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[摘 要] “理解算理”和“形成算法”是计算教学的主要目标，而实现这一目标采取的教法与学法不尽相同。随着课程改革的深入，中式教学需要借鉴、改变、创新，但其宗旨应是顺应儿童发展，促进其思维提升、能力形成，这便是中式教学要放眼西方之目的所在。
[关键词] 计算教学；英式教学；中式教学；比较
随着课程改革的深入，中式教学需要借鉴、改变、创新，但其宗旨应是顺应儿童发展，促进其思维提升、能力形成，这便是中式教学要放眼西方之目的所在。下面结合《两位数除以一位数》的计算课，且析中式教学与英式教学几处不同，以反思中式教学之不足及亟须改进之处。
一、课堂教学的内在逻辑不同
课堂教学的内在逻辑是指课堂教学符合教学内容的内在组织性和学生接受知识的思维规律和思维习惯，是课堂教学全部信息的组织化、有序化、层次化和系统化的一个总概念。
《两位数除以一位数》的核心知识点是在理解算理的基础上掌握其算法。学习素材包括“首位能整除（如96÷3）”和“首位不能整除（如87÷3）”两种情况，通过借助学具操作理解两位数除以一位数的算理，即先分几个十，再分几个一，最后把两次分得的结果合起来，从笔算过程来看，就是先用一位数去除十位上的数，如果有余数，余下的数再和个位上的数合起来除以这个一位数，形成竖式计算的一般方法。
中式教学将此学习内容分成两课时进行教学，第一课时教学“首位能整除（96÷3）”，通过学具操作理解算理，形成竖式计算的方法；第二课时再教学“首位不能整除（87÷3）”的情况。分成两课时进行教学的考虑是分散竖式计算的难点，第一课时不涉及除到十位还有余数的情况，主要引导学生形成竖式计算的基本方法，即一位数除十位上的数，商表示几个十，记在十位上；一位数除个位上的数，商表示几个一，记在个位上。第二课时再教学一位数除十位上的数仍有余数，就要把余下的数与个位上的数合起来继续除。通过两课时的教學，完成对除法竖式计算算理的理解和算法的建构。
下面来看看英国课堂是怎样设计这一内容教学的。
1.模具演示——学习新知
教师借助3只鲨鱼平均分配87条小鱼的问题情境，要求学生借助学具操作计算87除以3的结果。学生自动分成两人一组开始合作。合作的过程中，小组成员积极交流，共同研究。
组1：每只鲨鱼先分一排学具（10个），再分一排学具（10个），接着每只鲨鱼分5个，最后每只鲨鱼分4个，这样每只鲨鱼共分29个。
组2：每只鲨鱼先分两排学具（20个），接着每只鲨鱼分5个，最后每只鲨鱼分4个。（这一小组的操作过程中，组员不断再尝试最佳分法，不断进行调整。）
组3：每只鲨鱼分20个，剩下27个，学生通过乘法口诀已知3乘9等于27，这样每只鲨鱼共分29个。（图1所示是教学创设的问题情境——87条小鱼，平均分给3条鲨鱼，每只鲨鱼能分到多少条小鱼？）
这一环节用时比较长，大约20分钟，学生活動期间，教师和助教分别在A、B两组进行观察、指导、纠错。
完成“87÷3”的学具操作后，教师请学生在每组的信封中再选出不同的两位数代表小鱼的数量，分给3只鲨鱼，如“96÷3”“45÷3”等。学生仍然以两人小组合作的方式操作学具进行计算，活动时间大约15分钟。
2.教师讲授——形成算法
每个小组通过学具操作完成3题以上的除法计算后，教师向学生介绍除法竖式的写法。
每只鲨鱼先分10条，87-30=57；每只鲨鱼再分10条，57-30=27；每只鲨鱼分9条，27-27=0，10 10 9=29。
（图3展示的就是教师向学生讲授如何用竖式方法计算87÷3）
接着，教师让学生模仿这样的竖式算法来计算“96÷4”。这一环节大约25分钟，这期间教师和助教仍然分别在A、B两组进行指导、纠错。
3.全课总结
对比两种不同的教学，可以看出课堂教学的内在逻辑依据明显不同。英式教学根据学生学习知识的思维规律来组织学习素材。中式教学则更重于根据知识的深度来组织教学内容，将“首位能整除”和“首位不能整除”作为教学两位数除以一位数计算的两个层次，并在第一课时形成竖式计算的基本算法，再将此推广至新知学习，使得难点分散、层层递进，整个课堂教学环节的安排主要以知识学习的深度为序。从知识建构的角度而言，英式教学更偏向先整体认知再形成技能，而中式教学则偏向于先细节突破再整体建构。
二、学习方式的选择运用不同
6—12岁的儿童认知发展正处在由直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，尤其是低年段学生在很大程度上是依靠动作进行思维，依靠直观感知获得知识经验。操作活动是解决数学学科的抽象性与小学生具体形象思维认识水平之间矛盾的重要手段。因此，在小学阶段数学学习中，“操作活动”是一种主要的学习方式，通过操作活动启迪思维，促进思维在操作中得到发展，重视从直观操作方式逐步过渡到在头脑中建立表象，从而在不断积累感性经验的基础之上发展个体的抽象逻辑思维能力。
对这一学习方式的认识，英式教学与中式教学都有同样的体现，即通过操作学具的直观手段，积累相应的数学活动经验，丰富对数学概念的建构、计算方法的形成等诸多体验，从而促进形象思维向抽象思维的转化。但对比两种教学，可以看出对操作活动的安排组织，其明显不同在于时间的控制和空间的开放度。相比之下，英式教学中的操作活动时间更为充足（约占整节课时间60分钟的60%），学生体验得更为充分，这就是授课教师所提到的通过“视觉冲击”促进对数学概念的理解。中式教学组织操作活动的目标一般有两个：其一是结合学具操作，理解两位数除以一位数的算理；其二则是通过这种操作过程帮助学生形成竖式计算的表象，借助“数形结合”的方式形成竖式计算的一般算法，且后者的比重更大一些。操作活动主要为形成算法而服务，过程性的体验是为了知识目标的达成，因此活动时间更多服从于整节课知识目标学习的需要，学生在操作活动中的思维空间更多由教师所掌控，较少会出现不同的操作方法。 同样基于儿童的学习心理和认知规律，即使选择和运用相同的學习方式，但由于教育理念的差异，却让课堂教学呈现出较大不同，比较可见，中式教学的取向更接近“知识本位”，英式教学则更体现“以人为本”。这一点亦可从对知识目标的达成评价上窥见一斑。英式教学中，教师呈现的竖式计算如图4，而学生在独立练习时写出的竖式计算如图5，显然，教师所预设的知识目标考虑更多的是一般思维水平的儿童，但教师并没有将此作为评价知识目标达成的唯一标准，对于不同的竖式计算都予以了肯定。事实上，不同的竖式反映的是学生将操作过程抽象为符号表征的不同水平，即通过这一过程已经实现了借助知识学习这一载体从直观形象思维向抽象逻辑思维发展的基本目标，其具体表现形式是学习者个体认知建构的不同反馈，因个体差异，其表现形式存在不同是完全正常的。再看中式教学，对于竖式计算的书写规范有较为严格的要求，如十位上的8除以3，最大可以商2，2写在十位上；20×3=60，6表示6个10，6和十位上的8对齐写，0可以省略不写；十位余下2，要和个位上的7合起来表示27个1，再继续除商9，9要写在个位上，9×3=27，27-27=0（如图6所示）。两位数除以一位数的计算，需要分解计算的步骤比较多，每一步都需要用到除法计算和乘法计算，还有可能用到有余数的除法计算，且两位数除以一位数一般需要重复两次这样的除法、乘法、减法计算步骤，这对口算能力一般、反应速度较慢的学生而言，难度本身就比较大，加之书写格式上的要求，无形中又提高了知识目标以外的形式上的难度要求，大大减轻了“思维发展”的比重，造成了“重形式輕发展”的现象。
三、个别化教学的体现实施不同
当然，由于中西方文化和教育理念的差异，对课堂教学的评价没有绝对的优劣标准。但比较两种课堂教学，不得不谈的是助教的作用。
参与这节课学习是英国普通小学的一个班，全班共12人，分成两个小组，每个小组分别是6人，A组学生整体水平略高于班级平均水平，B组则相对略低一些。授课教师主要在A组参与辅导，而助教则全程参与B组的所有活动，及时地向组内学生解释说明授课教师的要求，倾听学生的交流并及时给授课教师信息反馈，在学生遇到困难时，又及时讲解、指导；助教协助授课教师组织、协调学生的活动，发挥的作用非常大。可以说，助教的工作在某种程度上比授课教师更辛苦。竖式计算是本课学习的难点，A组有2人能够正确计算，其余学生无法独立完成，但学生之间开始互相讨论，授课教师参与指导；B组无人能独立完成，助教在小组内重新进行讲解，并一一指导。
相对而言，中式教学班一般班额都较大，面对40至50人的大班额要想做到为每一位学生提供适性的教育，无论是硬件投入还是资源保障方面都是存在困难的，教师将平均水平作为学情考量依据，这是确保教学达到底线的一般做法，也是教学评价的一般依据（将班级平均分作为量化考察的指标），但这样做对整个班级中三分之一的优秀生和三分之一的学困生而言，都是不切合学习需求的，因此产生了大量的课后辅导工作，也产生了大量不符合科学规律的教学方式，这不仅增加了教师的工作负担和学生的学业负担，同时也让学习活动变成违背儿童发展规律的机械操练。所幸现实问题已经被重视，当下的教学强调儿童主动参与、自主学习、自主发展的“自主性”理念，积极倡导凸显教育过程中的人文精神，关注师生生命成长的“人文性”理念，建构开放式的教育系统，摆脱僵化的线性教学，为儿童创造充分的发展空间的“开放性”理念以及注重采取适合儿童差异的教学策略的“个别性”理念已经渐入人心。尤其是历经十五年的南京“小班化教学模式与实践”中所提出的“全纳性、个别化、活动化”课堂教学三大原则，正是中式教学对其存在的弊病做出的积极改变。“全纳性”原则，要求教育者避免任何形式的教育歧视，应无条件地接纳所有学生，平等地对待每位学生，让每位学生都能享受到尊重、关怀与认可；“个别化”原则，则强调为每一位学生提供适性的教育，倡导关注百分百课堂参与度的教学、提供学生自主选择的教学、注重及时强化与及早跟进的教学；“活动化”原则更强调课堂必须从高控制走向高互动，激发个体、同桌、小组、全班的活动，提升师生教学活动的密度、强度和互动度，从而实现自主学习、合作学习、探究学习的教学效益。
综上之分析比较，作为教育资源尚不丰厚的当下，中式教学可以做出如下改变——打破单向线性路径的教学模式，敢于突破教学预设，智慧应对课堂生成，顺应儿童思维特征多维度多方式引导学习，这是对儿童发展需求的尊重；改变教师控制进度的教学环境，提供必要的辅助资源，如针对难点的微课教学视频可供需要的学生反复观看、优秀学生担任的“小先生”提供及时辅导、适合不同学习进度学生的“分层教学”等，这是对每一个学生发展的尊重；倡导活动化游戏化综合性的学习方式，通过双手动作刺激大脑发育，通过具体操作活动经历探究发现的过程，通过问题解决体验数学与生活的密切联系，这是对生命成长的尊重。
责任编辑 王 慧
[关键词] 计算教学；英式教学；中式教学；比较
随着课程改革的深入，中式教学需要借鉴、改变、创新，但其宗旨应是顺应儿童发展，促进其思维提升、能力形成，这便是中式教学要放眼西方之目的所在。下面结合《两位数除以一位数》的计算课，且析中式教学与英式教学几处不同，以反思中式教学之不足及亟须改进之处。
一、课堂教学的内在逻辑不同
课堂教学的内在逻辑是指课堂教学符合教学内容的内在组织性和学生接受知识的思维规律和思维习惯，是课堂教学全部信息的组织化、有序化、层次化和系统化的一个总概念。
《两位数除以一位数》的核心知识点是在理解算理的基础上掌握其算法。学习素材包括“首位能整除（如96÷3）”和“首位不能整除（如87÷3）”两种情况，通过借助学具操作理解两位数除以一位数的算理，即先分几个十，再分几个一，最后把两次分得的结果合起来，从笔算过程来看，就是先用一位数去除十位上的数，如果有余数，余下的数再和个位上的数合起来除以这个一位数，形成竖式计算的一般方法。
中式教学将此学习内容分成两课时进行教学，第一课时教学“首位能整除（96÷3）”，通过学具操作理解算理，形成竖式计算的方法；第二课时再教学“首位不能整除（87÷3）”的情况。分成两课时进行教学的考虑是分散竖式计算的难点，第一课时不涉及除到十位还有余数的情况，主要引导学生形成竖式计算的基本方法，即一位数除十位上的数，商表示几个十，记在十位上；一位数除个位上的数，商表示几个一，记在个位上。第二课时再教学一位数除十位上的数仍有余数，就要把余下的数与个位上的数合起来继续除。通过两课时的教學，完成对除法竖式计算算理的理解和算法的建构。
下面来看看英国课堂是怎样设计这一内容教学的。
1.模具演示——学习新知
教师借助3只鲨鱼平均分配87条小鱼的问题情境，要求学生借助学具操作计算87除以3的结果。学生自动分成两人一组开始合作。合作的过程中，小组成员积极交流，共同研究。
组1：每只鲨鱼先分一排学具（10个），再分一排学具（10个），接着每只鲨鱼分5个，最后每只鲨鱼分4个，这样每只鲨鱼共分29个。
组2：每只鲨鱼先分两排学具（20个），接着每只鲨鱼分5个，最后每只鲨鱼分4个。（这一小组的操作过程中，组员不断再尝试最佳分法，不断进行调整。）
组3：每只鲨鱼分20个，剩下27个，学生通过乘法口诀已知3乘9等于27，这样每只鲨鱼共分29个。（图1所示是教学创设的问题情境——87条小鱼，平均分给3条鲨鱼，每只鲨鱼能分到多少条小鱼？）
这一环节用时比较长，大约20分钟，学生活動期间，教师和助教分别在A、B两组进行观察、指导、纠错。
完成“87÷3”的学具操作后，教师请学生在每组的信封中再选出不同的两位数代表小鱼的数量，分给3只鲨鱼，如“96÷3”“45÷3”等。学生仍然以两人小组合作的方式操作学具进行计算，活动时间大约15分钟。
2.教师讲授——形成算法
每个小组通过学具操作完成3题以上的除法计算后，教师向学生介绍除法竖式的写法。
每只鲨鱼先分10条，87-30=57；每只鲨鱼再分10条，57-30=27；每只鲨鱼分9条，27-27=0，10 10 9=29。
（图3展示的就是教师向学生讲授如何用竖式方法计算87÷3）
接着，教师让学生模仿这样的竖式算法来计算“96÷4”。这一环节大约25分钟，这期间教师和助教仍然分别在A、B两组进行指导、纠错。
3.全课总结
对比两种不同的教学，可以看出课堂教学的内在逻辑依据明显不同。英式教学根据学生学习知识的思维规律来组织学习素材。中式教学则更重于根据知识的深度来组织教学内容，将“首位能整除”和“首位不能整除”作为教学两位数除以一位数计算的两个层次，并在第一课时形成竖式计算的基本算法，再将此推广至新知学习，使得难点分散、层层递进，整个课堂教学环节的安排主要以知识学习的深度为序。从知识建构的角度而言，英式教学更偏向先整体认知再形成技能，而中式教学则偏向于先细节突破再整体建构。
二、学习方式的选择运用不同
6—12岁的儿童认知发展正处在由直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，尤其是低年段学生在很大程度上是依靠动作进行思维，依靠直观感知获得知识经验。操作活动是解决数学学科的抽象性与小学生具体形象思维认识水平之间矛盾的重要手段。因此，在小学阶段数学学习中，“操作活动”是一种主要的学习方式，通过操作活动启迪思维，促进思维在操作中得到发展，重视从直观操作方式逐步过渡到在头脑中建立表象，从而在不断积累感性经验的基础之上发展个体的抽象逻辑思维能力。
对这一学习方式的认识，英式教学与中式教学都有同样的体现，即通过操作学具的直观手段，积累相应的数学活动经验，丰富对数学概念的建构、计算方法的形成等诸多体验，从而促进形象思维向抽象思维的转化。但对比两种教学，可以看出对操作活动的安排组织，其明显不同在于时间的控制和空间的开放度。相比之下，英式教学中的操作活动时间更为充足（约占整节课时间60分钟的60%），学生体验得更为充分，这就是授课教师所提到的通过“视觉冲击”促进对数学概念的理解。中式教学组织操作活动的目标一般有两个：其一是结合学具操作，理解两位数除以一位数的算理；其二则是通过这种操作过程帮助学生形成竖式计算的表象，借助“数形结合”的方式形成竖式计算的一般算法，且后者的比重更大一些。操作活动主要为形成算法而服务，过程性的体验是为了知识目标的达成，因此活动时间更多服从于整节课知识目标学习的需要，学生在操作活动中的思维空间更多由教师所掌控，较少会出现不同的操作方法。 同样基于儿童的学习心理和认知规律，即使选择和运用相同的學习方式，但由于教育理念的差异，却让课堂教学呈现出较大不同，比较可见，中式教学的取向更接近“知识本位”，英式教学则更体现“以人为本”。这一点亦可从对知识目标的达成评价上窥见一斑。英式教学中，教师呈现的竖式计算如图4，而学生在独立练习时写出的竖式计算如图5，显然，教师所预设的知识目标考虑更多的是一般思维水平的儿童，但教师并没有将此作为评价知识目标达成的唯一标准，对于不同的竖式计算都予以了肯定。事实上，不同的竖式反映的是学生将操作过程抽象为符号表征的不同水平，即通过这一过程已经实现了借助知识学习这一载体从直观形象思维向抽象逻辑思维发展的基本目标，其具体表现形式是学习者个体认知建构的不同反馈，因个体差异，其表现形式存在不同是完全正常的。再看中式教学，对于竖式计算的书写规范有较为严格的要求，如十位上的8除以3，最大可以商2，2写在十位上；20×3=60，6表示6个10，6和十位上的8对齐写，0可以省略不写；十位余下2，要和个位上的7合起来表示27个1，再继续除商9，9要写在个位上，9×3=27，27-27=0（如图6所示）。两位数除以一位数的计算，需要分解计算的步骤比较多，每一步都需要用到除法计算和乘法计算，还有可能用到有余数的除法计算，且两位数除以一位数一般需要重复两次这样的除法、乘法、减法计算步骤，这对口算能力一般、反应速度较慢的学生而言，难度本身就比较大，加之书写格式上的要求，无形中又提高了知识目标以外的形式上的难度要求，大大减轻了“思维发展”的比重，造成了“重形式輕发展”的现象。
三、个别化教学的体现实施不同
当然，由于中西方文化和教育理念的差异，对课堂教学的评价没有绝对的优劣标准。但比较两种课堂教学，不得不谈的是助教的作用。
参与这节课学习是英国普通小学的一个班，全班共12人，分成两个小组，每个小组分别是6人，A组学生整体水平略高于班级平均水平，B组则相对略低一些。授课教师主要在A组参与辅导，而助教则全程参与B组的所有活动，及时地向组内学生解释说明授课教师的要求，倾听学生的交流并及时给授课教师信息反馈，在学生遇到困难时，又及时讲解、指导；助教协助授课教师组织、协调学生的活动，发挥的作用非常大。可以说，助教的工作在某种程度上比授课教师更辛苦。竖式计算是本课学习的难点，A组有2人能够正确计算，其余学生无法独立完成，但学生之间开始互相讨论，授课教师参与指导；B组无人能独立完成，助教在小组内重新进行讲解，并一一指导。
相对而言，中式教学班一般班额都较大，面对40至50人的大班额要想做到为每一位学生提供适性的教育，无论是硬件投入还是资源保障方面都是存在困难的，教师将平均水平作为学情考量依据，这是确保教学达到底线的一般做法，也是教学评价的一般依据（将班级平均分作为量化考察的指标），但这样做对整个班级中三分之一的优秀生和三分之一的学困生而言，都是不切合学习需求的，因此产生了大量的课后辅导工作，也产生了大量不符合科学规律的教学方式，这不仅增加了教师的工作负担和学生的学业负担，同时也让学习活动变成违背儿童发展规律的机械操练。所幸现实问题已经被重视，当下的教学强调儿童主动参与、自主学习、自主发展的“自主性”理念，积极倡导凸显教育过程中的人文精神，关注师生生命成长的“人文性”理念，建构开放式的教育系统，摆脱僵化的线性教学，为儿童创造充分的发展空间的“开放性”理念以及注重采取适合儿童差异的教学策略的“个别性”理念已经渐入人心。尤其是历经十五年的南京“小班化教学模式与实践”中所提出的“全纳性、个别化、活动化”课堂教学三大原则，正是中式教学对其存在的弊病做出的积极改变。“全纳性”原则，要求教育者避免任何形式的教育歧视，应无条件地接纳所有学生，平等地对待每位学生，让每位学生都能享受到尊重、关怀与认可；“个别化”原则，则强调为每一位学生提供适性的教育，倡导关注百分百课堂参与度的教学、提供学生自主选择的教学、注重及时强化与及早跟进的教学；“活动化”原则更强调课堂必须从高控制走向高互动，激发个体、同桌、小组、全班的活动，提升师生教学活动的密度、强度和互动度，从而实现自主学习、合作学习、探究学习的教学效益。
综上之分析比较，作为教育资源尚不丰厚的当下，中式教学可以做出如下改变——打破单向线性路径的教学模式，敢于突破教学预设，智慧应对课堂生成，顺应儿童思维特征多维度多方式引导学习，这是对儿童发展需求的尊重；改变教师控制进度的教学环境，提供必要的辅助资源，如针对难点的微课教学视频可供需要的学生反复观看、优秀学生担任的“小先生”提供及时辅导、适合不同学习进度学生的“分层教学”等，这是对每一个学生发展的尊重；倡导活动化游戏化综合性的学习方式，通过双手动作刺激大脑发育，通过具体操作活动经历探究发现的过程，通过问题解决体验数学与生活的密切联系，这是对生命成长的尊重。
责任编辑 王 慧