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摘 要：柏拉图对经验存在与理性存在的论述，对小学数学教学有重要启发。分析学生数学学习中的经验存在与理性存在，分析学生数学学习过程经验向理性的转化，可以让教师更好地把握学生的数学学习过程，从而让数学教学更为高效。从核心素养角度看，研究经验存在与理性存在，可以让小学数学教学更好地服务于核心素养的培养。
关键词：小学数学；经验存在；理性存在
让数学教学接受哲学家智慧的沐浴，是数学以及数学教学走向智慧的重要方式。数学与哲学密切相关，许多数学家都有另外一个身份，那就是哲学家。因此在数学教学中思考“存在”这样的哲学命题，无疑是有意义的。著名哲学家柏拉图曾有名言，“我们应该区分两种不同的存在——一种是经验的存在，一种是理性的存在。经验的存在是有缺陷的，而理性的存在才是完美的。”在小学数学教学中，应当说“经验的存在”是普遍存在的，而“理性的存在”则可以理解为小学数学教学的目标，从经验的存在走向理性的存在，是小学数学教学的必然途径，从经验走向理性，是小学数学知识建构与能力形成的必然途径。在小学数学教学中研究经验存在与理性存在，是小学数学教师的必修课，其修学生数学知识建构的基础，其亦修教师教学的智慧。
■一、小学生数学学习过程中的经验与理性
将研究的目光转向小学生的数学学习，就可以发现学生的数学学习过程，就是一个从经验走向理性的过程。人们常说数学是一门理性的学科，其原因就在于数学原本就是对生活事物的抽象，原本就是将生活事例中最本质的那部分提取出来，以用来描述客观事物的本质属性。作为对小学数学教学的研究，笔者关注的是学生在构建数学知识的过程中的经验与理性。这里可以通过一个具体的实例来说明。
在“三角形的稳定性”的教学中，可以发现教师在引导学生建立“稳定性”概念的时候，一般都是让学生在比较一个三角形与一个四边形的过程中，通过“拉得动与否”来判断各自的稳定性的，这样的教学设计的价值就在于其充分利用了学生的生活经验——拉得动对应着稳定，拉不动对应着不稳定（其实这样的说法并不严密，下面第三点详细说明）。请注意，这里学生的经验是“稳定”而不是“稳定性”，稳定性实际上已经是一种理性认识了，因为稳定性作为三角形的一种固有的性质，其是需要在經验的基础上通过观察和比较去建立的。在这里，就是一个典型的“经验”与“理性”的事例。同时这个事例也表明了从经验走向理性的一种途径。
但是要注意的是，经验并不是天然存在的，更不是天然能够为学生的数学学习服务的。众所周知，经验是学生在生活中经过一些有意或无意的心理加工之后才会形成的，因此有人说“一个人被火烫了这不是经验，只有他被烫了之后知道不再将手向火里伸，这才是经验”，因此经验的形成本身就是一个重要的过程，要积累通向数学理性的道路，固然必须找到经验这个出发点，而经验本身其实又是体验的终点，因为只有体验才能让学生形成服务于数学学习的经验。在上面所举的“三角形的稳定性”中，“拉得动与否”是学生的经验，这个不需要体验就已经存在了；而有的数学知识所需要的经验学生则是不存在的，因此教师就需要预设一个过程，先让学生生成经验，再让经验服务于数学理性的形成。比如说在此之前的“三角形三边关系”的教学中，笔者在课堂上曾经获得过一个教学细节：当笔者引导学生发现三角形三边关系的时候，有位学生说他爷爷曾经告诉他一件事情——要编制一个用来放蒸馒头的三角形支架时，曾经发现如果三根竹竿的长度不合理，就做不成一个三角形。这位学生说，他也不懂爷爷这句话的意思，但听到老师讲三角形的内容，感觉爷爷的话与所学的内容可能有关，于是就告诉老师了。
很显然，这里学生转述的是他爷爷的经验，他知道其表达却没有真正成为自己的经验，而当笔者将此阐述转述给其他学生的时候，其他学生也有些茫然。于是下面的体验就显得非常重要了：让学生到讲台上提供的一大堆长短不同的竹竿中任意选择三根到座位上去制造三角形，看谁制造得快。于是各个小组的学生开始动手做、动脑思考——这是一个完整的体验过程（体验可不只是做的，也是需要想的）。在这个过程中，学生会逐步发现构建三角形所需要的三边关系，从而也就完成两个过程：一是通过体验生成成功构建三角形经验的过程；二是将这种经验转换为“三角形两边之和大于第三边”的数学认识的过程，当然，这里的数学认识其实就是数学以理性的知识存在的一面。
■二、小学数学知识的经验存在与理性存在
谈到“存在”，就必须认识到这一概念背后具有的哲学意味。至少体现在数学教学及其价值中，应当认识到“存在”就是数学知识在学生大脑中的不同的表征方式。
这是小学数学教学研究的一个重要范畴，知识以什么样的形式表征，不仅意味着学生在新知学习的过程中有什么样的出发点，还意味着新知学习有什么样的落脚点。就拿上面所举的三角形的两个例子来说：在三角形三边关系的学习过程中，其实不同学生最后构建的认识是不一样的：有的学生大脑中三角形三边关系其实仍然是依靠具体的图形而存在的，比如说当笔者让学生说说这节课的学习收获的时候，有学生就用手或竹竿去比画所学到的内容，表达的意思则是要用什么样的三根竹竿才能搭出一个三角形。显然，这样的学生的表达重心不是在语言上，而是在图形上，甚至是一个知道具体三边长度的三角形；而有的学生则不同，当他们说出“三角形两边之和大于第三边”时，他们是一种很自然、很顺口的表达，这意味着他们对三角形三边关系的理解已经上升到了理论的层面。而这两种学生大脑中对三角形三边关系的存在，显然就是不同的方式：前者以表象的形式存在，后者以语言知识的方式存在。前者是经验的存在，后者是理性的存在。
在三角形稳定性知识学习中，这种经验存在与理性存在则更为明显。“稳定”是一种经验存在，其对应着学生思维中的“拉不动”，而拉不动背后又是以拉三角形的表象作为支撑的；“稳定性”则是一种理性存在，其对应着对所有不同形状三角形的一种性质的描述，稳定性就是一种性质，就是一种高度概括的描述，当其以理性存在的时候，描述稳定性就是一种抽象的稳定性。 而从教师教学研究的角度来看，经验存在与理性存在就是有效教学的两个重要基点：研究学生已有的虽有缺陷但却有着重要作用的经验存在，实际上是对学生前概念的一种关注（这也是建构主义学习观的重要支撑），由于不同知识的建构是需要不同的经验作为支撑的，因此在不同知识的教学中研究学生已经有了哪些经验存在，是一件非常重要的事情。而从经验存在向理性存在过渡，其实就是数学教学的过程，这个过渡是否顺利对应着数学教学是否有效。除上面提到的基本的观察与比较之外，经验存在向理性存在转变，还有一个重要的途径，那就是思维的深入。
譬如上面所举的三角形稳定性的教学中，当学生经由“拉得动与否”的体验，并将“稳定”转换为“稳定性”之后，就实现了稳定性的教学。但这种体验从严格的数学意义的角度来看，其实是有不足的。因为实际教学中常常会遇到学生提出的问题：用四根铁棒焊接的四边形也拉不动，那是怎么回事呢？
這个时候就需要思维的深入了：数学上的“稳定性”与经验中的“稳定”是不是一回事。数学上的稳定性更多的是相对于抽象的图形而言的，三个给定长度的竹竿只能摆出一个固定的三角形，其面积形状不可再变，而四个给定长度的竹竿则可以摆出多种四边形，其面积与形状都是可变的，这才是“稳定性”的数学含义。实际上这番解释，也是一个从经验存在走向理性存在的过程，经由这个过程，学生对三角形稳定性的理解就更为深刻了。
■三、小学数学教学从经验走向理性的价值
研究小学数学教学中的经验存在与理性存在，实际上是为高效数学教学寻找理论依据，也是为学生的有效学习提供有效解释。什么样的教学才是有效的？显然这不能只看学生的学习结果（结果可由机械地重复获得），而是看学生的学习过程与结果的契合程度，只有当经验存在向理性存在的转变变得合乎学生的认知规律时，这样的过程才是有意义的。只有当学生思维中的数学知识更多地以理性方式存在时，这样的结果才是有意义的（尽管数学学习并不能完全避免知识的经验存在）。
因此，研究从经验走向理性，研究经验存在与理性存在，其价值就很明显了：服务于学生的有效数学学习。即使从当下热门的核心素养角度来看，这一研究的价值也是客观的，因为如果小学生在数学学习中不断地在理性存在与经验存在中转换，以实现数学知识（理性存在）更多的支撑更高级的经验存在，这也就意味着学生的数学知识可以更多地向生活延伸，而这不就是核心素养的一种体现吗？
关键词：小学数学；经验存在；理性存在
让数学教学接受哲学家智慧的沐浴，是数学以及数学教学走向智慧的重要方式。数学与哲学密切相关，许多数学家都有另外一个身份，那就是哲学家。因此在数学教学中思考“存在”这样的哲学命题，无疑是有意义的。著名哲学家柏拉图曾有名言，“我们应该区分两种不同的存在——一种是经验的存在，一种是理性的存在。经验的存在是有缺陷的，而理性的存在才是完美的。”在小学数学教学中，应当说“经验的存在”是普遍存在的，而“理性的存在”则可以理解为小学数学教学的目标，从经验的存在走向理性的存在，是小学数学教学的必然途径，从经验走向理性，是小学数学知识建构与能力形成的必然途径。在小学数学教学中研究经验存在与理性存在，是小学数学教师的必修课，其修学生数学知识建构的基础，其亦修教师教学的智慧。
■一、小学生数学学习过程中的经验与理性
将研究的目光转向小学生的数学学习，就可以发现学生的数学学习过程，就是一个从经验走向理性的过程。人们常说数学是一门理性的学科，其原因就在于数学原本就是对生活事物的抽象，原本就是将生活事例中最本质的那部分提取出来，以用来描述客观事物的本质属性。作为对小学数学教学的研究，笔者关注的是学生在构建数学知识的过程中的经验与理性。这里可以通过一个具体的实例来说明。
在“三角形的稳定性”的教学中，可以发现教师在引导学生建立“稳定性”概念的时候，一般都是让学生在比较一个三角形与一个四边形的过程中，通过“拉得动与否”来判断各自的稳定性的，这样的教学设计的价值就在于其充分利用了学生的生活经验——拉得动对应着稳定，拉不动对应着不稳定（其实这样的说法并不严密，下面第三点详细说明）。请注意，这里学生的经验是“稳定”而不是“稳定性”，稳定性实际上已经是一种理性认识了，因为稳定性作为三角形的一种固有的性质，其是需要在經验的基础上通过观察和比较去建立的。在这里，就是一个典型的“经验”与“理性”的事例。同时这个事例也表明了从经验走向理性的一种途径。
但是要注意的是，经验并不是天然存在的，更不是天然能够为学生的数学学习服务的。众所周知，经验是学生在生活中经过一些有意或无意的心理加工之后才会形成的，因此有人说“一个人被火烫了这不是经验，只有他被烫了之后知道不再将手向火里伸，这才是经验”，因此经验的形成本身就是一个重要的过程，要积累通向数学理性的道路，固然必须找到经验这个出发点，而经验本身其实又是体验的终点，因为只有体验才能让学生形成服务于数学学习的经验。在上面所举的“三角形的稳定性”中，“拉得动与否”是学生的经验，这个不需要体验就已经存在了；而有的数学知识所需要的经验学生则是不存在的，因此教师就需要预设一个过程，先让学生生成经验，再让经验服务于数学理性的形成。比如说在此之前的“三角形三边关系”的教学中，笔者在课堂上曾经获得过一个教学细节：当笔者引导学生发现三角形三边关系的时候，有位学生说他爷爷曾经告诉他一件事情——要编制一个用来放蒸馒头的三角形支架时，曾经发现如果三根竹竿的长度不合理，就做不成一个三角形。这位学生说，他也不懂爷爷这句话的意思，但听到老师讲三角形的内容，感觉爷爷的话与所学的内容可能有关，于是就告诉老师了。
很显然，这里学生转述的是他爷爷的经验，他知道其表达却没有真正成为自己的经验，而当笔者将此阐述转述给其他学生的时候，其他学生也有些茫然。于是下面的体验就显得非常重要了：让学生到讲台上提供的一大堆长短不同的竹竿中任意选择三根到座位上去制造三角形，看谁制造得快。于是各个小组的学生开始动手做、动脑思考——这是一个完整的体验过程（体验可不只是做的，也是需要想的）。在这个过程中，学生会逐步发现构建三角形所需要的三边关系，从而也就完成两个过程：一是通过体验生成成功构建三角形经验的过程；二是将这种经验转换为“三角形两边之和大于第三边”的数学认识的过程，当然，这里的数学认识其实就是数学以理性的知识存在的一面。
■二、小学数学知识的经验存在与理性存在
谈到“存在”，就必须认识到这一概念背后具有的哲学意味。至少体现在数学教学及其价值中，应当认识到“存在”就是数学知识在学生大脑中的不同的表征方式。
这是小学数学教学研究的一个重要范畴，知识以什么样的形式表征，不仅意味着学生在新知学习的过程中有什么样的出发点，还意味着新知学习有什么样的落脚点。就拿上面所举的三角形的两个例子来说：在三角形三边关系的学习过程中，其实不同学生最后构建的认识是不一样的：有的学生大脑中三角形三边关系其实仍然是依靠具体的图形而存在的，比如说当笔者让学生说说这节课的学习收获的时候，有学生就用手或竹竿去比画所学到的内容，表达的意思则是要用什么样的三根竹竿才能搭出一个三角形。显然，这样的学生的表达重心不是在语言上，而是在图形上，甚至是一个知道具体三边长度的三角形；而有的学生则不同，当他们说出“三角形两边之和大于第三边”时，他们是一种很自然、很顺口的表达，这意味着他们对三角形三边关系的理解已经上升到了理论的层面。而这两种学生大脑中对三角形三边关系的存在，显然就是不同的方式：前者以表象的形式存在，后者以语言知识的方式存在。前者是经验的存在，后者是理性的存在。
在三角形稳定性知识学习中，这种经验存在与理性存在则更为明显。“稳定”是一种经验存在，其对应着学生思维中的“拉不动”，而拉不动背后又是以拉三角形的表象作为支撑的；“稳定性”则是一种理性存在，其对应着对所有不同形状三角形的一种性质的描述，稳定性就是一种性质，就是一种高度概括的描述，当其以理性存在的时候，描述稳定性就是一种抽象的稳定性。 而从教师教学研究的角度来看，经验存在与理性存在就是有效教学的两个重要基点：研究学生已有的虽有缺陷但却有着重要作用的经验存在，实际上是对学生前概念的一种关注（这也是建构主义学习观的重要支撑），由于不同知识的建构是需要不同的经验作为支撑的，因此在不同知识的教学中研究学生已经有了哪些经验存在，是一件非常重要的事情。而从经验存在向理性存在过渡，其实就是数学教学的过程，这个过渡是否顺利对应着数学教学是否有效。除上面提到的基本的观察与比较之外，经验存在向理性存在转变，还有一个重要的途径，那就是思维的深入。
譬如上面所举的三角形稳定性的教学中，当学生经由“拉得动与否”的体验，并将“稳定”转换为“稳定性”之后，就实现了稳定性的教学。但这种体验从严格的数学意义的角度来看，其实是有不足的。因为实际教学中常常会遇到学生提出的问题：用四根铁棒焊接的四边形也拉不动，那是怎么回事呢？
這个时候就需要思维的深入了：数学上的“稳定性”与经验中的“稳定”是不是一回事。数学上的稳定性更多的是相对于抽象的图形而言的，三个给定长度的竹竿只能摆出一个固定的三角形，其面积形状不可再变，而四个给定长度的竹竿则可以摆出多种四边形，其面积与形状都是可变的，这才是“稳定性”的数学含义。实际上这番解释，也是一个从经验存在走向理性存在的过程，经由这个过程，学生对三角形稳定性的理解就更为深刻了。
■三、小学数学教学从经验走向理性的价值
研究小学数学教学中的经验存在与理性存在，实际上是为高效数学教学寻找理论依据，也是为学生的有效学习提供有效解释。什么样的教学才是有效的？显然这不能只看学生的学习结果（结果可由机械地重复获得），而是看学生的学习过程与结果的契合程度，只有当经验存在向理性存在的转变变得合乎学生的认知规律时，这样的过程才是有意义的。只有当学生思维中的数学知识更多地以理性方式存在时，这样的结果才是有意义的（尽管数学学习并不能完全避免知识的经验存在）。
因此，研究从经验走向理性，研究经验存在与理性存在，其价值就很明显了：服务于学生的有效数学学习。即使从当下热门的核心素养角度来看，这一研究的价值也是客观的，因为如果小学生在数学学习中不断地在理性存在与经验存在中转换，以实现数学知识（理性存在）更多的支撑更高级的经验存在，这也就意味着学生的数学知识可以更多地向生活延伸，而这不就是核心素养的一种体现吗？