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定理１设Ｒ是半值环，ｎ为固定的正整数，如果Ｒ满足条件：存在依赖于ｘ，ｙ的两个字ｋ（Ｘ，Ｙ），ｔ（Ｘ，Ｙ），其中｜ｋ｜ｘ＞１，｜ｔ｜ｘ＝１，｜ｋ｜＿Ｙ≥｜ｔ｜＿Ｙ，｜ｔ｜＿Ｙｙ≤ｎ，使ｋ（ｘ，ｙ）－ｔ（ｘ，ｙ）∈Ｉ（Ｒ），则Ｒ是交换环。定理２设Ｒ是半值环，如果Ｒ满足条件：存在正整数ｍ＝ｍ（ｘ，ｙ）＞１，ｎ＝ｎ（ｙ），使得（ｘ￣ｎｙ）￣ｍ－ｘ￣ｎｙ∈Ｉ（Ｒ），则Ｒ是交换环。