和解决.
关键词：思考；解题；理解；培养
伟大的科学家爱因斯坦曾经说过：想象力比知识更重要. 过去教师的定位是“传道授业解惑”，社会的不断进步，对教师提出了更高的要求，教学理解为“教师如何教，学生如何学”. 教师不是仅仅停留在“教知识”上，而是教学生学会学习——会学，成为一名“思考者”，掌握学习的方法，掌握科学研究的方法，学会自己独立地获取知识，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至最终构建和解决问题. 那么，如何将学生培养成为一名“思考者”呢？
[?] 教学的首要任务——教“怎样思考”
平时教学中经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了.” 这是什么原因呢？就是教师没有把“让他自己会做”的方法教给他. 那么怎样把“让他自己会做”的方法教给他呢？
首先是解决“你是怎么想到的”然后解决“怎样让他也想到”，好的教师“想给学生听”，“想给学生看”，差的教师“做给学生看”，“让好学生做给差学生看”.
然后教大多数学生能想到的方法——“教育效法自然”（卢梭）. 教本原的方法，有“技巧”的也要教“技巧”，是怎么想出来的？比如求 1+2+3+……+100，要想高斯怎么会想到“首尾相加”的，而不是仅学习“首尾相加”这一操作.
最后教“怎样思考”，“怎样才能想到”，这是数学教学的核心任务. 比如，若3a=0.618，a∈[k， k+1]，k∈Z，则k=________.
思考如下：
（1）是什么问题？求什么？ 求值问题，求k，区间左端点.
（2）3a=0.618是什么？ 幂；当a等于多少时，3a=0.618.
（3）[k，k+1]是什么？ k∈Z→相邻整数区间.
（4）a∈[k，k+1]是什么？ k≤a≤k+1，它能推出什么？
[?] 解题教学——教学生“学解题”
学生的主要任务并不是解题，而是“学”解题. 教师教的重点和学生学的重点， 不在于“解”而在于“学解”. “解”作为出发点去关注解题的结果，“学解”作为出发点去关注思路的寻找，学解题的核心是学思路的寻找. 如何教学生学思路的寻找？我们要坚持“以理解题意为核心”的原理进行解题教学.
比如2012年江苏高考第14题：已知正数a，b，c，且 5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，那么的取值范围是________.
（1）着手解题：它是什么问题？ 是由不等关系，求取值范围的问题.
求什么？ 求的取值范围.
（2）理解题意：“它”是什么（意思）？ 大于什么？小于什么？
“它”怎么表示？ 求：_____≤≤_____.
是什么？还能怎么表示？还能写出其他的表达式吗？只能到条件中去找！已知a，b，c是正数，（这极大便利不等式运算），5c-3a≤b≤4c-a，还能怎么表示？
5c-3a≤b，①
b≤4c-a，②
5c-3a≤4c-a. ③
由①②可得，2a≥c④，将④代入②，得b≤8a-a，b≤7a，则≤7.
再求大于等于多少. 要求大于等于多少，还能怎么表示？由clnb≥a+clnc能推出什么？
推得a≤clnb-clnc=cln
，得a≤cln
，ln
≥>0，用它能表示 吗？缺少什么？——b. 将不等式两边同除以，得≤，颠倒分子分母，可得≥，
⑤还能怎样表示？令=x，由⑤得≥（lnx>0）.
要求的极值，怎么求？——用函数求导.
令y=，y′=
′=，令=0，解得x=e.
当xe时，lnx>1， y′=>0，此时单调递增，所以当x=e时，lnx=1，y取最小值，即y=≥e，得≥y≥e，所以∈[e，7].
[?] “从无到有”地寻找思路
遇到一个陌生的问题，怎么去想呢？如何着手解题呢？如何“从无到有”地寻找思路，由“所有”去探索“所无”？“理解题意”是解题学习第一环节，解题第一位是理解题意，但它却往往被学习者所忽视. 善于解题的人用一半时间理解问题，只用另一半时间完成解答. 学生不能很好解题的最重要原因，一是没有重视理解题意的意识，二是没有养成理解题意的良好习惯，三是没有掌握如何理解题意的方法. 所以教师要教学生学从着手解题的启发性提示语、理解题意的启发性提示语去寻找思路.
比如2011年江苏高考第13题：设1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.
寻找思路：（1）它是一个什么问题？求什么？ 数列问题，奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，求q的最小值.
（2）1≤a1≤a2≤…≤a7，它表示什么？ 数列，是a1=1的递增不减数列.
（3）a1，a3，a5，a7成等比数列，公比q它还能怎么表示？ a3=a1q=q，a5=q2，a7=q3.
（4）a2，a4，a6成等差数列，公差为1它还能怎么表示？ a2，a4=a2+1，a6=a2+2.
（5）1≤a1≤a2≤…≤a7，它还能怎么表示？具体化.
1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3…① 还缺少什么？ 缺少a2和q，
a2有什么性质？ 1=a1≤a2≤a3，
q有什么性质？ 1≤a2≤q，要q最小，必须a2要最小，则a2=1.
代入①，有q≥1，因为q≠1，所以q>1，有q2≥2，得q≥；有q3≥3，得q≥. 因为<，所以q≥.
[?] 着手解题的启发性提示语
（1）它是一个什么问题？它要求（或求证）的是什么？——什么范畴的问题？——“盯着目标”——求（或求证）什么？
（2）现有哪些材料？——题设中的条件.
（3）有哪些工具？——已经学过的相关概念、命题、公式和方法.
（4）还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？
（5）如何运用这些条件和工具？
（6）是否还有条件没有利用？如何利用？
这些思考不是文字简单浏览和思想上的一掠而过，而是深究每一个对象的意义、性质，不同对象的关系，特别是能否转换为其他的意义、关系. 这些思考并不是孤立进行的，是贯穿在上述所有问题思考之中. 这是用于着手解题的最基本的思考方法.
[?] 理解题意的启发性提示语
如何深究？——对题意深究，如何转换？——将形式转换.
（1）它是什么？如何表示？还能如何表示？（转换）
（2）它有什么性质？如何表示？还能如何表示？
（3）它们有什么关系？如何表示？ 还能如何表示？
（4）由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？
（5）中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？
（6）它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？
这里的“它”，是每一个句子、名词、概念、关系、表达式、符号、符号的上标下标、图形中的点线面等等. 教学生寻找解题思路，教师就要提供有效的指导思维操作的策略、解题的启发性提示语等.
比如，已知函数f（x）=+（a>0）是偶函数，求a的值.
教师要教学生问：（1）它是一个什么问题？——函数问题；（2）求什么？——求a. （3）已有什么材料？条件是什么？（4）理解题意——逐一搞清楚：“它”是什么？怎么表示？还能是什么？——含自然对数、分式的比较复杂函数，x∈R. “偶函数”是什么？——f（-x）=f（x）. f（-x）是什么？还能怎么表示？
即f（-x）=+ [f（-x）=f（x）][ ]+=+
a-
（ex-e-x）=0 a-=0 a=±1 [a>0][ ]a=1.
[?] 培养学生良好的读题习惯
（1）要求学生解题时先反复读题.
（2）要求学生用自己的语言反复叙述问题.
（3）要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题.
（4）要求用不同的表达方式反复叙述问题.
（5）要求解释题中各个名词的意义（用概念思考），包括每个符号的含义（用符号表示），每句话的含义（换一种说法或表述）.
（6）要求尽可能画一张图.
（7）要求尽可能对每个名词，、每个符号、每句话换一种表示.
（8）要求把看不懂的符号或表达式具体化. （抽象符号具体化）
（9）要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的表达形式.
（10）要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想.
[?] 培养学生寻找解题思路
（1）数学解题的启发性提示语要在“用”上下工夫.
（2）数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展，看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大. 关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了，解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了. 必须在运用提示语的过程中学习提示语，在“用”中学，只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力.
（3）对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平. 教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用. 教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到. 教师首先自己一定要坚持用，用给学生看，学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然.
[?] 理解题意是一种重要的探索活动
“理解题意的启发性提示语”是一种元认知提示语，是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考. 启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现，而不是代替学生去探索和发现. 所以，用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动. 波利亚说“问题的求解比起问题的明确表达来，就常常不需要那么多的见识和独创了.” 可见，理解题意、明确表达问题是需要较多见识和独创的. 这说明理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的.所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养过程. 教学生“理解题意的启发性提示语”，就是教学生如何去探索，就是教学生学会思考.
爱因斯坦曾说：“学习知识要勤于思考. 思考，再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的.” 这句话正说明了思考的重要性.所以我们教师应该帮助学生掌握思考的技能，使他们走出单纯的知识记忆而善于联想、敢于判断、勇于创造，从而学会学习，成为一名“思考者”.
关键词：思考；解题；理解；培养
伟大的科学家爱因斯坦曾经说过：想象力比知识更重要. 过去教师的定位是“传道授业解惑”，社会的不断进步，对教师提出了更高的要求，教学理解为“教师如何教，学生如何学”. 教师不是仅仅停留在“教知识”上，而是教学生学会学习——会学，成为一名“思考者”，掌握学习的方法，掌握科学研究的方法，学会自己独立地获取知识，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至最终构建和解决问题. 那么，如何将学生培养成为一名“思考者”呢？
[?] 教学的首要任务——教“怎样思考”
平时教学中经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了.” 这是什么原因呢？就是教师没有把“让他自己会做”的方法教给他. 那么怎样把“让他自己会做”的方法教给他呢？
首先是解决“你是怎么想到的”然后解决“怎样让他也想到”，好的教师“想给学生听”，“想给学生看”，差的教师“做给学生看”，“让好学生做给差学生看”.
然后教大多数学生能想到的方法——“教育效法自然”（卢梭）. 教本原的方法，有“技巧”的也要教“技巧”，是怎么想出来的？比如求 1+2+3+……+100，要想高斯怎么会想到“首尾相加”的，而不是仅学习“首尾相加”这一操作.
最后教“怎样思考”，“怎样才能想到”，这是数学教学的核心任务. 比如，若3a=0.618，a∈[k， k+1]，k∈Z，则k=________.
思考如下：
（1）是什么问题？求什么？ 求值问题，求k，区间左端点.
（2）3a=0.618是什么？ 幂；当a等于多少时，3a=0.618.
（3）[k，k+1]是什么？ k∈Z→相邻整数区间.
（4）a∈[k，k+1]是什么？ k≤a≤k+1，它能推出什么？
[?] 解题教学——教学生“学解题”
学生的主要任务并不是解题，而是“学”解题. 教师教的重点和学生学的重点， 不在于“解”而在于“学解”. “解”作为出发点去关注解题的结果，“学解”作为出发点去关注思路的寻找，学解题的核心是学思路的寻找. 如何教学生学思路的寻找？我们要坚持“以理解题意为核心”的原理进行解题教学.
比如2012年江苏高考第14题：已知正数a，b，c，且 5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，那么的取值范围是________.
（1）着手解题：它是什么问题？ 是由不等关系，求取值范围的问题.
求什么？ 求的取值范围.
（2）理解题意：“它”是什么（意思）？ 大于什么？小于什么？
“它”怎么表示？ 求：_____≤≤_____.
是什么？还能怎么表示？还能写出其他的表达式吗？只能到条件中去找！已知a，b，c是正数，（这极大便利不等式运算），5c-3a≤b≤4c-a，还能怎么表示？
5c-3a≤b，①
b≤4c-a，②
5c-3a≤4c-a. ③
由①②可得，2a≥c④，将④代入②，得b≤8a-a，b≤7a，则≤7.
再求大于等于多少. 要求大于等于多少，还能怎么表示？由clnb≥a+clnc能推出什么？
推得a≤clnb-clnc=cln
，得a≤cln
，ln
≥>0，用它能表示 吗？缺少什么？——b. 将不等式两边同除以，得≤，颠倒分子分母，可得≥，
⑤还能怎样表示？令=x，由⑤得≥（lnx>0）.
要求的极值，怎么求？——用函数求导.
令y=，y′=
′=，令=0，解得x=e.
当x
[?] “从无到有”地寻找思路
遇到一个陌生的问题，怎么去想呢？如何着手解题呢？如何“从无到有”地寻找思路，由“所有”去探索“所无”？“理解题意”是解题学习第一环节，解题第一位是理解题意，但它却往往被学习者所忽视. 善于解题的人用一半时间理解问题，只用另一半时间完成解答. 学生不能很好解题的最重要原因，一是没有重视理解题意的意识，二是没有养成理解题意的良好习惯，三是没有掌握如何理解题意的方法. 所以教师要教学生学从着手解题的启发性提示语、理解题意的启发性提示语去寻找思路.
比如2011年江苏高考第13题：设1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.
寻找思路：（1）它是一个什么问题？求什么？ 数列问题，奇数项成等比数列，偶数项成等差数列，求q的最小值.
（2）1≤a1≤a2≤…≤a7，它表示什么？ 数列，是a1=1的递增不减数列.
（3）a1，a3，a5，a7成等比数列，公比q它还能怎么表示？ a3=a1q=q，a5=q2，a7=q3.
（4）a2，a4，a6成等差数列，公差为1它还能怎么表示？ a2，a4=a2+1，a6=a2+2.
（5）1≤a1≤a2≤…≤a7，它还能怎么表示？具体化.
1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3…① 还缺少什么？ 缺少a2和q，
a2有什么性质？ 1=a1≤a2≤a3，
q有什么性质？ 1≤a2≤q，要q最小，必须a2要最小，则a2=1.
代入①，有q≥1，因为q≠1，所以q>1，有q2≥2，得q≥；有q3≥3，得q≥. 因为<，所以q≥.
[?] 着手解题的启发性提示语
（1）它是一个什么问题？它要求（或求证）的是什么？——什么范畴的问题？——“盯着目标”——求（或求证）什么？
（2）现有哪些材料？——题设中的条件.
（3）有哪些工具？——已经学过的相关概念、命题、公式和方法.
（4）还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到？
（5）如何运用这些条件和工具？
（6）是否还有条件没有利用？如何利用？
这些思考不是文字简单浏览和思想上的一掠而过，而是深究每一个对象的意义、性质，不同对象的关系，特别是能否转换为其他的意义、关系. 这些思考并不是孤立进行的，是贯穿在上述所有问题思考之中. 这是用于着手解题的最基本的思考方法.
[?] 理解题意的启发性提示语
如何深究？——对题意深究，如何转换？——将形式转换.
（1）它是什么？如何表示？还能如何表示？（转换）
（2）它有什么性质？如何表示？还能如何表示？
（3）它们有什么关系？如何表示？ 还能如何表示？
（4）由题设中的条件能够推出什么？还能推出什么？
（5）中途结论之间有什么关系？它们可以怎样利用？
（6）它是否与某个解过的题有联系？能否利用这个联系？
这里的“它”，是每一个句子、名词、概念、关系、表达式、符号、符号的上标下标、图形中的点线面等等. 教学生寻找解题思路，教师就要提供有效的指导思维操作的策略、解题的启发性提示语等.
比如，已知函数f（x）=+（a>0）是偶函数，求a的值.
教师要教学生问：（1）它是一个什么问题？——函数问题；（2）求什么？——求a. （3）已有什么材料？条件是什么？（4）理解题意——逐一搞清楚：“它”是什么？怎么表示？还能是什么？——含自然对数、分式的比较复杂函数，x∈R. “偶函数”是什么？——f（-x）=f（x）. f（-x）是什么？还能怎么表示？
即f（-x）=+ [f（-x）=f（x）][ ]+=+
a-
（ex-e-x）=0 a-=0 a=±1 [a>0][ ]a=1.
[?] 培养学生良好的读题习惯
（1）要求学生解题时先反复读题.
（2）要求学生用自己的语言反复叙述问题.
（3）要求达到不看题就能完整叙述问题后，才开始动笔解题.
（4）要求用不同的表达方式反复叙述问题.
（5）要求解释题中各个名词的意义（用概念思考），包括每个符号的含义（用符号表示），每句话的含义（换一种说法或表述）.
（6）要求尽可能画一张图.
（7）要求尽可能对每个名词，、每个符号、每句话换一种表示.
（8）要求把看不懂的符号或表达式具体化. （抽象符号具体化）
（9）要求解释图中每一个点、线、面的含义，尽可能写出它们的表达形式.
（10）要求发挥想象力，诉说自己对题意的联想或猜想.
[?] 培养学生寻找解题思路
（1）数学解题的启发性提示语要在“用”上下工夫.
（2）数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展，看上去很普通，但对启发寻找解题思路作用很大. 关键在于坚持用，用好了，用习惯了，用的水平提高了，解题能力就能大大提高，它的价值就体现出来了. 必须在运用提示语的过程中学习提示语，在“用”中学，只有不断运用，才能提高运用的水平，提高解题能力.
（3）对解题的启发性提示语，教师要首先提高自己运用的水平. 教师教学生学习上述提示语时，关键也在于教师自己要用. 教学上要求学生做到的，教师自己首先要做到. 教师首先自己一定要坚持用，用给学生看，学生学着用，逐步感悟，潜移默化，持之以恒，习惯成自然.
[?] 理解题意是一种重要的探索活动
“理解题意的启发性提示语”是一种元认知提示语，是引导学生自我启发的方法，本质是教学生学会思考. 启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索，去发现，而不是代替学生去探索和发现. 所以，用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动. 波利亚说“问题的求解比起问题的明确表达来，就常常不需要那么多的见识和独创了.” 可见，理解题意、明确表达问题是需要较多见识和独创的. 这说明理解题意是富有独创性的工作，是需要相当见识的.所以，理解题意的探索过程，是探索能力和创造力的培养过程. 教学生“理解题意的启发性提示语”，就是教学生如何去探索，就是教学生学会思考.
爱因斯坦曾说：“学习知识要勤于思考. 思考，再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的.” 这句话正说明了思考的重要性.所以我们教师应该帮助学生掌握思考的技能，使他们走出单纯的知识记忆而善于联想、敢于判断、勇于创造，从而学会学习，成为一名“思考者”.