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摘 要:高考物理试题中经常涉及物体与轻杆连接的问题。对物体受力分析时,轻杆上弹力的方向是否沿着杆的方向,学生对此常感到困惑。本文浅析归纳轻杆上的弹力沿杆方向的四种情况。
关键词:弹力方向;沿杆;高考试题
中图分类号:G633.7 文献标识码:A 文章编号:1003-6148(2017)2-0048-3
1 两道试题对比的困惑
题1 如图1所示,水平轻杆的一端固定在墙内,另一端固定一个质量为1.2 kg的小球,水平轻弹簧的拉力为9 N,轻绳与竖直方向的夹角为37 °,轻绳的拉力为10 N(g=10 m/s2),则轻杆对小球的作用力是( )
A.大小为5 N
B.大小为10 N
C.方向与竖直方向成37 °角向右上方
D.方向与竖直方向成37 °角向右下方
题2 (2015·广东)如图2所示,三条绳子的一端都系在细直杆顶端,另一端都固定在水平地面上,将杆竖直紧压在地面上。若三条绳长度不同,下列说法正确的有( )
A.三条绳中的张力都相等
B.杆对地面的压力大于自身重力
C.绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D.绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
分析 题1中,对小球受力分析,小球受自身重力G、轻弹簧的拉力F1、轻绳的拉力F2、轻杆的作用力(图3中没画出)4个力的作用,受力见图3。其中,轻杆作用力情况不能确定。根据题意,重力与弹簧拉力的合力大小F==15 N。设F与竖直方向的夹角为θ,sinθ==,则θ=37 °,即方向与竖直方向成37 °角斜向下,该合力与轻绳的拉力恰好在同一条直线上。根据小球静止,合力为零可知,轻杆对小球的弹力大小为5 N,方向与竖直方向成37 °角斜向右上方。故A、C选项正确。本题中由于杆的一端插入墙壁,固定不能动,平衡时杆上的弹力不沿杆。
对于题2而言:①因为三条绳的长度不同, 说明沿三条绳上的弹力与竖直方向的夹角不相同。杆保持静止,在水平方向三条绳上弹力的水平分力的合力应为零,故三条绳中的张力大小不相等。A选项错误,C选项正确。②由于三条绳在竖直方向有向下的拉力,杆在竖直方向合力为零,杆对地面的压力大于自身重力。B选项正确,D选项错误。故选B、C选项。
困惑:题2中杆被竖直紧压在地面上,地面情况未知,平衡时杆所受地面弹力也可不沿杆。那么,在水平方向三绳拉力水平分力的合力可以不为零。C选项需要商榷。
2 弹力方向沿杆的几种情况
在对弹力方向的判定中,轻绳的张力一定沿绳且指向轻绳收缩的方向。而轻杆不仅能承受纵向的作用力(拉力和压力),还能承受横向的力。因此与绳相比,分析杆的受力(或杆对其接触物的作用力)要复杂一些。教学中常见杆的弹力方向不一定沿杆的方向,但学生对于什么情况下杆的弹力方向沿着杆的方向不清楚,导致涉及轻杆模型问题时受力分析错误,得出错误的结论。现举例说明下列几种情况下杆的弹力方向一定沿杆的方向。
2.1 二力杆受力平衡
满足下面三个条件下:第一,杆两端与其他物体的连接是光滑铰链连接;第二,其他物体对杆的作用力过节点;第三,杆的自重与负荷相比很小,可忽略不计[1]。则轻杆仅受到两个通过节点的力,这样的杆称为二力杆[2]。根据二力平衡原理,在平衡时,作用于通过二力杆上两节点的外力必等大且方向沿同一直线,所以在平衡时二力杆受的力必沿杆的纵向。与此相应,平衡时二力杆作用于外界的力也必沿杆的纵向。这是二力杆的基本性质。可见,二力杆的一端或两端用铰链连接,能自由转动,杆的质量可以忽略不计,否则不成立。
例如:2015年的新课标全国Ⅱ第21题、江苏高考第14题,涉及到的轻杆模型,都是物体通过铰链与轻杆连接,不计摩擦,可以自由转动,作用力过节点,滿足二力杆的三个条件,因此杆上的弹力都沿杆的方向。
2.2 重力场中,轻杆在竖直平面内做圆周运动的“两个特殊点”,即最高点和最低点时所受弹力
在重力场中,当轻杆于竖直平面内做圆周运动时,轻杆运动到竖直位置时的最高点和最低点即为“两个特殊点”。在这“两个特殊点”位置,需要竖直方向上的合力提供物体做圆周运动的向心力,故轻杆的弹力方向沿杆在竖直方向上。
例1 如图4所示,长度为L的轻杆两端固定质量分别为m和2m的两个小球P和Q,在离P球处有一个光滑固定轴O。现将杆从水平位置自由释放,在P球顺时针转动到最高位置时,求:
1)小球P的速度大小;
2)轻杆对小球P弹力大小及方向。
解析 1)两个小球P、Q和杆组成的系统机械能守恒,设P球在最高点时速度为v,P、Q两球同轴转动,角速度相等,Q球运动圆半径是P球运动圆半径的两倍,故Q球的速度是P球的速度的两倍,为2v。由机械能守恒定律得:
2)在最高点,对球P受力分析,球P受自身重力和沿杆弹力的二力作用,假设弹力方向向下,由牛顿第二定律得:
负号说明假设弹力方向向下不正确,杆的弹力向上,是支持力。
2.3 物体或小球具有特定的加速度
例2 如图5所示,固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ,在斜杆下端固定有质量为m的小球,下列关于杆对球的作用力F的判断中,正确的是( )
A.小车静止时,F=mgsinθ,方向沿杆向上
B.小车静止时,F=mgcosθ,方向垂直于杆向上
C. 小车向右以加速度a运动时,一定有F=ma/sinθ
D.小车向左匀速运动时,F=mg,方向竖直向上
解析 小车静止或向左匀速运动时,球受到重力和杆的弹力作用,由二力平衡条件可得杆对球的作用力F=mg,方向竖直向上,故A、B选项错误,D选项正确。小车向右以加速度a运动时,杆对球的作用力F大小和方向会随着向右加速度a大小的变化而变化,只有当a=gtanθ时,此时杆上弹力沿杆,才有F=,如图6所示。故C选项错误。
【拓展延伸】
本题中,若小车以加速度a向左加速运动,求杆对球的作用力F的大小及方向?
解析 小车以加速度a向左加速运动,根据牛顿第二定律可知,小球受到的合力水平向左。则杆对球的作用力F=,方向斜向左上方,与竖直方向的夹角满足tanα=。
2.4 杆带着球在水平面上做匀速圆周运动
在水平面内做匀速圆周运动,因为速率不变,没有切向加速度,只有向心加速度,轻杆上弹力提供球做匀速圆周运动的向心力,故弹力沿杆指向圆心。
例3 轻细杆长为l,一端固定质量为m的小球B,另一与球B相同的小球A固定在轻杆的中点,杆被小球分为Ⅰ、Ⅱ两部分。当杆绕杆另一端O点在光滑水平面上做匀速转动时(如图7所示),求:杆的Ⅰ段对球A的拉力与Ⅱ段对球B的拉力大小之比。
解析 因为小球A、B都绕O点做匀速转动,无切向加速度,轻杆上弹力沿杆提供小球A、B的向心力,它们的角速度相同,设为ω。杆对B的拉力为FB,由牛顿第二定律得:
由(1)(2)两式解得:FA:FB=3:2。
综上分析可见,2015年广东高考物理第7题的C选项值得商榷,杆竖直紧压在地面上,题中地面情况不明确。若地面与杆的摩擦因数比较大,或地面松软,那么杆上的弹力就不一定沿杆。若将本题中杆的下端用铰链连接固定在水平面上,杆可以自由转动,或者地面坚硬光滑,满足二力杆的平衡条件,水平方向三力水平分力的合力应为零,C选项就无疑义了。以上仅供同行参考。参考文献:
[1]漆安慎,杜婵英.普通物理学教程《力学》(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2005:253.
[2]人民教育出版社,课程教材研究所,物理课程教材开发中心.物理必修1 教师教学用书[M].北京:人民教育出版社,2011:156.
[3]2015广东高考物理真题及参考答案
(栏目编辑 陈 洁)
关键词:弹力方向;沿杆;高考试题
中图分类号:G633.7 文献标识码:A 文章编号:1003-6148(2017)2-0048-3
1 两道试题对比的困惑
题1 如图1所示,水平轻杆的一端固定在墙内,另一端固定一个质量为1.2 kg的小球,水平轻弹簧的拉力为9 N,轻绳与竖直方向的夹角为37 °,轻绳的拉力为10 N(g=10 m/s2),则轻杆对小球的作用力是( )
A.大小为5 N
B.大小为10 N
C.方向与竖直方向成37 °角向右上方
D.方向与竖直方向成37 °角向右下方
题2 (2015·广东)如图2所示,三条绳子的一端都系在细直杆顶端,另一端都固定在水平地面上,将杆竖直紧压在地面上。若三条绳长度不同,下列说法正确的有( )
A.三条绳中的张力都相等
B.杆对地面的压力大于自身重力
C.绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D.绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
分析 题1中,对小球受力分析,小球受自身重力G、轻弹簧的拉力F1、轻绳的拉力F2、轻杆的作用力(图3中没画出)4个力的作用,受力见图3。其中,轻杆作用力情况不能确定。根据题意,重力与弹簧拉力的合力大小F==15 N。设F与竖直方向的夹角为θ,sinθ==,则θ=37 °,即方向与竖直方向成37 °角斜向下,该合力与轻绳的拉力恰好在同一条直线上。根据小球静止,合力为零可知,轻杆对小球的弹力大小为5 N,方向与竖直方向成37 °角斜向右上方。故A、C选项正确。本题中由于杆的一端插入墙壁,固定不能动,平衡时杆上的弹力不沿杆。
对于题2而言:①因为三条绳的长度不同, 说明沿三条绳上的弹力与竖直方向的夹角不相同。杆保持静止,在水平方向三条绳上弹力的水平分力的合力应为零,故三条绳中的张力大小不相等。A选项错误,C选项正确。②由于三条绳在竖直方向有向下的拉力,杆在竖直方向合力为零,杆对地面的压力大于自身重力。B选项正确,D选项错误。故选B、C选项。
困惑:题2中杆被竖直紧压在地面上,地面情况未知,平衡时杆所受地面弹力也可不沿杆。那么,在水平方向三绳拉力水平分力的合力可以不为零。C选项需要商榷。
2 弹力方向沿杆的几种情况
在对弹力方向的判定中,轻绳的张力一定沿绳且指向轻绳收缩的方向。而轻杆不仅能承受纵向的作用力(拉力和压力),还能承受横向的力。因此与绳相比,分析杆的受力(或杆对其接触物的作用力)要复杂一些。教学中常见杆的弹力方向不一定沿杆的方向,但学生对于什么情况下杆的弹力方向沿着杆的方向不清楚,导致涉及轻杆模型问题时受力分析错误,得出错误的结论。现举例说明下列几种情况下杆的弹力方向一定沿杆的方向。
2.1 二力杆受力平衡
满足下面三个条件下:第一,杆两端与其他物体的连接是光滑铰链连接;第二,其他物体对杆的作用力过节点;第三,杆的自重与负荷相比很小,可忽略不计[1]。则轻杆仅受到两个通过节点的力,这样的杆称为二力杆[2]。根据二力平衡原理,在平衡时,作用于通过二力杆上两节点的外力必等大且方向沿同一直线,所以在平衡时二力杆受的力必沿杆的纵向。与此相应,平衡时二力杆作用于外界的力也必沿杆的纵向。这是二力杆的基本性质。可见,二力杆的一端或两端用铰链连接,能自由转动,杆的质量可以忽略不计,否则不成立。
例如:2015年的新课标全国Ⅱ第21题、江苏高考第14题,涉及到的轻杆模型,都是物体通过铰链与轻杆连接,不计摩擦,可以自由转动,作用力过节点,滿足二力杆的三个条件,因此杆上的弹力都沿杆的方向。
2.2 重力场中,轻杆在竖直平面内做圆周运动的“两个特殊点”,即最高点和最低点时所受弹力
在重力场中,当轻杆于竖直平面内做圆周运动时,轻杆运动到竖直位置时的最高点和最低点即为“两个特殊点”。在这“两个特殊点”位置,需要竖直方向上的合力提供物体做圆周运动的向心力,故轻杆的弹力方向沿杆在竖直方向上。
例1 如图4所示,长度为L的轻杆两端固定质量分别为m和2m的两个小球P和Q,在离P球处有一个光滑固定轴O。现将杆从水平位置自由释放,在P球顺时针转动到最高位置时,求:
1)小球P的速度大小;
2)轻杆对小球P弹力大小及方向。
解析 1)两个小球P、Q和杆组成的系统机械能守恒,设P球在最高点时速度为v,P、Q两球同轴转动,角速度相等,Q球运动圆半径是P球运动圆半径的两倍,故Q球的速度是P球的速度的两倍,为2v。由机械能守恒定律得:
2)在最高点,对球P受力分析,球P受自身重力和沿杆弹力的二力作用,假设弹力方向向下,由牛顿第二定律得:
负号说明假设弹力方向向下不正确,杆的弹力向上,是支持力。
2.3 物体或小球具有特定的加速度
例2 如图5所示,固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ,在斜杆下端固定有质量为m的小球,下列关于杆对球的作用力F的判断中,正确的是( )
A.小车静止时,F=mgsinθ,方向沿杆向上
B.小车静止时,F=mgcosθ,方向垂直于杆向上
C. 小车向右以加速度a运动时,一定有F=ma/sinθ
D.小车向左匀速运动时,F=mg,方向竖直向上
解析 小车静止或向左匀速运动时,球受到重力和杆的弹力作用,由二力平衡条件可得杆对球的作用力F=mg,方向竖直向上,故A、B选项错误,D选项正确。小车向右以加速度a运动时,杆对球的作用力F大小和方向会随着向右加速度a大小的变化而变化,只有当a=gtanθ时,此时杆上弹力沿杆,才有F=,如图6所示。故C选项错误。
【拓展延伸】
本题中,若小车以加速度a向左加速运动,求杆对球的作用力F的大小及方向?
解析 小车以加速度a向左加速运动,根据牛顿第二定律可知,小球受到的合力水平向左。则杆对球的作用力F=,方向斜向左上方,与竖直方向的夹角满足tanα=。
2.4 杆带着球在水平面上做匀速圆周运动
在水平面内做匀速圆周运动,因为速率不变,没有切向加速度,只有向心加速度,轻杆上弹力提供球做匀速圆周运动的向心力,故弹力沿杆指向圆心。
例3 轻细杆长为l,一端固定质量为m的小球B,另一与球B相同的小球A固定在轻杆的中点,杆被小球分为Ⅰ、Ⅱ两部分。当杆绕杆另一端O点在光滑水平面上做匀速转动时(如图7所示),求:杆的Ⅰ段对球A的拉力与Ⅱ段对球B的拉力大小之比。
解析 因为小球A、B都绕O点做匀速转动,无切向加速度,轻杆上弹力沿杆提供小球A、B的向心力,它们的角速度相同,设为ω。杆对B的拉力为FB,由牛顿第二定律得:
由(1)(2)两式解得:FA:FB=3:2。
综上分析可见,2015年广东高考物理第7题的C选项值得商榷,杆竖直紧压在地面上,题中地面情况不明确。若地面与杆的摩擦因数比较大,或地面松软,那么杆上的弹力就不一定沿杆。若将本题中杆的下端用铰链连接固定在水平面上,杆可以自由转动,或者地面坚硬光滑,满足二力杆的平衡条件,水平方向三力水平分力的合力应为零,C选项就无疑义了。以上仅供同行参考。参考文献:
[1]漆安慎,杜婵英.普通物理学教程《力学》(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2005:253.
[2]人民教育出版社,课程教材研究所,物理课程教材开发中心.物理必修1 教师教学用书[M].北京:人民教育出版社,2011:156.
[3]2015广东高考物理真题及参考答案
(栏目编辑 陈 洁)