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定理1设R是半值环,n为固定的正整数,如果R满足条件:存在依赖于x,y的两个字k(X,Y),t(X,Y),其中|k|x>1,|t|x=1,|k|_Y≥|t|_Y,|t|_Yy≤n,使k(x,y)-t(x,y)∈I(R),则R是交换环。定理2设R是半值环,如果R满足条件:存在正整数m=m(x,y)>1,n=n(y),使得(x ̄ny) ̄m-x ̄ny∈I(R),则R是交换环。