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【摘 要】概念教学是数学教学中常用的教学方式之一，但如何开展概念教学，使学生不仅能理解概念的生成过程，还能形成对概念的抽象理解并将其运用是很多教师感到困扰的问题。本文以“二次函数”的概念教学为例，运用APOS理论进行教学设计，使学生体验二次函数的推理过程并形成抽象理解，希望为数学概念教学提供参考和借鉴。
【关键词】APOS理论;二次函数;概念教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）16-0033-02
美国教育家、数学家杜宾斯基基于传统的概念教学模式和学生数学学习特点提出了APOS理论，把概念教学分为四个阶段，即活动阶段、程序阶段、对象阶段、图式阶段。教师基于APOS理论开展概念教学，能够创新概念教学模式，把教学的重心转移到概念生成过程中，使学生能更好地认识概念的二重属性[1]。
因此，本文尝试基于APOS理论进行二次函数概念教学设计，让学生了解二次函数概念的推理过程，并能够把二次函数抽象成对象进行理解和运用。以下是基于APOS理论的二次函数概念教学设计。
1 活动阶段
在活动阶段，教师需要创设合适的情境，为学生提供理解概念的背景，使学生通过适当的操作活动体会数学概念的背景，并理解数学概念产生的原因和意义，即在活动阶段通过引导学生自主操作，使学生体会数学概念的形成过程[2]。
【教学设计】
教师引导学生回顾常量与变量、函数的概念及其表示方法，并提出三个问题，创设二次函数概念的教学情境：
问题1：正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的关系怎样表示？
问题2：某广告公司要设计一个周长为20米的矩形广告牌，设矩形广告牌的一边长为x米，面积为S，则S与x间的关系如何表示？
问题3：某工厂 2018年某种产品的产量为20吨，该产品产量的年平均增长率为x，设2020年该产品的产量为 y，则 y与x的关系应该怎样表示？
学生经过思考，不难解决上述三个问题：① y=6x2;② S=x（10?x）;③ y=20（1+x）2。
教师追问学生：上述三个问题得到的结果是否能构成函数？有哪些变量？其中自变量是什么？若能构成函数，它们在结构上存在什么相同之处？
【设计意图】
教师通过创设具体情境，使学生感受现实生活与二次函数概念间的关系，为学生理解二次函数的概念提供知识背景。学生通过分析和解决问题能够发现，存在一种陌生的函数且自变量的最高次数为2，但学生还无法抽象出二次函数的概念。
2 程序阶段
在程序阶段，学生经历了对概念的操作过程，可以把在这一过程中形成的经验和材料作为思维对象，进行思考和建构，并抽象出概念。在這个阶段，学生不再需要依靠提示或辅助条件学习概念，而是可以内化、抽象、反思活动阶段的经验，掌握概念的所有属性[3]。
【教学设计】
问题1：请同学们观察以下三个函数，从解析式看有什么共同点与不同点。① y=6x2;② S=x（10?x）=?x2+10x;③ y=20（1+x）2=20x2+40x+20。
通过观察，学生不难发现，上述函数的解析式中未知数的最高次数都为2，且每一个解析式都存在未知数的最高次数为2的一项。不同点在于，三个解析式中，有些含有一次项和常数项，有的没有。
随后教师引导学生讨论，在这一类函数中最重要的、不可缺少的是哪一项。学生不难发现，含有未知数的最高次数为2的一项是三个解析式中共同存在的，因此它是这一类函数中十分重要且不可缺少的一项。接着，教师引导学生回顾一次函数的概念及其一般形式，尝试说出二次函数的一般形式及二次函数的概念。在得出二次函数的概念后，教师通过类比一次函数解析式中k≠0的要求和一次项的概念，引导学生理解二次函数解析式中a≠0的要求，以及二次项、一次项和常数项等概念。
【设计意图】
教师设置问题引导学生思考活动阶段例子的本质特征，学生通过小组讨论归纳出二次函数的共同特征，并把这些共同特征与一次函数类比，形成二次函数的一般形式，并在教师的引导下抽象出二次函数的概念。在这一阶段，学生通过活动阶段积累的知识体验，能够抽象出二次函数的概念和一般形式。
3 对象阶段
在对象阶段，学生已经理解了概念的全部属性，并能将概念抽象为一个整体进行理解和应用，即学生能够把概念作为独立的对象，完成相关的数学运算。在这一阶段，教师需要通过设置各种类型的题目训练学生对概念的抽象和运用能力，使学生能理解概念的对象属性。
【教学设计】
问题1：下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？①y=+3x2;②y=x2?x3+25;③y=2x2+2x;④s=1+t+5t2。
问题2：下列函数中，哪些是二次函数？分别指出二次函数中的二次项、一次项和常数项。① y=?x2;② y=
x+;③ y=x（1?x）;④ y=（x+3）2?x2;⑤ y=3（x?1）2+3。
问题3：若正方形的边长是4 cm，当它的边长增加x时，面积增加 y。①写出 y与x之间的关系式;②当边长增加3 cm时，面积增加多少？③当面积增加48 cm2时，边长增加多少？
问题4：某工厂计划为一批长方体的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5 m。①长方体的长和宽用x表示，长方体的表面积S的表达式是什么？②如果油漆每平方米所需要的费用是5元，每个长方体所需油漆费用用 y表示，那么 y的表达式是什么？ 【设计意图】
对象阶段的主要目标是通过习题使学生把二次函数当作一个整体对象进行理解和运用，把对二次函数概念的理解上升为易于把握本质的抽象对象。因此，笔者在这一阶段的习题设置中，不仅设置了从形式上理解二次函数的解析式，还要引导学生建立二次函数模型，使学生理解二次函数的概念，解决实际问题。
4 图式阶段
数学概念之间存在着许多联系，图式阶段就是使学生建立起概念之间联系的过程，即学生将前三个阶段与原有的数学概念之间的关系整合到自己的认知结构中，形成新图式的过程。
【教学设计】
问题1：函数 y=ax2+bx+c在何时分别是二次函数、一次函数、正比例函数？你能写出二次函数的几种特殊
形式？
问题2：已知关于x的函数 y=（m+4）+（n?2）x+4。①当m、n满足什么条件是一次函数？②当m、n满足什么条件是二次函数？
【设计意图】
在图式阶段，学生不仅能够形成对二次函数概念的抽象理解，实现对二次函数的实际运用，而且能将二次函数的概念与认知结构中已有的知识经验结合起来理解，并建立起联系，让二次函数以一种综合的心理图式存在于脑海里。在这一阶段，教师通过问题引导学生思考二次函数与一次函数、正比例函数等知识的联系和区别，将二次函数的概念与这些知识结合起来，能促进学生对二次函数的概念的深刻理解。
总之，我国现行的数学概念教学模式存在重视概念应用、轻视概念推理过程的问题，APOS理论是解决这一问题的理论工具。基于APOS理论开展概念教学设计，不仅能够充分体现概念的二重性，还可以使学生在经历概念生成的过程中加深对概念的理解[4]。本文尝试运用APOS理论进行概念教学设计，希望这一教学方法能对广大教师有所启发。
【参考文献】
[1]乔连全.APOS：是一种建构主义理论[J].全球教育展望，2001（3）.
[2]程华.APOS理论的内涵及其对中学数学概念教学的启示[J].教学与管理，2010（24）.
[3]张敏，李军，孙迪.基于APOS理论下数学史融入一元二次方程概念教学设计[J].数学教学通讯，2019（35）.
[4]余小萍，李云杰.基于APOS理论的“函数的概念”教学设计[J].中学数学研究（華南师范大学版），2020（20）.
【作者简介】
杨灵娥（1963～），女，汉族，山西长治人，博士，教授。研究方向：数学教育。
丘文斯（1995～），女，汉族，广东韶关人，佛山科学技术学院与大数据学院学科教学（数学）专业2019级硕士研究生。研究方向：数学教育。
【关键词】APOS理论;二次函数;概念教学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）16-0033-02
美国教育家、数学家杜宾斯基基于传统的概念教学模式和学生数学学习特点提出了APOS理论，把概念教学分为四个阶段，即活动阶段、程序阶段、对象阶段、图式阶段。教师基于APOS理论开展概念教学，能够创新概念教学模式，把教学的重心转移到概念生成过程中，使学生能更好地认识概念的二重属性[1]。
因此，本文尝试基于APOS理论进行二次函数概念教学设计，让学生了解二次函数概念的推理过程，并能够把二次函数抽象成对象进行理解和运用。以下是基于APOS理论的二次函数概念教学设计。
1 活动阶段
在活动阶段，教师需要创设合适的情境，为学生提供理解概念的背景，使学生通过适当的操作活动体会数学概念的背景，并理解数学概念产生的原因和意义，即在活动阶段通过引导学生自主操作，使学生体会数学概念的形成过程[2]。
【教学设计】
教师引导学生回顾常量与变量、函数的概念及其表示方法，并提出三个问题，创设二次函数概念的教学情境：
问题1：正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的关系怎样表示？
问题2：某广告公司要设计一个周长为20米的矩形广告牌，设矩形广告牌的一边长为x米，面积为S，则S与x间的关系如何表示？
问题3：某工厂 2018年某种产品的产量为20吨，该产品产量的年平均增长率为x，设2020年该产品的产量为 y，则 y与x的关系应该怎样表示？
学生经过思考，不难解决上述三个问题：① y=6x2;② S=x（10?x）;③ y=20（1+x）2。
教师追问学生：上述三个问题得到的结果是否能构成函数？有哪些变量？其中自变量是什么？若能构成函数，它们在结构上存在什么相同之处？
【设计意图】
教师通过创设具体情境，使学生感受现实生活与二次函数概念间的关系，为学生理解二次函数的概念提供知识背景。学生通过分析和解决问题能够发现，存在一种陌生的函数且自变量的最高次数为2，但学生还无法抽象出二次函数的概念。
2 程序阶段
在程序阶段，学生经历了对概念的操作过程，可以把在这一过程中形成的经验和材料作为思维对象，进行思考和建构，并抽象出概念。在這个阶段，学生不再需要依靠提示或辅助条件学习概念，而是可以内化、抽象、反思活动阶段的经验，掌握概念的所有属性[3]。
【教学设计】
问题1：请同学们观察以下三个函数，从解析式看有什么共同点与不同点。① y=6x2;② S=x（10?x）=?x2+10x;③ y=20（1+x）2=20x2+40x+20。
通过观察，学生不难发现，上述函数的解析式中未知数的最高次数都为2，且每一个解析式都存在未知数的最高次数为2的一项。不同点在于，三个解析式中，有些含有一次项和常数项，有的没有。
随后教师引导学生讨论，在这一类函数中最重要的、不可缺少的是哪一项。学生不难发现，含有未知数的最高次数为2的一项是三个解析式中共同存在的，因此它是这一类函数中十分重要且不可缺少的一项。接着，教师引导学生回顾一次函数的概念及其一般形式，尝试说出二次函数的一般形式及二次函数的概念。在得出二次函数的概念后，教师通过类比一次函数解析式中k≠0的要求和一次项的概念，引导学生理解二次函数解析式中a≠0的要求，以及二次项、一次项和常数项等概念。
【设计意图】
教师设置问题引导学生思考活动阶段例子的本质特征，学生通过小组讨论归纳出二次函数的共同特征，并把这些共同特征与一次函数类比，形成二次函数的一般形式，并在教师的引导下抽象出二次函数的概念。在这一阶段，学生通过活动阶段积累的知识体验，能够抽象出二次函数的概念和一般形式。
3 对象阶段
在对象阶段，学生已经理解了概念的全部属性，并能将概念抽象为一个整体进行理解和应用，即学生能够把概念作为独立的对象，完成相关的数学运算。在这一阶段，教师需要通过设置各种类型的题目训练学生对概念的抽象和运用能力，使学生能理解概念的对象属性。
【教学设计】
问题1：下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？①y=+3x2;②y=x2?x3+25;③y=2x2+2x;④s=1+t+5t2。
问题2：下列函数中，哪些是二次函数？分别指出二次函数中的二次项、一次项和常数项。① y=?x2;② y=
x+;③ y=x（1?x）;④ y=（x+3）2?x2;⑤ y=3（x?1）2+3。
问题3：若正方形的边长是4 cm，当它的边长增加x时，面积增加 y。①写出 y与x之间的关系式;②当边长增加3 cm时，面积增加多少？③当面积增加48 cm2时，边长增加多少？
问题4：某工厂计划为一批长方体的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5 m。①长方体的长和宽用x表示，长方体的表面积S的表达式是什么？②如果油漆每平方米所需要的费用是5元，每个长方体所需油漆费用用 y表示，那么 y的表达式是什么？ 【设计意图】
对象阶段的主要目标是通过习题使学生把二次函数当作一个整体对象进行理解和运用，把对二次函数概念的理解上升为易于把握本质的抽象对象。因此，笔者在这一阶段的习题设置中，不仅设置了从形式上理解二次函数的解析式，还要引导学生建立二次函数模型，使学生理解二次函数的概念，解决实际问题。
4 图式阶段
数学概念之间存在着许多联系，图式阶段就是使学生建立起概念之间联系的过程，即学生将前三个阶段与原有的数学概念之间的关系整合到自己的认知结构中，形成新图式的过程。
【教学设计】
问题1：函数 y=ax2+bx+c在何时分别是二次函数、一次函数、正比例函数？你能写出二次函数的几种特殊
形式？
问题2：已知关于x的函数 y=（m+4）+（n?2）x+4。①当m、n满足什么条件是一次函数？②当m、n满足什么条件是二次函数？
【设计意图】
在图式阶段，学生不仅能够形成对二次函数概念的抽象理解，实现对二次函数的实际运用，而且能将二次函数的概念与认知结构中已有的知识经验结合起来理解，并建立起联系，让二次函数以一种综合的心理图式存在于脑海里。在这一阶段，教师通过问题引导学生思考二次函数与一次函数、正比例函数等知识的联系和区别，将二次函数的概念与这些知识结合起来，能促进学生对二次函数的概念的深刻理解。
总之，我国现行的数学概念教学模式存在重视概念应用、轻视概念推理过程的问题，APOS理论是解决这一问题的理论工具。基于APOS理论开展概念教学设计，不仅能够充分体现概念的二重性，还可以使学生在经历概念生成的过程中加深对概念的理解[4]。本文尝试运用APOS理论进行概念教学设计，希望这一教学方法能对广大教师有所启发。
【参考文献】
[1]乔连全.APOS：是一种建构主义理论[J].全球教育展望，2001（3）.
[2]程华.APOS理论的内涵及其对中学数学概念教学的启示[J].教学与管理，2010（24）.
[3]张敏，李军，孙迪.基于APOS理论下数学史融入一元二次方程概念教学设计[J].数学教学通讯，2019（35）.
[4]余小萍，李云杰.基于APOS理论的“函数的概念”教学设计[J].中学数学研究（華南师范大学版），2020（20）.
【作者简介】
杨灵娥（1963～），女，汉族，山西长治人，博士，教授。研究方向：数学教育。
丘文斯（1995～），女，汉族，广东韶关人，佛山科学技术学院与大数据学院学科教学（数学）专业2019级硕士研究生。研究方向：数学教育。