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摘要:本文从摆线的定义及分类(分为平面摆线,摆线,内摆线,外摆线和球面摆线)出发,阐述了摆线的重要性质及其应用实例。其中摆线的几何性质包括:摆线的切线过动圆的顶点,摆线的法线过动圆的底点,摆线的切线与竖直线之间夹角的正弦和切点高的平方根之比是一个常数;摆线的物理性质包括等时性质和最速降线性质。最后给出应用实例。
关键词:摆线平面摆线球面摆线
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(a)-0030-01
1 摆线的历史
摆线最早可见于公元1501年出版的C·鲍威尔的一本书中,但在17世纪,大批卓越的数学家热衷于发现这一曲线的性质。伽利略(1564年至1642年,意大利人)是最早注意到摆线的科学家之一,他猜测摆线一拱的面积是滚动圆面积的π倍,而摆线一拱的面积,是 Roberval在1634年最先求得的。较早对这种曲线给出定义的是法国数学家梅森(Marin Mersenne,1588年至1648年),他于1615年把当车轮沿地面作无滑动的滚动时,车轮边缘上一个定点的轨迹定义为旋轮线。之后,有许多著名的学者对摆线进行了长期的研究。例如,法国科学家帕斯卡(Blaise Pascal,1623年至1662年)于1658年出版了《摆线通论》,对摆线进行了充分的研究;还有瑞士数学家约翰·伯努利,意大利科学家伽利略,荷兰物理学家C·Huygens等许多著名的学者都曾研究过摆线,得到了许多重要的成果。随着科学技术的发展,摆线在生产实践中的应用越来越广泛。
2 摆线及其性质
2.1 摆线的定义及分类
(1)平面摆线,当一个圆在一直线上作不滑的滚动时,圆周上的点所描绘的旋轮线称为摆线;圆内部的点所描绘的旋轮线称为短摆线;圆外部的点所描绘的旋轮线称为长摆线。短摆线与长摆线合称为次摆线。通常,我们将圆称为滚动圆、直线称为底线。
摆线的参数方程：
(R为滚动圆半径)
当一个小圆在一个大圆的内部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为内摆线;小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为内次摆线。当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线;小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为外次摆线。摆线、内摆线和外摆线都是平面摆线。因此,可以称为平面摆线。
(2)球面摆线,摆线、内摆线和外摆线分别是动圆沿定直线或定圆滚动而无滑动时,动圆圆周上的一点的轨迹。事实上,平面摆线只是球面摆线的特殊情况[1]。当动圆和定圆的夹角为任意定值时,动圆圆周上一点的轨迹就是球面摆线这是因为它位于一个定球的球面上的缘故。当=0时,即为外摆线,当=时,即为内摆线,当定圆半径R无限增大时,内外摆线就变成了摆线,上述平面和球面上的摆线,统称摆线族曲线。
球面摆线的参数方程：
式中m=r/R,r是动圆的半径,R是定圆的半径,为动圆和定圆二平面的夹角,t为动圆半径的旋转角,0,0,若反向滚动则t取负值。
2.2 摆线的性质
(1)摆线的几何性质,摆线主要的几何性质有五个：摆线的切线过动圆的顶点;摆线的法线过动圆的底点;摆线的切线与竖直线之间夹角的正弦和切点高的平方根之比是一个常数;摆线的一拱与其底线的面积等于滚动圆面积的三倍即3r2;摆线一拱长度为8r。摆线的五个性质,对内摆线和外摆线而言,只有前两个性质成立,第三个性质则不能成立。摆线的第二个、第三个性质对球面摆线不成立。
(2)摆线的物理性质,在物理学中,摆线有两项很重要的性质,称为等时性质与最速降线性质。最速降线问题是1696年由伯努利提出,历经莱布尼兹,牛顿,雅可比,伯努利等人的努力,最终得到轨道形状是摆线。
3 摆线的应用
由于摆线有许多优美的性质,所以有着广阔的应用前景,下面对摆线的应用作以简单的介绍。
时钟和摆线有一定的关系,意大利科学家伽利略证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关,但伽利略的观察和实验还不够精确,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈来愈快。荷兰科学家解决了这一问题,伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,荷兰科学家想要找出一条曲线,使摆沿着这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关,经过很多失败,这样的曲线终于找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”。现在钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的。
一般地,在前进的汽车的车轮上不可能有向后运动的点,因为汽车车轮上的点的运动轨迹只可能是普通摆线或短摆线。但飞速前进的火车车轮上是可以找到向后运动的点的,因为火车车轮有着特殊的结构。它由三层圆盘重叠而成,外层的两个圆盘半径大于内层圆盘的半径,当内层圆盘贴着钢轨前进时,外层圆盘上就存在一部分长摆线的摆点。联合收割机前面的拔禾滚轮的运动轨迹就是长摆线,我们可以看到它是打着圈前进的,首先垂直插入麦穗,再向后拨麦杆让割刀切割后,再垂直抽起,这就是拔禾滚轮的工作原理。此外,目前摆线已被广泛的应用在图案设计,少齿差行星减速器,旋转活塞发动机的缸体曲线,以及多边形切削等。
4 结语
本文先阐述了摆线的历史。摆线,内摆线和外摆线是平面摆线,它们只是球面摆线的特殊情况,球面和平面上的摆线统称摆线族曲线。摆线有许多重要性质,包括几何性质和物理性质。最后对摆线的应用做以简单的介绍。
在今后的研究中我将考虑如果一个圆不在一直线或圆上作不滑动滚动而是在其它曲线上如抛物线,椭圆等作不滑动滚动时,圆周上的点所描绘的是什么样的曲线以及这时它具有什么样的性质及应用。同理,如不是一个圆而是其它的图形在直线或圆上做不滑动滚动时和任意图形在任意曲线上做不滑动滚动时,图形上的点所描绘的又是什么样的曲线,这时性质,应用又是怎样。
参考文献
[1] 高进.球面摆线[J].数学的实践与认识,1979(1)：6～7.
[2] 别尔曼[著],高微,等[译].摆线[M].北京：中国青年出版社,1956:17～41.
[3] 刘泳珍.平面摆线与球面摆线的几何性质[J].湘潭矿业学学报,1994,6(9)：2.
关键词:摆线平面摆线球面摆线
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(a)-0030-01
1 摆线的历史
摆线最早可见于公元1501年出版的C·鲍威尔的一本书中,但在17世纪,大批卓越的数学家热衷于发现这一曲线的性质。伽利略(1564年至1642年,意大利人)是最早注意到摆线的科学家之一,他猜测摆线一拱的面积是滚动圆面积的π倍,而摆线一拱的面积,是 Roberval在1634年最先求得的。较早对这种曲线给出定义的是法国数学家梅森(Marin Mersenne,1588年至1648年),他于1615年把当车轮沿地面作无滑动的滚动时,车轮边缘上一个定点的轨迹定义为旋轮线。之后,有许多著名的学者对摆线进行了长期的研究。例如,法国科学家帕斯卡(Blaise Pascal,1623年至1662年)于1658年出版了《摆线通论》,对摆线进行了充分的研究;还有瑞士数学家约翰·伯努利,意大利科学家伽利略,荷兰物理学家C·Huygens等许多著名的学者都曾研究过摆线,得到了许多重要的成果。随着科学技术的发展,摆线在生产实践中的应用越来越广泛。
2 摆线及其性质
2.1 摆线的定义及分类
(1)平面摆线,当一个圆在一直线上作不滑的滚动时,圆周上的点所描绘的旋轮线称为摆线;圆内部的点所描绘的旋轮线称为短摆线;圆外部的点所描绘的旋轮线称为长摆线。短摆线与长摆线合称为次摆线。通常,我们将圆称为滚动圆、直线称为底线。
摆线的参数方程：
(R为滚动圆半径)
当一个小圆在一个大圆的内部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为内摆线;小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为内次摆线。当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线;小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为外次摆线。摆线、内摆线和外摆线都是平面摆线。因此,可以称为平面摆线。
(2)球面摆线,摆线、内摆线和外摆线分别是动圆沿定直线或定圆滚动而无滑动时,动圆圆周上的一点的轨迹。事实上,平面摆线只是球面摆线的特殊情况[1]。当动圆和定圆的夹角为任意定值时,动圆圆周上一点的轨迹就是球面摆线这是因为它位于一个定球的球面上的缘故。当=0时,即为外摆线,当=时,即为内摆线,当定圆半径R无限增大时,内外摆线就变成了摆线,上述平面和球面上的摆线,统称摆线族曲线。
球面摆线的参数方程：
式中m=r/R,r是动圆的半径,R是定圆的半径,为动圆和定圆二平面的夹角,t为动圆半径的旋转角,0,0,若反向滚动则t取负值。
2.2 摆线的性质
(1)摆线的几何性质,摆线主要的几何性质有五个：摆线的切线过动圆的顶点;摆线的法线过动圆的底点;摆线的切线与竖直线之间夹角的正弦和切点高的平方根之比是一个常数;摆线的一拱与其底线的面积等于滚动圆面积的三倍即3r2;摆线一拱长度为8r。摆线的五个性质,对内摆线和外摆线而言,只有前两个性质成立,第三个性质则不能成立。摆线的第二个、第三个性质对球面摆线不成立。
(2)摆线的物理性质,在物理学中,摆线有两项很重要的性质,称为等时性质与最速降线性质。最速降线问题是1696年由伯努利提出,历经莱布尼兹,牛顿,雅可比,伯努利等人的努力,最终得到轨道形状是摆线。
3 摆线的应用
由于摆线有许多优美的性质,所以有着广阔的应用前景,下面对摆线的应用作以简单的介绍。
时钟和摆线有一定的关系,意大利科学家伽利略证明了单摆摆动的时间跟摆幅没有关系,只跟单摆摆线的长度有关,但伽利略的观察和实验还不够精确,如果用这种摆来制作时钟,摆的振幅会因为摩擦和空气阻力而愈来愈小,时钟也因此愈来愈快。荷兰科学家解决了这一问题,伽利略的单摆是在一段圆弧上摆动的,荷兰科学家想要找出一条曲线,使摆沿着这样的曲线摆动时,摆动周期完全与摆幅无关,经过很多失败,这样的曲线终于找到了,数学上把这种曲线叫做“摆线”。现在钟表店里面那些有钟摆的时钟,都是利用摆线性质制作出来的。
一般地,在前进的汽车的车轮上不可能有向后运动的点,因为汽车车轮上的点的运动轨迹只可能是普通摆线或短摆线。但飞速前进的火车车轮上是可以找到向后运动的点的,因为火车车轮有着特殊的结构。它由三层圆盘重叠而成,外层的两个圆盘半径大于内层圆盘的半径,当内层圆盘贴着钢轨前进时,外层圆盘上就存在一部分长摆线的摆点。联合收割机前面的拔禾滚轮的运动轨迹就是长摆线,我们可以看到它是打着圈前进的,首先垂直插入麦穗,再向后拨麦杆让割刀切割后,再垂直抽起,这就是拔禾滚轮的工作原理。此外,目前摆线已被广泛的应用在图案设计,少齿差行星减速器,旋转活塞发动机的缸体曲线,以及多边形切削等。
4 结语
本文先阐述了摆线的历史。摆线,内摆线和外摆线是平面摆线,它们只是球面摆线的特殊情况,球面和平面上的摆线统称摆线族曲线。摆线有许多重要性质,包括几何性质和物理性质。最后对摆线的应用做以简单的介绍。
在今后的研究中我将考虑如果一个圆不在一直线或圆上作不滑动滚动而是在其它曲线上如抛物线,椭圆等作不滑动滚动时,圆周上的点所描绘的是什么样的曲线以及这时它具有什么样的性质及应用。同理,如不是一个圆而是其它的图形在直线或圆上做不滑动滚动时和任意图形在任意曲线上做不滑动滚动时,图形上的点所描绘的又是什么样的曲线,这时性质,应用又是怎样。
参考文献
[1] 高进.球面摆线[J].数学的实践与认识,1979(1)：6～7.
[2] 别尔曼[著],高微,等[译].摆线[M].北京：中国青年出版社,1956:17～41.
[3] 刘泳珍.平面摆线与球面摆线的几何性质[J].湘潭矿业学学报,1994,6(9)：2.