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1 问题提出
新课程倡导数学探究,数学探究活动的开展有助于学生尝试数学研究过程,体验创造激情,有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力,有助于发展学生的创新意识.数学探究不一定只局限于高一高二,在高三的复习课当中,我们也应该考虑适时地展开探究教学.2007年广东高考题理20题(文21题)蕴涵了丰富的教学功能,在数学思想方法专题复习时笔者借用了这道题与学生开展了一次数学探究活动,效果较好.
2 探究过程
题目:已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x－3－a.如果函数y=f(x)在区间［－1,1］上有零点,求a的取值范围. (题目展示十多分钟后,生1举手了)
生1:对字母a分情况进行讨论,再研究各种情况下函数f(x)零点的个数.
解法1：（1） 当a=0时,函数f(x)=2x－3在区间［－1,1］上没有零点;
（2） 当a＞0时
① 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有重根,此时Δ=0－1≤－12a≤1 a∈φ;
① 函数f(x)在区间［－1,1］上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时f(－1)f(1)≤01≤a＜5;
③ 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有两个相异实根,此时Δ＞0f(－1)≥0f(1)≥0－1＜－12a＜1 a≥5;
(3) 当a＜0时
① 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有重根,此时Δ=0－1≤－12a≤1a=－3+72;
② 函数f(x)在区间［－1,1］上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时f(－1)f(1)≤0a∈φ;
③ 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有两个相异实根,此时Δ＞0f(－1)≤0f(1)≤0－1＜－12a＜1 a＜－3+72;
综上,函数y=f(x)在区间［－1,1］上有零点,则a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).
师:生1的思路很清晰,思维也很严密,向我们展示了自己过硬的基本功.很不简单!大家还有没有其他的想法?(片刻后,生2跃跃欲试)
生2:由解法1可知a≠0,于是可将a除掉,这样避免了对a的正负讨论.
解法2(解法1的改进)
函数y=f(x)在区间［－1,1］上有零点等价于方程f(x)=0即2ax2+2x－3－a=0在区间［－1,1］上有解.因为a≠0,所以就转化为方程2x2+2ax－3a－1=0在区间［－1,1］上有解.
设g(x)=2x2+2ax－3a－1,
(1)方程g(x)=0在区间［－1,1］上有重根,此时Δ=0－1≤－12a≤1 …;
(2)函数g(x)在区间［－1,1］上只有一个零点且不是g(x)=0的重根,此时g(－1)g(1)≤0…;
(3)方程g(x)=0在区间［－1,1］上有两个相异实根,此时Δ＞0g(－1)≥0g(1)≥0－1＜－12a＜1 …;故a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).
师:生2观察的很仔细,能够巧妙地避开对二次项系数的正负讨论,将问题转化为一个新的二次方程的有解问题.是对解法1的改进,很好!请同学们注意,本题只是研究函数f(x)在区间［－1,1］上有零点,并没有谈到零点个数,而解法1与解法2中都对零点个数(方程根的个数)进行了讨论,你能否有进一步调整的方案呢?(此时,又有一位同学举手了)
生3:将方程2ax2+2x－3－a=0化为a=3－2x2x2－1,再令h(x)=3－2x2x2－1,然后求函数h(x)在区间［－1,1］上的值域.(教室内掌声一片,赞许生3的方案)
师:这个方案确实很妙,我们在处理不等式恒成立问题时不也是常常将参数进行分离的吗?请问2x2－1能作为分母吗?
生(大部分):要讨论!
生4:若2x2－1=0,则方程2ax2+2x－3－a=0不成立,所以2x2－1≠0.
师:既然这样,函数h(x)=3－2x2x2－1在区间［－1,1］上的值域如何求?
生:用导数或将3－2x置于分母后利用基本不等式.
师:很好!但是3－2x能否置于分母呢?
生:能!因为x≠32.
师:问题就变为求函数m(x)=2x2－13－2x在区间［－1,1］上的值域再取其倒数.就这个方案而言,你能否再完善? (学生又陷入了思考,思维的火花进一步碰撞起来)
生5:老师,在本题中a≠0且x≠32,所以可将方程2ax2+2x－3－a=0化为1a=2x2－13－2x再求值域.
解法3：因为a≠0且x≠32,
所以方程2ax2+2x－3－a=0可化为
1a=2x2－13－2x.
令3－2x=t,t∈［1,5］,则x=3－t2,F(t)=2(3－t2)2－1t=12(t+7t－6).
因为1≤t≤5, 所以7－3≤F(t)≤1,
即7－3≤1a≤1,
解得a≤－3+72或a≥1,故a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).
(见了这么简洁的解法,教室内又想起了一片掌声)
师:我们在处理一个问题时,不能仅仅停留在问题解决了就行了,更需要做的事是解题后的一些思考:我的方法是否恰当,有没有更优的解法… (我的话还没说完,一位同学迫不及待地站起来了)
生6:老师,我能通过画图像求解.
解法4 (借助几何画板展示动画)
图1
因为a≠0,所以方程2ax2+2x－3－a=0可化为
2x2－1=1a(3－2x).原问题就转化为两个函数y=2x2－1及y=－2a(x－32)的图像在区间［－1,1］上有交点.取k=－2a,得y=k(x－32).如图1,作出函数y=2x2－1,x∈［－1,1］和y=k(x－32)的图像,可得kPA=－2,kPB=6－27,要使得两函数图像在区间［－1,1］上有交点则必须kPA≤k≤kPB,即－2≤－2a≤6－27,解得a≤－3+72或a≥1,故a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).(教室内欢呼声阵阵,我还没来得及小结,下课的钟声响了,只好布置学生就这节课写点感触与思考)
3 几点反思
3.1 探究教学要坚持但要有度
坚持开展探究教学有利于培养学生的数学素质、锲而不舍的探索精神、创造能力和创新意识.然而,我们现在清晰可见的是:还有部分教师的理念陈旧,仍按照传统的方法教学,即便开展探究教学也认为这是耽误时间的举措,也就不能坚持长久了.更有部分学校的领导思想守旧,光关注学生的成绩和学校的升学率,对于探究教学老师也只能是敢想而不敢为,否则成绩下降了领导会找其谈话甚至训斥.我们可以坚信的是,开展探究教学在短期内不一定有明显的效果,但从长远意义上讲必将有助于学生的终身发展和社会的进步.进行探究教学虽要坚持,但更要有度,不能堂堂课都来个自主探究、合作探究,天天都是探究的“繁华景象”,这样便误解了探究教学的实质了.
3.2 探究教学应注意学生的层次
新课程的最高宗旨是“一切为了每一位学生的发展”.不可否认的是学生的差异是客观存在的,所以我们不能顾探究教学而失去对学生层次的关注,为了探究,难、偏、怪题又充斥课堂,大部分学生不是在“散步”而是在“赶路”,久之便失去了学习数学的兴趣和信心,更违背了新课程教学应体现“以人为本”的原则.为此,探究教学应尊重学生的个体差异,教师应多进行学情分析,从而使探究教学的价值真正落到实处.
3.3 探究教学的形式应多样化
探究教学不一定拘泥于某一种形式或套路,可以进行多种形式的探究活动.比如,讲授概念时可以进行适当的探究,有助于学生加深对概念的理解;就某个例题进行变式探究,有利于培养学生的应变能力和创新能力;对一道习题进行解法探究,可以培养学生的发散思维、求异思维;新教材中受教学条件限制的一些开放性、探索性的问题,可将探究过程延伸至课外,巩固课内探究成果;收集学生练习或测试中的典型错误进行探究,科学地挖掘“错误”的教学功能,可使学生明确错因、以防再错,做到“轻负高质”.
3.4 将信息技术与探究教学有效整合
新课标明确指出:教师应当恰当地使用信息技术,改善学生的学习方式,引导学生借助信息技术学习有关数学内容,探索、研究一些有意义、有价值的数学问题.例如,在进行与函数的图像、导数、解析几何等方面有关的探究活动时,可以利用《几何画板》帮助学生形象直观的感知,从而使学生留下深刻的印象,加深对知识的理解.这一点,南京师大附中的陶维林老师为我们树立了很好的榜样,值得学习.需要指出的是,我们在进行整合时应注意实效性.在运用信息技术进行探究教学的过程中,应留有足够的时间,引导学生观察与思考.如果不管内容,求多求全,只顾展示课件,重华美,轻分析启发,表面上是用了,实质上就等于黑板搬家,这必将无助于数学教学质量的提高.
3.5 教师间的相互学习与探究
新课程改革使我们教师面临着严峻的现实性挑战,教学理念的更新、教学方式的改变、学生学习方式的改变等等.新课标下,教师如何实施有效的探究教学,教师如何指导学生进行探究性学习活动,笔者以为我们教师之间首先应加强探索与研究.比如,一个学校整个数学组的老师可以在组长的带领下共同对各个模块进行探讨、研究,收集出教材中哪些章节、哪些内容可以进行探究教学,发动群众力量,全员参与,通过一段时间的磨合,必将构建一个系统可行的探究教学案例库;市内外、省内外的学校之间可以适时地进行教学研讨,相互学习交流、加强合作探究,这也为我国的课程改革起到积极的推波助澜的作用.
参考文献
1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,2003
2卢高东.新课程数学探究教学的实践与思考［J］.数学通报,2008(2)
3陈久贵.数学探究的鲜活资源---- 一道课本习题的数学探究案例［J］.数学通报,2008(4)
4周金国.一道课本例题的解法探究［J］.中学数学教学参考,2008(5)
新课程倡导数学探究,数学探究活动的开展有助于学生尝试数学研究过程,体验创造激情,有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力,有助于发展学生的创新意识.数学探究不一定只局限于高一高二,在高三的复习课当中,我们也应该考虑适时地展开探究教学.2007年广东高考题理20题(文21题)蕴涵了丰富的教学功能,在数学思想方法专题复习时笔者借用了这道题与学生开展了一次数学探究活动,效果较好.
2 探究过程
题目:已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x－3－a.如果函数y=f(x)在区间［－1,1］上有零点,求a的取值范围. (题目展示十多分钟后,生1举手了)
生1:对字母a分情况进行讨论,再研究各种情况下函数f(x)零点的个数.
解法1：（1） 当a=0时,函数f(x)=2x－3在区间［－1,1］上没有零点;
（2） 当a＞0时
① 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有重根,此时Δ=0－1≤－12a≤1 a∈φ;
① 函数f(x)在区间［－1,1］上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时f(－1)f(1)≤01≤a＜5;
③ 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有两个相异实根,此时Δ＞0f(－1)≥0f(1)≥0－1＜－12a＜1 a≥5;
(3) 当a＜0时
① 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有重根,此时Δ=0－1≤－12a≤1a=－3+72;
② 函数f(x)在区间［－1,1］上只有一个零点且不是f(x)=0的重根,此时f(－1)f(1)≤0a∈φ;
③ 方程f(x)=0在区间［－1,1］上有两个相异实根,此时Δ＞0f(－1)≤0f(1)≤0－1＜－12a＜1 a＜－3+72;
综上,函数y=f(x)在区间［－1,1］上有零点,则a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).
师:生1的思路很清晰,思维也很严密,向我们展示了自己过硬的基本功.很不简单!大家还有没有其他的想法?(片刻后,生2跃跃欲试)
生2:由解法1可知a≠0,于是可将a除掉,这样避免了对a的正负讨论.
解法2(解法1的改进)
函数y=f(x)在区间［－1,1］上有零点等价于方程f(x)=0即2ax2+2x－3－a=0在区间［－1,1］上有解.因为a≠0,所以就转化为方程2x2+2ax－3a－1=0在区间［－1,1］上有解.
设g(x)=2x2+2ax－3a－1,
(1)方程g(x)=0在区间［－1,1］上有重根,此时Δ=0－1≤－12a≤1 …;
(2)函数g(x)在区间［－1,1］上只有一个零点且不是g(x)=0的重根,此时g(－1)g(1)≤0…;
(3)方程g(x)=0在区间［－1,1］上有两个相异实根,此时Δ＞0g(－1)≥0g(1)≥0－1＜－12a＜1 …;故a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).
师:生2观察的很仔细,能够巧妙地避开对二次项系数的正负讨论,将问题转化为一个新的二次方程的有解问题.是对解法1的改进,很好!请同学们注意,本题只是研究函数f(x)在区间［－1,1］上有零点,并没有谈到零点个数,而解法1与解法2中都对零点个数(方程根的个数)进行了讨论,你能否有进一步调整的方案呢?(此时,又有一位同学举手了)
生3:将方程2ax2+2x－3－a=0化为a=3－2x2x2－1,再令h(x)=3－2x2x2－1,然后求函数h(x)在区间［－1,1］上的值域.(教室内掌声一片,赞许生3的方案)
师:这个方案确实很妙,我们在处理不等式恒成立问题时不也是常常将参数进行分离的吗?请问2x2－1能作为分母吗?
生(大部分):要讨论!
生4:若2x2－1=0,则方程2ax2+2x－3－a=0不成立,所以2x2－1≠0.
师:既然这样,函数h(x)=3－2x2x2－1在区间［－1,1］上的值域如何求?
生:用导数或将3－2x置于分母后利用基本不等式.
师:很好!但是3－2x能否置于分母呢?
生:能!因为x≠32.
师:问题就变为求函数m(x)=2x2－13－2x在区间［－1,1］上的值域再取其倒数.就这个方案而言,你能否再完善? (学生又陷入了思考,思维的火花进一步碰撞起来)
生5:老师,在本题中a≠0且x≠32,所以可将方程2ax2+2x－3－a=0化为1a=2x2－13－2x再求值域.
解法3：因为a≠0且x≠32,
所以方程2ax2+2x－3－a=0可化为
1a=2x2－13－2x.
令3－2x=t,t∈［1,5］,则x=3－t2,F(t)=2(3－t2)2－1t=12(t+7t－6).
因为1≤t≤5, 所以7－3≤F(t)≤1,
即7－3≤1a≤1,
解得a≤－3+72或a≥1,故a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).
(见了这么简洁的解法,教室内又想起了一片掌声)
师:我们在处理一个问题时,不能仅仅停留在问题解决了就行了,更需要做的事是解题后的一些思考:我的方法是否恰当,有没有更优的解法… (我的话还没说完,一位同学迫不及待地站起来了)
生6:老师,我能通过画图像求解.
解法4 (借助几何画板展示动画)
图1
因为a≠0,所以方程2ax2+2x－3－a=0可化为
2x2－1=1a(3－2x).原问题就转化为两个函数y=2x2－1及y=－2a(x－32)的图像在区间［－1,1］上有交点.取k=－2a,得y=k(x－32).如图1,作出函数y=2x2－1,x∈［－1,1］和y=k(x－32)的图像,可得kPA=－2,kPB=6－27,要使得两函数图像在区间［－1,1］上有交点则必须kPA≤k≤kPB,即－2≤－2a≤6－27,解得a≤－3+72或a≥1,故a的取值范围是(－∞,－3+72］∪［1,+∞).(教室内欢呼声阵阵,我还没来得及小结,下课的钟声响了,只好布置学生就这节课写点感触与思考)
3 几点反思
3.1 探究教学要坚持但要有度
坚持开展探究教学有利于培养学生的数学素质、锲而不舍的探索精神、创造能力和创新意识.然而,我们现在清晰可见的是:还有部分教师的理念陈旧,仍按照传统的方法教学,即便开展探究教学也认为这是耽误时间的举措,也就不能坚持长久了.更有部分学校的领导思想守旧,光关注学生的成绩和学校的升学率,对于探究教学老师也只能是敢想而不敢为,否则成绩下降了领导会找其谈话甚至训斥.我们可以坚信的是,开展探究教学在短期内不一定有明显的效果,但从长远意义上讲必将有助于学生的终身发展和社会的进步.进行探究教学虽要坚持,但更要有度,不能堂堂课都来个自主探究、合作探究,天天都是探究的“繁华景象”,这样便误解了探究教学的实质了.
3.2 探究教学应注意学生的层次
新课程的最高宗旨是“一切为了每一位学生的发展”.不可否认的是学生的差异是客观存在的,所以我们不能顾探究教学而失去对学生层次的关注,为了探究,难、偏、怪题又充斥课堂,大部分学生不是在“散步”而是在“赶路”,久之便失去了学习数学的兴趣和信心,更违背了新课程教学应体现“以人为本”的原则.为此,探究教学应尊重学生的个体差异,教师应多进行学情分析,从而使探究教学的价值真正落到实处.
3.3 探究教学的形式应多样化
探究教学不一定拘泥于某一种形式或套路,可以进行多种形式的探究活动.比如,讲授概念时可以进行适当的探究,有助于学生加深对概念的理解;就某个例题进行变式探究,有利于培养学生的应变能力和创新能力;对一道习题进行解法探究,可以培养学生的发散思维、求异思维;新教材中受教学条件限制的一些开放性、探索性的问题,可将探究过程延伸至课外,巩固课内探究成果;收集学生练习或测试中的典型错误进行探究,科学地挖掘“错误”的教学功能,可使学生明确错因、以防再错,做到“轻负高质”.
3.4 将信息技术与探究教学有效整合
新课标明确指出:教师应当恰当地使用信息技术,改善学生的学习方式,引导学生借助信息技术学习有关数学内容,探索、研究一些有意义、有价值的数学问题.例如,在进行与函数的图像、导数、解析几何等方面有关的探究活动时,可以利用《几何画板》帮助学生形象直观的感知,从而使学生留下深刻的印象,加深对知识的理解.这一点,南京师大附中的陶维林老师为我们树立了很好的榜样,值得学习.需要指出的是,我们在进行整合时应注意实效性.在运用信息技术进行探究教学的过程中,应留有足够的时间,引导学生观察与思考.如果不管内容,求多求全,只顾展示课件,重华美,轻分析启发,表面上是用了,实质上就等于黑板搬家,这必将无助于数学教学质量的提高.
3.5 教师间的相互学习与探究
新课程改革使我们教师面临着严峻的现实性挑战,教学理念的更新、教学方式的改变、学生学习方式的改变等等.新课标下,教师如何实施有效的探究教学,教师如何指导学生进行探究性学习活动,笔者以为我们教师之间首先应加强探索与研究.比如,一个学校整个数学组的老师可以在组长的带领下共同对各个模块进行探讨、研究,收集出教材中哪些章节、哪些内容可以进行探究教学,发动群众力量,全员参与,通过一段时间的磨合,必将构建一个系统可行的探究教学案例库;市内外、省内外的学校之间可以适时地进行教学研讨,相互学习交流、加强合作探究,这也为我国的课程改革起到积极的推波助澜的作用.
参考文献
1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,2003
2卢高东.新课程数学探究教学的实践与思考［J］.数学通报,2008(2)
3陈久贵.数学探究的鲜活资源---- 一道课本习题的数学探究案例［J］.数学通报,2008(4)
4周金国.一道课本例题的解法探究［J］.中学数学教学参考,2008(5)