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摘 要：2010年高考数学四川卷理科第12题是一道立意较高、能够有效地考查学生思维品质的试题． 本文通过运用消元思想、均值不等式、换元法和求导法，给出了本题的九种解答思路，展示了本题多维度的教学价值．
关键词：高考数学；思路；赏析
2010年高考数学四川卷理科第12题：设a>b>c>0，则2a2++－10ac+25c2的最小值是（ ）
A． 2 B． 4 C． 2 D． 5
从高考中本题得分率偏低的角度来看，本题是一个难度较高的试题．在高考评卷时，有的阅卷教师惊呼它是一道“错题”，理由是“等号不能成立”． 实际上，本题是一道立意较高、能够有效地考查学生思维品质的试题． 同时，这也是一道具有方法论价值的试题，在这道题的解答中蕴涵着丰富的数学思想方法，可以从多种维度，运用多种思想方法进行解答．
消元的思想方法
“消元”本是解方程中常用的思想方法，现在要迁移到不等式问题的解答当中，确有一定的困难，但如果利用不等式证明当中的放缩法，就可以达到消元的目的． 根据本题所提供的代数式的特点，比较容易激活学生“长时记忆”中的完全平方公式以及“配方法”，然后利用平方数非负的性质，运用放缩的策略，便可以逐次消去变量a，b，c．
思路1：注意到a>b>c>0，则围绕配方有如下变形
2a2++－10ac+25c2=a2++（a－5c）2≥a2+=a2+≥a2+=a-2+4≥4．
等号成立的条件：a=5c，b=，a=，即a=，b=，c=．
均值不等式的运用
完成了关于c的消元之后，下面的两种思路是考生容易想到的．
思路2：通过添项，配凑出利用均值不等式求最小值的条件：“积一定”．
2a2++－10ac+25c2≥a2++=（a2－ab）++ab+≥4．
等号成立的条件是：a=5c，a2－ab=，ab=，解之得a=，b=，c=．
思路3：注意到ab+a（a－b）=a2，利用调和平均值不等式，有
≤=，
即+≥，从而有a2++≥a2+≥4．
如果将+化简为，则有可能把解题引上“黑道”，得出“等号不能成立”的结论． 下面的两种思路就是这样的“黑道”．
思路4*：利用配方法与均值不等式有
a2++=a2+=a2－ab+b2+（ab－b2）+=a－2++（ab－b2）+≥2．
上式中的等号显然是不能成立．
思路5*：利用三元均值不等式有
a2+=（a2－a）+b+（a－b）+≥a－2－+3≥，此式中的两个等号不能同时成立．
对于思路4*，等号不能成立的原因是由于出现了项（显然不能为零），为了消除这样的项，可以做如下的修正：
思路4：a2+=a2－4ab+4b2+4（ab－b2）+≥（a－2b）2+4≥4，
显然，等号是成立的．
?摇?摇关于思路5*，为使两个等号同时成立，需设法找到一个“平衡点”，这可以借助待定系数法来完成．
思路5：
a2+=（a2－la）+lb+l（a－b）+≥a－2－+3≥3－，等号成立的条件是：a=，lb=l（a－b）=，由可解得l=2，a=，b=． 此时，a2+≥3－=4．
整合思路1与思路5中的配方，可以得到只需利用配方法就能得到答案的思路．
思路6：
2a2++－10ac+25c2=（a2－4ab+4b2）+4b（a－b）++（a2－10ac+c2）=（a－2b）2+2－2+（a－5c）2+4≥4．
从思路6可以看出，单从“配方”的角度讲，初中的学生也可以解答本题．
换元法
为了达到“化繁为简”的目的，可采用换元的方法．通过换元可使那些隐含的特征与结构显现出来，为此又有两种方法．
思路7：令=t（t>0），则a=b+，从而有a2+=b+2+t=b2+++t≥+t≥4．
思路8：令a－b=t（t>0），则a=b+t，这样有
a2+=（b+t）2+=（b－t）2+4bt+≥4．
逐次求导法
前述各种方法均是建立在“消元”与“配方”基础上的，特别是关于变量c的消元，由于受定式思维的影响（学生习惯于将“消元”与方程联系在一起），并且缺乏利用不等式的放缩来进行消元的经验，学生很难想到相应的思路．如果利用学生比较熟悉的“用导数求极值”的方法，则可以降低思维和技巧上的要求． 较为棘手的是题目中含有三个变量，但只要依次把其中的一个看成主变量（其他的看成系数），通过求导的方法，逐次求其最小值，便可以较为明确的程序获得答案．
思路9：令f（c）=2a2++－10ac+25c2，则f′（c）=－10a+50c，令f′（c）=0，可得函数f（c）的唯一的一个极值点c=，容易判定这是一个极小值点（也是最小值点），从而有
f（c）≥f（）=a2++．
再令g（b）=a2++，通过求导可得函数g（b）的最小值点为b=，因此，g（b）≥g=a2+．
最后另h（a）=a2+，同样通过求导可得函数h（a）的最小值点为a=，这样就有
h（a）≥f（）=4．
综上所述，f（c）≥g（b）≥h（a）≥4．
在上述解答过程中，对三个变量逐次求导的顺序没有特别的要求，如本题中也可以先对变量b求导，再对c求导，最后对a求导． 这种逐次求导求最值的方法是一个具有普遍性的方法，它可以较为简单地、程式化地处理那些含有多个变量的最值问题（多元函数的最值问题）．
从以上讨论可以看出，作为考题，本题涉及的知识面较广，思路开阔，方法多样，注重了对“通性通法”以及学生的思维品质和能力水平的考查，既可以检验考生对“双基”的理解、熟练水平，也可以考量他们对“基本数学思想与基本数学活动经验”的掌握、运用程度． 从教学的角度，通过本题的学习和探讨，可以完善学生的认知结构，修正和优化思维方式，培养他们的创新意识和创新能力． 造成本题难度较高的主要原因不在试题自身，而在于教学中运用了不利于学生思维发展的教学方式． 对那些以重复记忆的学习方法为主、靠“题型+方法”与“题海战术”训练出来的考生而言，面对本题自然会一筹莫展． 因此，本题对消除数学教学中的弊端、促进数学教学改革有较好的导向作用．
关键词：高考数学；思路；赏析
2010年高考数学四川卷理科第12题：设a>b>c>0，则2a2++－10ac+25c2的最小值是（ ）
A． 2 B． 4 C． 2 D． 5
从高考中本题得分率偏低的角度来看，本题是一个难度较高的试题．在高考评卷时，有的阅卷教师惊呼它是一道“错题”，理由是“等号不能成立”． 实际上，本题是一道立意较高、能够有效地考查学生思维品质的试题． 同时，这也是一道具有方法论价值的试题，在这道题的解答中蕴涵着丰富的数学思想方法，可以从多种维度，运用多种思想方法进行解答．
消元的思想方法
“消元”本是解方程中常用的思想方法，现在要迁移到不等式问题的解答当中，确有一定的困难，但如果利用不等式证明当中的放缩法，就可以达到消元的目的． 根据本题所提供的代数式的特点，比较容易激活学生“长时记忆”中的完全平方公式以及“配方法”，然后利用平方数非负的性质，运用放缩的策略，便可以逐次消去变量a，b，c．
思路1：注意到a>b>c>0，则围绕配方有如下变形
2a2++－10ac+25c2=a2++（a－5c）2≥a2+=a2+≥a2+=a-2+4≥4．
等号成立的条件：a=5c，b=，a=，即a=，b=，c=．
均值不等式的运用
完成了关于c的消元之后，下面的两种思路是考生容易想到的．
思路2：通过添项，配凑出利用均值不等式求最小值的条件：“积一定”．
2a2++－10ac+25c2≥a2++=（a2－ab）++ab+≥4．
等号成立的条件是：a=5c，a2－ab=，ab=，解之得a=，b=，c=．
思路3：注意到ab+a（a－b）=a2，利用调和平均值不等式，有
≤=，
即+≥，从而有a2++≥a2+≥4．
如果将+化简为，则有可能把解题引上“黑道”，得出“等号不能成立”的结论． 下面的两种思路就是这样的“黑道”．
思路4*：利用配方法与均值不等式有
a2++=a2+=a2－ab+b2+（ab－b2）+=a－2++（ab－b2）+≥2．
上式中的等号显然是不能成立．
思路5*：利用三元均值不等式有
a2+=（a2－a）+b+（a－b）+≥a－2－+3≥，此式中的两个等号不能同时成立．
对于思路4*，等号不能成立的原因是由于出现了项（显然不能为零），为了消除这样的项，可以做如下的修正：
思路4：a2+=a2－4ab+4b2+4（ab－b2）+≥（a－2b）2+4≥4，
显然，等号是成立的．
?摇?摇关于思路5*，为使两个等号同时成立，需设法找到一个“平衡点”，这可以借助待定系数法来完成．
思路5：
a2+=（a2－la）+lb+l（a－b）+≥a－2－+3≥3－，等号成立的条件是：a=，lb=l（a－b）=，由可解得l=2，a=，b=． 此时，a2+≥3－=4．
整合思路1与思路5中的配方，可以得到只需利用配方法就能得到答案的思路．
思路6：
2a2++－10ac+25c2=（a2－4ab+4b2）+4b（a－b）++（a2－10ac+c2）=（a－2b）2+2－2+（a－5c）2+4≥4．
从思路6可以看出，单从“配方”的角度讲，初中的学生也可以解答本题．
换元法
为了达到“化繁为简”的目的，可采用换元的方法．通过换元可使那些隐含的特征与结构显现出来，为此又有两种方法．
思路7：令=t（t>0），则a=b+，从而有a2+=b+2+t=b2+++t≥+t≥4．
思路8：令a－b=t（t>0），则a=b+t，这样有
a2+=（b+t）2+=（b－t）2+4bt+≥4．
逐次求导法
前述各种方法均是建立在“消元”与“配方”基础上的，特别是关于变量c的消元，由于受定式思维的影响（学生习惯于将“消元”与方程联系在一起），并且缺乏利用不等式的放缩来进行消元的经验，学生很难想到相应的思路．如果利用学生比较熟悉的“用导数求极值”的方法，则可以降低思维和技巧上的要求． 较为棘手的是题目中含有三个变量，但只要依次把其中的一个看成主变量（其他的看成系数），通过求导的方法，逐次求其最小值，便可以较为明确的程序获得答案．
思路9：令f（c）=2a2++－10ac+25c2，则f′（c）=－10a+50c，令f′（c）=0，可得函数f（c）的唯一的一个极值点c=，容易判定这是一个极小值点（也是最小值点），从而有
f（c）≥f（）=a2++．
再令g（b）=a2++，通过求导可得函数g（b）的最小值点为b=，因此，g（b）≥g=a2+．
最后另h（a）=a2+，同样通过求导可得函数h（a）的最小值点为a=，这样就有
h（a）≥f（）=4．
综上所述，f（c）≥g（b）≥h（a）≥4．
在上述解答过程中，对三个变量逐次求导的顺序没有特别的要求，如本题中也可以先对变量b求导，再对c求导，最后对a求导． 这种逐次求导求最值的方法是一个具有普遍性的方法，它可以较为简单地、程式化地处理那些含有多个变量的最值问题（多元函数的最值问题）．
从以上讨论可以看出，作为考题，本题涉及的知识面较广，思路开阔，方法多样，注重了对“通性通法”以及学生的思维品质和能力水平的考查，既可以检验考生对“双基”的理解、熟练水平，也可以考量他们对“基本数学思想与基本数学活动经验”的掌握、运用程度． 从教学的角度，通过本题的学习和探讨，可以完善学生的认知结构，修正和优化思维方式，培养他们的创新意识和创新能力． 造成本题难度较高的主要原因不在试题自身，而在于教学中运用了不利于学生思维发展的教学方式． 对那些以重复记忆的学习方法为主、靠“题型+方法”与“题海战术”训练出来的考生而言，面对本题自然会一筹莫展． 因此，本题对消除数学教学中的弊端、促进数学教学改革有较好的导向作用．