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开放题是源自数学问题的，它强调了学生解答的过程，体现了学生在教学活动中的主体地位，极大地提高了学生的学习积极性.习惯上，人们按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两类：一类是已知和结论都有确定要求的题型，另一类是回答问题起点（已知）和终点（结论）二者中至少有一个没有确定要求的题型.习惯称前者为封闭题，后者为开放题.分析这种定义方式可以发现，这种分类没有揭示出由解题者将不确定问题转化成确定问题的这一“开放”的本质特征，以致提出将问题解答者水平排除于所解答问题之外的所谓结论和条件确定型的“策略开放题”.结合学生的学习特征，本文对数学开放题定义为：答案不唯一且取决于提出问题时学生的知识水平层次的问题称为开放题.
一、数学开放题的分类
按条件、结论的确定情况对数学开放题进行分类，主要可分为以下三类：①仅是条件不完备，称为条件开放题；②仅是结论不确定，称为结论开放题；③条件和结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题.下面，通过几个例题来作一说明.
例1写出一个关于x、y 的一次函数，使得当x=1时y > 0 ，当 x=3 时y < 0.
例2写出经过点 （0 ， 3） 的一条抛物线方程.
例3写出经过两点 （0 ， 3） 和 （3 ， 0） 的二次函数解析式.
例4求一个二次函数，使得当 x=1时y > 0；当x=3时y < 0.
以上诸题解法很多，主要有：①再添加条件或将条件特殊化转化为常规题.如例1可以取符合条件的两点，如 （1 ， 1） ，
（3，-3）
等；例2可以再添加两个点；例3可以添加一个点；例4可以取三个特殊点；②利用数形结合思想，画出符合题意的草图即可写出其解析式；③可以拼凑出来，当然要会及时调整.
例1—例4都是条件不完备的数学问题，也就是条件开放题，要解这类题目，上面已列出其主要解法，再看一类例题：
例5写出一个形如“ ax+b=cx+d”的方程，使它的解为 x=2.
例6已知数3，6，若还有数x，能使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，求x .
例5、例6都是结论不确定的问题，也就是结论开放题，在这2个例题中，在给定了确定的条件下，出现了不唯一的答案，解此类题目则需要解题者在仔细观察题目之后确定有几种可能性再解答.由于答案不唯一，可以根据题目中的要求来逐一求解.在例5中，它要求写出一个方程，因此可以任写一个符合题意的方程如“2x+1=3x-1”，而例6没有明确表示要写出几个结果，因此我们就默认为将所有可能的结果都写出来.
例7称满足x=F（x）的点（x ， F（x） ）为函数F（x）的不动点，试举3个函数，它们分别满足只有一个不动点，没有不动点，有无数个不动点.
本题直接涉及的数学知识是函数、方程，这些均是解答者所熟悉的；但提出的新名词“不动点”却是解答者不熟悉的，它是解题者解答该题的依据，解答者要正确解答问题，关键是要理解“不动点”的涵义，能用“不动点”定义解决实际问题，本题可理解为：函数F（x）的图象和函数f（x）=x的图象的交点个数.
如函数f（x）=x的图象与函数F（x）=ax+b （a，b为常数）图象交点的个数；函数f（x）=x图象与函数F（x）=ax2+bx+c（a ， b ，c为常数）图象交点的个数等.
讨论方程f（x）=x解的个数，包括讨论方程ax+b=x （a，b为常数）和ax2+bx+c=x（a ， b ， c为常数） 等只有一个解、无解、有无数解的情况.
本题就是条件与结论同时开放的综合开放题，其条件与结论都要求解答者在情境中自行设定与寻找.
二、开放题在教学过程中的一些注意点
在数学开放题的教学中，对于教师来说会遇到各种各样学生提出的或者引发出来的新问题，因此在课堂教学时应注意以下几点.
1.教师对于有关的问题，要事先作好充分的准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂内可能发生的情况.
2.课堂上要让学生自己动手去做，让学生充分地通过自己的思考，互相交流，互相启发得出答案.
3.启发要得当，要善于从学生正确的、部分正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导其探索解决问题的方法.
4.开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到后进生的解答水平，又要鼓励优生去寻求更高水平的解答，并力图使各种智力体验变成大家共同的财富.
5.开放题和常规题在数学教学中应该并存而不是互相排斥.常规题在培养学生数学思维能力方面发挥着重要的作用，对于知识的同化、培养学生的基本技能等具有重要的意义；而开放题在培养学生的数学思维能力，尤其是发散思维能力方面有其独特的特点，它为高层次思维创造了条件，但也不是绝对的、唯一的.开放题在许多方面能够弥补常规题的不足，故在教学中，应遵循先常规题后开放题，然后安排一些思考性较强的开放型题目.
数学开放题教学有利于学生数学发散思维能力的培养，在问题解决过程中需要学生有一定的意志和毅力，可以促进学生的个性品质和非智力因素的发展.由于数学开放题的多样性、多层次性、探索性、结果多样性和解题策略的不惟一性，它给学生的自主学习、探究学习、合作学习创造了良好的空间.
一、数学开放题的分类
按条件、结论的确定情况对数学开放题进行分类，主要可分为以下三类：①仅是条件不完备，称为条件开放题；②仅是结论不确定，称为结论开放题；③条件和结论都要求主体在情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题.下面，通过几个例题来作一说明.
例1写出一个关于x、y 的一次函数，使得当x=1时y > 0 ，当 x=3 时y < 0.
例2写出经过点 （0 ， 3） 的一条抛物线方程.
例3写出经过两点 （0 ， 3） 和 （3 ， 0） 的二次函数解析式.
例4求一个二次函数，使得当 x=1时y > 0；当x=3时y < 0.
以上诸题解法很多，主要有：①再添加条件或将条件特殊化转化为常规题.如例1可以取符合条件的两点，如 （1 ， 1） ，
（3，-3）
等；例2可以再添加两个点；例3可以添加一个点；例4可以取三个特殊点；②利用数形结合思想，画出符合题意的草图即可写出其解析式；③可以拼凑出来，当然要会及时调整.
例1—例4都是条件不完备的数学问题，也就是条件开放题，要解这类题目，上面已列出其主要解法，再看一类例题：
例5写出一个形如“ ax+b=cx+d”的方程，使它的解为 x=2.
例6已知数3，6，若还有数x，能使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，求x .
例5、例6都是结论不确定的问题，也就是结论开放题，在这2个例题中，在给定了确定的条件下，出现了不唯一的答案，解此类题目则需要解题者在仔细观察题目之后确定有几种可能性再解答.由于答案不唯一，可以根据题目中的要求来逐一求解.在例5中，它要求写出一个方程，因此可以任写一个符合题意的方程如“2x+1=3x-1”，而例6没有明确表示要写出几个结果，因此我们就默认为将所有可能的结果都写出来.
例7称满足x=F（x）的点（x ， F（x） ）为函数F（x）的不动点，试举3个函数，它们分别满足只有一个不动点，没有不动点，有无数个不动点.
本题直接涉及的数学知识是函数、方程，这些均是解答者所熟悉的；但提出的新名词“不动点”却是解答者不熟悉的，它是解题者解答该题的依据，解答者要正确解答问题，关键是要理解“不动点”的涵义，能用“不动点”定义解决实际问题，本题可理解为：函数F（x）的图象和函数f（x）=x的图象的交点个数.
如函数f（x）=x的图象与函数F（x）=ax+b （a，b为常数）图象交点的个数；函数f（x）=x图象与函数F（x）=ax2+bx+c（a ， b ，c为常数）图象交点的个数等.
讨论方程f（x）=x解的个数，包括讨论方程ax+b=x （a，b为常数）和ax2+bx+c=x（a ， b ， c为常数） 等只有一个解、无解、有无数解的情况.
本题就是条件与结论同时开放的综合开放题，其条件与结论都要求解答者在情境中自行设定与寻找.
二、开放题在教学过程中的一些注意点
在数学开放题的教学中，对于教师来说会遇到各种各样学生提出的或者引发出来的新问题，因此在课堂教学时应注意以下几点.
1.教师对于有关的问题，要事先作好充分的准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂内可能发生的情况.
2.课堂上要让学生自己动手去做，让学生充分地通过自己的思考，互相交流，互相启发得出答案.
3.启发要得当，要善于从学生正确的、部分正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导其探索解决问题的方法.
4.开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到后进生的解答水平，又要鼓励优生去寻求更高水平的解答，并力图使各种智力体验变成大家共同的财富.
5.开放题和常规题在数学教学中应该并存而不是互相排斥.常规题在培养学生数学思维能力方面发挥着重要的作用，对于知识的同化、培养学生的基本技能等具有重要的意义；而开放题在培养学生的数学思维能力，尤其是发散思维能力方面有其独特的特点，它为高层次思维创造了条件，但也不是绝对的、唯一的.开放题在许多方面能够弥补常规题的不足，故在教学中，应遵循先常规题后开放题，然后安排一些思考性较强的开放型题目.
数学开放题教学有利于学生数学发散思维能力的培养，在问题解决过程中需要学生有一定的意志和毅力，可以促进学生的个性品质和非智力因素的发展.由于数学开放题的多样性、多层次性、探索性、结果多样性和解题策略的不惟一性，它给学生的自主学习、探究学习、合作学习创造了良好的空间.