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摘 要：高考物理试题中经常涉及物体与轻杆连接的问题。对物体受力分析时，轻杆上弹力的方向是否沿着杆的方向，学生对此常感到困惑。本文浅析归纳轻杆上的弹力沿杆方向的四种情况。
关键词：弹力方向；沿杆；高考试题
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）2-0048-3
1 两道试题对比的困惑
题1 如图1所示，水平轻杆的一端固定在墙内，另一端固定一个质量为1.2 kg的小球，水平轻弹簧的拉力为9 N，轻绳与竖直方向的夹角为37 °，轻绳的拉力为10 N（g=10 m/s2），则轻杆对小球的作用力是（ ）
A.大小为5 N
B.大小为10 N
C.方向与竖直方向成37 °角向右上方
D.方向与竖直方向成37 °角向右下方
题2 （2015·广东）如图2所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上。若三条绳长度不同，下列说法正确的有（ ）
A.三条绳中的张力都相等
B.杆对地面的压力大于自身重力
C.绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D.绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
分析 题1中，对小球受力分析，小球受自身重力G、轻弹簧的拉力F1、轻绳的拉力F2、轻杆的作用力（图3中没画出）4个力的作用，受力见图3。其中，轻杆作用力情况不能确定。根据题意，重力与弹簧拉力的合力大小F==15 N。设F与竖直方向的夹角为θ，sinθ==，则θ=37 °，即方向与竖直方向成37 °角斜向下，该合力与轻绳的拉力恰好在同一条直线上。根据小球静止，合力为零可知，轻杆对小球的弹力大小为5 N，方向与竖直方向成37 °角斜向右上方。故A、C选项正确。本题中由于杆的一端插入墙壁，固定不能动，平衡时杆上的弹力不沿杆。
对于题2而言：①因为三条绳的长度不同， 说明沿三条绳上的弹力与竖直方向的夹角不相同。杆保持静止，在水平方向三条绳上弹力的水平分力的合力应为零，故三条绳中的张力大小不相等。A选项错误，C选项正确。②由于三条绳在竖直方向有向下的拉力，杆在竖直方向合力为零，杆对地面的压力大于自身重力。B选项正确，D选项错误。故选B、C选项。
困惑：题2中杆被竖直紧压在地面上，地面情况未知，平衡时杆所受地面弹力也可不沿杆。那么，在水平方向三绳拉力水平分力的合力可以不为零。C选项需要商榷。
2 弹力方向沿杆的几种情况
在对弹力方向的判定中，轻绳的张力一定沿绳且指向轻绳收缩的方向。而轻杆不仅能承受纵向的作用力（拉力和压力），还能承受横向的力。因此与绳相比，分析杆的受力（或杆对其接触物的作用力）要复杂一些。教学中常见杆的弹力方向不一定沿杆的方向，但学生对于什么情况下杆的弹力方向沿着杆的方向不清楚，导致涉及轻杆模型问题时受力分析错误，得出错误的结论。现举例说明下列几种情况下杆的弹力方向一定沿杆的方向。
2.1 二力杆受力平衡
满足下面三个条件下：第一，杆两端与其他物体的连接是光滑铰链连接；第二，其他物体对杆的作用力过节点；第三，杆的自重与负荷相比很小，可忽略不计[1]。则轻杆仅受到两个通过节点的力，这样的杆称为二力杆[2]。根据二力平衡原理，在平衡时，作用于通过二力杆上两节点的外力必等大且方向沿同一直线，所以在平衡时二力杆受的力必沿杆的纵向。与此相应，平衡时二力杆作用于外界的力也必沿杆的纵向。这是二力杆的基本性质。可见，二力杆的一端或两端用铰链连接，能自由转动，杆的质量可以忽略不计，否则不成立。
例如：2015年的新课标全国Ⅱ第21题、江苏高考第14题，涉及到的轻杆模型，都是物体通过铰链与轻杆连接，不计摩擦，可以自由转动，作用力过节点，滿足二力杆的三个条件，因此杆上的弹力都沿杆的方向。
2.2 重力场中，轻杆在竖直平面内做圆周运动的“两个特殊点”，即最高点和最低点时所受弹力
在重力场中，当轻杆于竖直平面内做圆周运动时，轻杆运动到竖直位置时的最高点和最低点即为“两个特殊点”。在这“两个特殊点”位置，需要竖直方向上的合力提供物体做圆周运动的向心力，故轻杆的弹力方向沿杆在竖直方向上。
例1 如图4所示，长度为L的轻杆两端固定质量分别为m和2m的两个小球P和Q，在离P球处有一个光滑固定轴O。现将杆从水平位置自由释放，在P球顺时针转动到最高位置时，求：
1）小球P的速度大小；
2）轻杆对小球P弹力大小及方向。
解析 1）两个小球P、Q和杆组成的系统机械能守恒，设P球在最高点时速度为v，P、Q两球同轴转动，角速度相等，Q球运动圆半径是P球运动圆半径的两倍，故Q球的速度是P球的速度的两倍，为2v。由机械能守恒定律得：
2）在最高点，对球P受力分析，球P受自身重力和沿杆弹力的二力作用，假设弹力方向向下，由牛顿第二定律得：
负号说明假设弹力方向向下不正确，杆的弹力向上，是支持力。
2.3 物体或小球具有特定的加速度
例2 如图5所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（ ）
A.小车静止时，F=mgsinθ，方向沿杆向上
B.小车静止时，F=mgcosθ，方向垂直于杆向上
C. 小车向右以加速度a运动时，一定有F=ma/sinθ
D.小车向左匀速运动时，F=mg，方向竖直向上
解析 小车静止或向左匀速运动时，球受到重力和杆的弹力作用，由二力平衡条件可得杆对球的作用力F=mg，方向竖直向上，故A、B选项错误，D选项正确。小车向右以加速度a运动时，杆对球的作用力F大小和方向会随着向右加速度a大小的变化而变化，只有当a=gtanθ时，此时杆上弹力沿杆，才有F=，如图6所示。故C选项错误。
【拓展延伸】
本题中，若小车以加速度a向左加速运动，求杆对球的作用力F的大小及方向？
解析 小车以加速度a向左加速运动，根据牛顿第二定律可知，小球受到的合力水平向左。则杆对球的作用力F=，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角满足tanα=。
2.4 杆带着球在水平面上做匀速圆周运动
在水平面内做匀速圆周运动，因为速率不变，没有切向加速度，只有向心加速度，轻杆上弹力提供球做匀速圆周运动的向心力，故弹力沿杆指向圆心。
例3 轻细杆长为l，一端固定质量为m的小球B，另一与球B相同的小球A固定在轻杆的中点，杆被小球分为Ⅰ、Ⅱ两部分。当杆绕杆另一端O点在光滑水平面上做匀速转动时（如图7所示），求：杆的Ⅰ段对球A的拉力与Ⅱ段对球B的拉力大小之比。
解析 因为小球A、B都绕O点做匀速转动，无切向加速度，轻杆上弹力沿杆提供小球A、B的向心力，它们的角速度相同，设为ω。杆对B的拉力为FB，由牛顿第二定律得：
由（1）（2）两式解得：FA：FB=3：2。
综上分析可见，2015年广东高考物理第7题的C选项值得商榷，杆竖直紧压在地面上，题中地面情况不明确。若地面与杆的摩擦因数比较大，或地面松软，那么杆上的弹力就不一定沿杆。若将本题中杆的下端用铰链连接固定在水平面上，杆可以自由转动，或者地面坚硬光滑，满足二力杆的平衡条件，水平方向三力水平分力的合力应为零，C选项就无疑义了。以上仅供同行参考。参考文献：
[1]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程《力学》（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2005：253.
[2]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材开发中心.物理必修1 教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2011：156.
[3]2015广东高考物理真题及参考答案
（栏目编辑 陈 洁）
关键词：弹力方向；沿杆；高考试题
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）2-0048-3
1 两道试题对比的困惑
题1 如图1所示，水平轻杆的一端固定在墙内，另一端固定一个质量为1.2 kg的小球，水平轻弹簧的拉力为9 N，轻绳与竖直方向的夹角为37 °，轻绳的拉力为10 N（g=10 m/s2），则轻杆对小球的作用力是（ ）
A.大小为5 N
B.大小为10 N
C.方向与竖直方向成37 °角向右上方
D.方向与竖直方向成37 °角向右下方
题2 （2015·广东）如图2所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上。若三条绳长度不同，下列说法正确的有（ ）
A.三条绳中的张力都相等
B.杆对地面的压力大于自身重力
C.绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D.绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
分析 题1中，对小球受力分析，小球受自身重力G、轻弹簧的拉力F1、轻绳的拉力F2、轻杆的作用力（图3中没画出）4个力的作用，受力见图3。其中，轻杆作用力情况不能确定。根据题意，重力与弹簧拉力的合力大小F==15 N。设F与竖直方向的夹角为θ，sinθ==，则θ=37 °，即方向与竖直方向成37 °角斜向下，该合力与轻绳的拉力恰好在同一条直线上。根据小球静止，合力为零可知，轻杆对小球的弹力大小为5 N，方向与竖直方向成37 °角斜向右上方。故A、C选项正确。本题中由于杆的一端插入墙壁，固定不能动，平衡时杆上的弹力不沿杆。
对于题2而言：①因为三条绳的长度不同， 说明沿三条绳上的弹力与竖直方向的夹角不相同。杆保持静止，在水平方向三条绳上弹力的水平分力的合力应为零，故三条绳中的张力大小不相等。A选项错误，C选项正确。②由于三条绳在竖直方向有向下的拉力，杆在竖直方向合力为零，杆对地面的压力大于自身重力。B选项正确，D选项错误。故选B、C选项。
困惑：题2中杆被竖直紧压在地面上，地面情况未知，平衡时杆所受地面弹力也可不沿杆。那么，在水平方向三绳拉力水平分力的合力可以不为零。C选项需要商榷。
2 弹力方向沿杆的几种情况
在对弹力方向的判定中，轻绳的张力一定沿绳且指向轻绳收缩的方向。而轻杆不仅能承受纵向的作用力（拉力和压力），还能承受横向的力。因此与绳相比，分析杆的受力（或杆对其接触物的作用力）要复杂一些。教学中常见杆的弹力方向不一定沿杆的方向，但学生对于什么情况下杆的弹力方向沿着杆的方向不清楚，导致涉及轻杆模型问题时受力分析错误，得出错误的结论。现举例说明下列几种情况下杆的弹力方向一定沿杆的方向。
2.1 二力杆受力平衡
满足下面三个条件下：第一，杆两端与其他物体的连接是光滑铰链连接；第二，其他物体对杆的作用力过节点；第三，杆的自重与负荷相比很小，可忽略不计[1]。则轻杆仅受到两个通过节点的力，这样的杆称为二力杆[2]。根据二力平衡原理，在平衡时，作用于通过二力杆上两节点的外力必等大且方向沿同一直线，所以在平衡时二力杆受的力必沿杆的纵向。与此相应，平衡时二力杆作用于外界的力也必沿杆的纵向。这是二力杆的基本性质。可见，二力杆的一端或两端用铰链连接，能自由转动，杆的质量可以忽略不计，否则不成立。
例如：2015年的新课标全国Ⅱ第21题、江苏高考第14题，涉及到的轻杆模型，都是物体通过铰链与轻杆连接，不计摩擦，可以自由转动，作用力过节点，滿足二力杆的三个条件，因此杆上的弹力都沿杆的方向。
2.2 重力场中，轻杆在竖直平面内做圆周运动的“两个特殊点”，即最高点和最低点时所受弹力
在重力场中，当轻杆于竖直平面内做圆周运动时，轻杆运动到竖直位置时的最高点和最低点即为“两个特殊点”。在这“两个特殊点”位置，需要竖直方向上的合力提供物体做圆周运动的向心力，故轻杆的弹力方向沿杆在竖直方向上。
例1 如图4所示，长度为L的轻杆两端固定质量分别为m和2m的两个小球P和Q，在离P球处有一个光滑固定轴O。现将杆从水平位置自由释放，在P球顺时针转动到最高位置时，求：
1）小球P的速度大小；
2）轻杆对小球P弹力大小及方向。
解析 1）两个小球P、Q和杆组成的系统机械能守恒，设P球在最高点时速度为v，P、Q两球同轴转动，角速度相等，Q球运动圆半径是P球运动圆半径的两倍，故Q球的速度是P球的速度的两倍，为2v。由机械能守恒定律得：
2）在最高点，对球P受力分析，球P受自身重力和沿杆弹力的二力作用，假设弹力方向向下，由牛顿第二定律得：
负号说明假设弹力方向向下不正确，杆的弹力向上，是支持力。
2.3 物体或小球具有特定的加速度
例2 如图5所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（ ）
A.小车静止时，F=mgsinθ，方向沿杆向上
B.小车静止时，F=mgcosθ，方向垂直于杆向上
C. 小车向右以加速度a运动时，一定有F=ma/sinθ
D.小车向左匀速运动时，F=mg，方向竖直向上
解析 小车静止或向左匀速运动时，球受到重力和杆的弹力作用，由二力平衡条件可得杆对球的作用力F=mg，方向竖直向上，故A、B选项错误，D选项正确。小车向右以加速度a运动时，杆对球的作用力F大小和方向会随着向右加速度a大小的变化而变化，只有当a=gtanθ时，此时杆上弹力沿杆，才有F=，如图6所示。故C选项错误。
【拓展延伸】
本题中，若小车以加速度a向左加速运动，求杆对球的作用力F的大小及方向？
解析 小车以加速度a向左加速运动，根据牛顿第二定律可知，小球受到的合力水平向左。则杆对球的作用力F=，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角满足tanα=。
2.4 杆带着球在水平面上做匀速圆周运动
在水平面内做匀速圆周运动，因为速率不变，没有切向加速度，只有向心加速度，轻杆上弹力提供球做匀速圆周运动的向心力，故弹力沿杆指向圆心。
例3 轻细杆长为l，一端固定质量为m的小球B，另一与球B相同的小球A固定在轻杆的中点，杆被小球分为Ⅰ、Ⅱ两部分。当杆绕杆另一端O点在光滑水平面上做匀速转动时（如图7所示），求：杆的Ⅰ段对球A的拉力与Ⅱ段对球B的拉力大小之比。
解析 因为小球A、B都绕O点做匀速转动，无切向加速度，轻杆上弹力沿杆提供小球A、B的向心力，它们的角速度相同，设为ω。杆对B的拉力为FB，由牛顿第二定律得：
由（1）（2）两式解得：FA：FB=3：2。
综上分析可见，2015年广东高考物理第7题的C选项值得商榷，杆竖直紧压在地面上，题中地面情况不明确。若地面与杆的摩擦因数比较大，或地面松软，那么杆上的弹力就不一定沿杆。若将本题中杆的下端用铰链连接固定在水平面上，杆可以自由转动，或者地面坚硬光滑，满足二力杆的平衡条件，水平方向三力水平分力的合力应为零，C选项就无疑义了。以上仅供同行参考。参考文献：
[1]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程《力学》（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2005：253.
[2]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材开发中心.物理必修1 教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2011：156.
[3]2015广东高考物理真题及参考答案
（栏目编辑 陈 洁）