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摘要：行星轮系（PGTS）的同构判定是一个复杂的问题，为此，提出一种基于邻接矩阵的方法来判定行星轮系是否同构。首先提出一种新的方法来描述行星轮系的拓撲图，该新型拓扑图可准确描述不同构件间相互邻接的关系。并在传统邻接矩阵的基础上进行改进后提出一种新的非对称邻接矩阵来描述行星轮系的拓扑图，该新型邻接矩阵可准确描述每个构件的类型，以及与其他构件间的邻接关系与邻接方式。再通过计算邻接矩阵的特征值与特征向量来判别行星轮系是否同构。经过实例验证，相较于之前的判定方法此方法具有高效性、可靠性。
Abstract： Isomorphism Identification Of Planetary Gear Trains（PGTS） is a difficult problem to solve. To solve it，now propose a method to identify whether the planetary gear trains are isomorphic or not.Firstly， promote a new way to describe the diagram of planetary gear trains ，the new toplogical graph can describle the way of how different parts are joined concretely. And we create an asymmetrical adjacency matrix to describle the toplogical graph based on the traditional adjacency matrix，the new adjacency matrix can describle the kind of the parts and how they are joined concretely.After calculating and comparing the eigenvalue and the eigenvector of the djacency matrix， we can identify whether they are isomorphic or not.Through enough tests，it turns out that this method is highly reliable，also can be efficient.
关键词：行星轮系;同构判定;邻接矩阵;特征值;特征向量
Key words： Planetary Gear Train;Isomorphism Identification;adjacency matrix;eigenvalue of a matrix;eigenvector of a matrix
0 引言
行星轮系是指具有一个自由度的周转轮系。行星齿轮传动相比于普通齿轮传动具有质量轻、体积小、承载能力高、传递功率大等优点，因此常被用于制造行星齿轮增速器、减速器、差速器和换向机构。因此，为了创造新的齿轮传动系统，对行星轮系进行同构判定具有重要意义。
国内外学者在行星轮系这一领域进行了许多卓有成效的研究。1970年，Freudenstein等[1]首先将图论用于定义轮系，但是当轮系齿轮过多，拓扑图过于复杂时，不易使用。1987年，Tsai[2]用特征多项式来判定周转轮系的同构，通过这种方法得到许多新的周转轮系机构。RAO等[3]提出了基于汉明串和基于遗传算法的同构识别方法。Yang Ping和V. R. Pathapati等[4，5]通过对相关机构运动链分析，研究了齿轮运动链的同构判定问题。
本文首先参考刘江南[6]对复铰的表示方法，提出了一种新的拓扑图来描述行星轮系，在得到行星轮系的拓扑图后，利用一种新的邻接矩阵来描述行星轮系拓扑图，由该邻接矩阵可知构件的类型及构件间的配合关系。最后通过邻接矩阵的特征值与特征向量来判定行星轮系是否同构，且该方法经过验证具有高效性与可靠性。
1 拓扑图的表示
图1（a）为一种行星轮系传动系统的3D模型，这是一种5杆1自由度的PGT，通过对3D模型转动副和齿轮副以及各构件进行标号可得到如图1（b）所示的原理图，利用各构件间的邻接关系将齿轮副用虚线表示，转动副用实线表示经转化可得到传统的PGT拓扑图1（c），为了更好地表示不同构件通过相同运动副（如图1（b）中的运动副a）相邻接的关系，现将这种邻接关系用一个多边形表示，多边形的边数等于通过相同运动副连接的构件数，并将这个多边形用一个新的构件PIN构件表示。不同的构件与PIN构件相连是指这些构件在多处以相同的运动副互相连接。如图1（d）所示的构件1、3、4、5分别与四边形的PIN构件6号构件相连接，每个构件再通过PIN构件与其他构件相邻接（如构件1与PIN构件相邻接，再通过PIN构件与构件3、4、5相邻接）最后得到的拓扑图与实物图具有一一对应的关系。
2 邻接矩阵的描述
为了更好的描述邻接矩阵，我们给先出定义1。
定义1：构件的度数。构件的度数用di来表示，其中i表示的是构件号。构件的度数是指一个构件与其它构件相邻接时所需要的运动副数，在拓扑图中表现为一个点（多边形）所连接的线（实线、虚线）数之和。如图1的1（c）中1号构件的副数为4，则记d1=4。
本文在基于上述PIN构件的转化方法并改进构件间邻接描述方法后，提出一种新的邻接矩阵描述方法，该新方法可以更好地描述各构件间的邻接关系。对于含m基础个构件和n个PIN构件的行星齿轮系，用m+n阶非对称方阵进行描述。各行（列）表示不同的构件（PIN构件也包括在内），每个构件的类型由0、1、2来描述，0表示该构件为齿轮构件，1表示该构件为杆类型构件，2表示该构件为PIN构件;每个构件与其它构件间的邻接关系用0、1来表示，0表示两构件之间不相邻接，1表示两构件相邻接;每个构件与自身的邻接关系由0来描述;当构件以低副相邻接时，用0表示，当构件以齿轮副外啮合时，用1表示，当构件以齿轮副内啮合时，用2表示，当两构件不相邻接用3表示。现用一位整数与三位小数来表示两构件间的邻接关系与邻接方式，整数部分表示该构件形状，小数部分第一位表示该构件度数，小数部分第二位表示该构件与其他构件是否邻接，小数部分第三位表示该构件与其它构件邻接方式。综上所述，则得到邻接矩阵的的定义如下所示的定义2。 定义2：对于含m基础个构件，n个PIN构件的拓扑图a，其转化后的m+n邻接矩阵A（a）的第i行第j列元素由下式来表示。
由式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）可求得图1（d）对应的拓扑图a1所对应的邻接矩阵A（a1）如下所示：
式（6）为一个6阶非对称方阵，每行（列）分别代表一个构件，该矩阵中每行元素的整数部分相同，如第1行整数部分都为0，表示构件1为齿轮构件，第六行整数部分都为2，表示6号构件为PIN构件，第3行元素整数部分都为1，表示3号构件为非齿轮构件。元素a24=0.411表示构件2为齿轮构件，该构件度为4，且构件2与构件4通过齿轮副外啮合相邻接;元素a35=1.303表示构件3为非齿轮构件，该构件度为3，且构件3与构件5不相邻接。
3 行星轮系同构的判定
3.1 行星轮系同构判定的方法
基于以上特点可以得到如下理论：
对于两行星轮系之间的同构有以下必要条件：两行星轮系的总构件数相同，PIN构件数相同，相对应的分别是邻接矩阵的阶数，元素大于等于2的行数相同。
两行星轮系的运动副数相同，即低副数相同，齿轮副数相同，相对应的分别是邻接矩阵中的元素小数点后第三位为0元素的个数和的1/2相同，元素小数点后为1或2元素个数和的1/2相同。
对于两行星轮系同构的充要条件：两个邻接矩阵的特征值相同，特征向量矩阵可通过行变换转换为同一矩阵。
3.2 行星轮系同构的判别步骤
①写出两行星轮系邻接矩阵，判定两邻接矩阵的阶数是否相同，如果相同，则进行下一步判断;如果不同，则不同构。
②判定两邻接矩阵元素大于等于2的行数是否相同，如果相同，则进入下一步判断;如果不同，则不同构。
③判定两邻接矩阵中小数点后第三位为1或2的元素的个数和，如果相同，则进入下一步判断;如果不同，则不同构。
④计算两邻接矩阵的特征值与特征向量，如果特征值相同，则进行下一步判断;如果特征值不同，则不同构。
⑤如果一个行星齿轮系的邻接矩阵A（a1）的特征向量构成矩阵V（a1）可以经过行变换得到另一邻接矩阵
A（a2）的特征向量构成矩阵V（a2），则同构;如果不能，则不同构。
⑥结束。
判定流程图如图2。
由式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）可的到拓扑图（见图3），a2，a3的邻接矩阵A（a2），A（a3）。
由邻接矩阵A（a1），A（a2），A（a3）可知拓扑图a1，a2，a3对应的邻接矩阵的阶数都为6，元素值大于等于2的行数（即PIN构件个数）都为1，小数点后第三位为1或2个数和都为6（齿轮副数为3），通过同构的必要条件无法判断三者是否同构，需要进行下一步计算。接下来通过邻接矩阵可以求出对应的特征值D（a1），D（a2），D（a3）与特征向量V（a1），V（a2），V（a3）。
由式（9）、（10）、（11）可知D（a1）=D（a2）≠D（a3），则拓扑图a3与拓扑图a1，a2不同构，拓扑图a1，a2是否同构需要进行下一步判断。下面来计算两邻接矩阵的特征向量。
两邻接矩阵特征向量V（a1）、V（a2），如式（12）或式（13）所示。
由式（9）、（10）可知两邻接矩阵A（a1），A（a2）的特征值全部相同（只是行数发生变化），由式（12）、（13）可知两邻接矩阵A（a1），A（a2）每个特征值所对应的特征向量数值完全相同，数值的正负号也相同，只是相同数值所对应元素所在的行数发生了变化。（如V（a1）、V（a2）第1列的元素完全相同， V（a1）第1行和V（a2）第5行交换，V（a1）第2行和 第4行交换……）。其中行的交换表示两行星轮系各构件的对应关系，在本例中，第1行和第5行交換，第2行和第4行交换……。说明轮系a1中的第1行1号构件与轮系a2中的第5行5号构件相对应，轮系a1中第2行2号构件与轮系a2中第4行4号构件相对应……。两特征向量其余未经行变换所代表的构件一一对应。故两轮系邻接矩阵对应特征向量可以变换为相同矩阵，则轮系a1与轮系a2同构，轮系a3与他们不同构。
4 实例证明
如图4所示 a，b为两9杆1自由度的行星轮系简化拓扑图。可得拓扑图a，b所对应的邻接矩阵A（b1），A（b2）。由式（14）、（15）可知两邻接矩阵的阶数都为10，元素大于等于2行数（即PIN构件个数）都为1，元素小数点后第3位为1或2个数之和都为12（高副数为6）。为了进一步判断两行星轮系是否同构，需要进行下一步计算。
拓扑图b1、b2对应邻接矩阵A（b1）、A（b2）：
两邻接矩阵特征值D（b1），D（b2）
由式（16）、（17）可知两邻接矩阵A（a1）、A（a2）的特征值不同，则简化拓扑图b1、b2所对应行星轮系不同构，为了进一步说明两行星轮系不同构，下面再计算两邻接矩阵A（a1）、A（a2）的特征向量。由式（18）、（19）可知两邻接矩阵特征向量无法变为相同矩阵，两行星轮系不同构。两邻接矩阵特征向量V（b1）、V（b2），如式（18）、式（19）所示：
5 结论
①本文引入PIN构件来简化传统的行星轮系的拓扑图，能够很好地表示不同构件以相同运动副邻接的关系，转化后的拓扑图与实物图具有一一对应的关系。
②本文通过优化传统的邻接矩阵的表述，利用1位整数3位小数可以更好地表示出构件类型以及不同构件以不同运动副相邻接的关系。
③本文先利用同构的必要条件来判断是否同构，再利用同构的充要条件通过邻接矩阵的特征值、特征向量来判断是否同构的方法具有高效性，可靠性。 参考文献：
[1]Buchsbaum F， Freudenstein F. Synthesis of kinematic structure of geared kinematic chains and other mechanisms ☆[J]. Journal of Mechanisms， 1970， 5（3）： 357-392.
[2]Tsai L W. An Application of the Linkage Characteristic Polynomial to the Topological Synthesis of Epicyclic Gear Trains[J]. Journal of Mechanical Design， 1987， 109（3）： 329-336.
[3]Rao A C. A genetic algorithm for epicyclic gear trains[J]. Mechanism and Machine Theory： Dynamics of Machine Systems Gears and Power Trandmissions Robots and Manipulator Systems Computer-Aided Design Methods， 2003， 38（2）： 135-147.
[4]Yang P， Pei Z， Liao N， et al. Isomorphism identification for epicyclic gear mechanism based on mapping property and ant algorithm[J]. Engineering with computers， 2007， 23（1）： 49-54.
[5]Rao A C， Pathapati V V N R P R. A New Technique Based on Loops to Investigate Displacement Isomorphism in Planetary Gear Trains[J]. Journal of mechanical design， 2002， 124（4）： 662-675.
[6]劉江南，张文博.变拓扑机构可变运动副设计目录研究[J]. 湖南大学学报（自然科学版），2017，44（10）：33-40.
作者简介：陈天鹏（1999-），男，湖北武汉人，本科，学生;郭雨竹（1999-），女，湖北荆州人，本科，学生。
Abstract： Isomorphism Identification Of Planetary Gear Trains（PGTS） is a difficult problem to solve. To solve it，now propose a method to identify whether the planetary gear trains are isomorphic or not.Firstly， promote a new way to describe the diagram of planetary gear trains ，the new toplogical graph can describle the way of how different parts are joined concretely. And we create an asymmetrical adjacency matrix to describle the toplogical graph based on the traditional adjacency matrix，the new adjacency matrix can describle the kind of the parts and how they are joined concretely.After calculating and comparing the eigenvalue and the eigenvector of the djacency matrix， we can identify whether they are isomorphic or not.Through enough tests，it turns out that this method is highly reliable，also can be efficient.
关键词：行星轮系;同构判定;邻接矩阵;特征值;特征向量
Key words： Planetary Gear Train;Isomorphism Identification;adjacency matrix;eigenvalue of a matrix;eigenvector of a matrix
0 引言
行星轮系是指具有一个自由度的周转轮系。行星齿轮传动相比于普通齿轮传动具有质量轻、体积小、承载能力高、传递功率大等优点，因此常被用于制造行星齿轮增速器、减速器、差速器和换向机构。因此，为了创造新的齿轮传动系统，对行星轮系进行同构判定具有重要意义。
国内外学者在行星轮系这一领域进行了许多卓有成效的研究。1970年，Freudenstein等[1]首先将图论用于定义轮系，但是当轮系齿轮过多，拓扑图过于复杂时，不易使用。1987年，Tsai[2]用特征多项式来判定周转轮系的同构，通过这种方法得到许多新的周转轮系机构。RAO等[3]提出了基于汉明串和基于遗传算法的同构识别方法。Yang Ping和V. R. Pathapati等[4，5]通过对相关机构运动链分析，研究了齿轮运动链的同构判定问题。
本文首先参考刘江南[6]对复铰的表示方法，提出了一种新的拓扑图来描述行星轮系，在得到行星轮系的拓扑图后，利用一种新的邻接矩阵来描述行星轮系拓扑图，由该邻接矩阵可知构件的类型及构件间的配合关系。最后通过邻接矩阵的特征值与特征向量来判定行星轮系是否同构，且该方法经过验证具有高效性与可靠性。
1 拓扑图的表示
图1（a）为一种行星轮系传动系统的3D模型，这是一种5杆1自由度的PGT，通过对3D模型转动副和齿轮副以及各构件进行标号可得到如图1（b）所示的原理图，利用各构件间的邻接关系将齿轮副用虚线表示，转动副用实线表示经转化可得到传统的PGT拓扑图1（c），为了更好地表示不同构件通过相同运动副（如图1（b）中的运动副a）相邻接的关系，现将这种邻接关系用一个多边形表示，多边形的边数等于通过相同运动副连接的构件数，并将这个多边形用一个新的构件PIN构件表示。不同的构件与PIN构件相连是指这些构件在多处以相同的运动副互相连接。如图1（d）所示的构件1、3、4、5分别与四边形的PIN构件6号构件相连接，每个构件再通过PIN构件与其他构件相邻接（如构件1与PIN构件相邻接，再通过PIN构件与构件3、4、5相邻接）最后得到的拓扑图与实物图具有一一对应的关系。
2 邻接矩阵的描述
为了更好的描述邻接矩阵，我们给先出定义1。
定义1：构件的度数。构件的度数用di来表示，其中i表示的是构件号。构件的度数是指一个构件与其它构件相邻接时所需要的运动副数，在拓扑图中表现为一个点（多边形）所连接的线（实线、虚线）数之和。如图1的1（c）中1号构件的副数为4，则记d1=4。
本文在基于上述PIN构件的转化方法并改进构件间邻接描述方法后，提出一种新的邻接矩阵描述方法，该新方法可以更好地描述各构件间的邻接关系。对于含m基础个构件和n个PIN构件的行星齿轮系，用m+n阶非对称方阵进行描述。各行（列）表示不同的构件（PIN构件也包括在内），每个构件的类型由0、1、2来描述，0表示该构件为齿轮构件，1表示该构件为杆类型构件，2表示该构件为PIN构件;每个构件与其它构件间的邻接关系用0、1来表示，0表示两构件之间不相邻接，1表示两构件相邻接;每个构件与自身的邻接关系由0来描述;当构件以低副相邻接时，用0表示，当构件以齿轮副外啮合时，用1表示，当构件以齿轮副内啮合时，用2表示，当两构件不相邻接用3表示。现用一位整数与三位小数来表示两构件间的邻接关系与邻接方式，整数部分表示该构件形状，小数部分第一位表示该构件度数，小数部分第二位表示该构件与其他构件是否邻接，小数部分第三位表示该构件与其它构件邻接方式。综上所述，则得到邻接矩阵的的定义如下所示的定义2。 定义2：对于含m基础个构件，n个PIN构件的拓扑图a，其转化后的m+n邻接矩阵A（a）的第i行第j列元素由下式来表示。
由式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）可求得图1（d）对应的拓扑图a1所对应的邻接矩阵A（a1）如下所示：
式（6）为一个6阶非对称方阵，每行（列）分别代表一个构件，该矩阵中每行元素的整数部分相同，如第1行整数部分都为0，表示构件1为齿轮构件，第六行整数部分都为2，表示6号构件为PIN构件，第3行元素整数部分都为1，表示3号构件为非齿轮构件。元素a24=0.411表示构件2为齿轮构件，该构件度为4，且构件2与构件4通过齿轮副外啮合相邻接;元素a35=1.303表示构件3为非齿轮构件，该构件度为3，且构件3与构件5不相邻接。
3 行星轮系同构的判定
3.1 行星轮系同构判定的方法
基于以上特点可以得到如下理论：
对于两行星轮系之间的同构有以下必要条件：两行星轮系的总构件数相同，PIN构件数相同，相对应的分别是邻接矩阵的阶数，元素大于等于2的行数相同。
两行星轮系的运动副数相同，即低副数相同，齿轮副数相同，相对应的分别是邻接矩阵中的元素小数点后第三位为0元素的个数和的1/2相同，元素小数点后为1或2元素个数和的1/2相同。
对于两行星轮系同构的充要条件：两个邻接矩阵的特征值相同，特征向量矩阵可通过行变换转换为同一矩阵。
3.2 行星轮系同构的判别步骤
①写出两行星轮系邻接矩阵，判定两邻接矩阵的阶数是否相同，如果相同，则进行下一步判断;如果不同，则不同构。
②判定两邻接矩阵元素大于等于2的行数是否相同，如果相同，则进入下一步判断;如果不同，则不同构。
③判定两邻接矩阵中小数点后第三位为1或2的元素的个数和，如果相同，则进入下一步判断;如果不同，则不同构。
④计算两邻接矩阵的特征值与特征向量，如果特征值相同，则进行下一步判断;如果特征值不同，则不同构。
⑤如果一个行星齿轮系的邻接矩阵A（a1）的特征向量构成矩阵V（a1）可以经过行变换得到另一邻接矩阵
A（a2）的特征向量构成矩阵V（a2），则同构;如果不能，则不同构。
⑥结束。
判定流程图如图2。
由式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）可的到拓扑图（见图3），a2，a3的邻接矩阵A（a2），A（a3）。
由邻接矩阵A（a1），A（a2），A（a3）可知拓扑图a1，a2，a3对应的邻接矩阵的阶数都为6，元素值大于等于2的行数（即PIN构件个数）都为1，小数点后第三位为1或2个数和都为6（齿轮副数为3），通过同构的必要条件无法判断三者是否同构，需要进行下一步计算。接下来通过邻接矩阵可以求出对应的特征值D（a1），D（a2），D（a3）与特征向量V（a1），V（a2），V（a3）。
由式（9）、（10）、（11）可知D（a1）=D（a2）≠D（a3），则拓扑图a3与拓扑图a1，a2不同构，拓扑图a1，a2是否同构需要进行下一步判断。下面来计算两邻接矩阵的特征向量。
两邻接矩阵特征向量V（a1）、V（a2），如式（12）或式（13）所示。
由式（9）、（10）可知两邻接矩阵A（a1），A（a2）的特征值全部相同（只是行数发生变化），由式（12）、（13）可知两邻接矩阵A（a1），A（a2）每个特征值所对应的特征向量数值完全相同，数值的正负号也相同，只是相同数值所对应元素所在的行数发生了变化。（如V（a1）、V（a2）第1列的元素完全相同， V（a1）第1行和V（a2）第5行交换，V（a1）第2行和 第4行交换……）。其中行的交换表示两行星轮系各构件的对应关系，在本例中，第1行和第5行交換，第2行和第4行交换……。说明轮系a1中的第1行1号构件与轮系a2中的第5行5号构件相对应，轮系a1中第2行2号构件与轮系a2中第4行4号构件相对应……。两特征向量其余未经行变换所代表的构件一一对应。故两轮系邻接矩阵对应特征向量可以变换为相同矩阵，则轮系a1与轮系a2同构，轮系a3与他们不同构。
4 实例证明
如图4所示 a，b为两9杆1自由度的行星轮系简化拓扑图。可得拓扑图a，b所对应的邻接矩阵A（b1），A（b2）。由式（14）、（15）可知两邻接矩阵的阶数都为10，元素大于等于2行数（即PIN构件个数）都为1，元素小数点后第3位为1或2个数之和都为12（高副数为6）。为了进一步判断两行星轮系是否同构，需要进行下一步计算。
拓扑图b1、b2对应邻接矩阵A（b1）、A（b2）：
两邻接矩阵特征值D（b1），D（b2）
由式（16）、（17）可知两邻接矩阵A（a1）、A（a2）的特征值不同，则简化拓扑图b1、b2所对应行星轮系不同构，为了进一步说明两行星轮系不同构，下面再计算两邻接矩阵A（a1）、A（a2）的特征向量。由式（18）、（19）可知两邻接矩阵特征向量无法变为相同矩阵，两行星轮系不同构。两邻接矩阵特征向量V（b1）、V（b2），如式（18）、式（19）所示：
5 结论
①本文引入PIN构件来简化传统的行星轮系的拓扑图，能够很好地表示不同构件以相同运动副邻接的关系，转化后的拓扑图与实物图具有一一对应的关系。
②本文通过优化传统的邻接矩阵的表述，利用1位整数3位小数可以更好地表示出构件类型以及不同构件以不同运动副相邻接的关系。
③本文先利用同构的必要条件来判断是否同构，再利用同构的充要条件通过邻接矩阵的特征值、特征向量来判断是否同构的方法具有高效性，可靠性。 参考文献：
[1]Buchsbaum F， Freudenstein F. Synthesis of kinematic structure of geared kinematic chains and other mechanisms ☆[J]. Journal of Mechanisms， 1970， 5（3）： 357-392.
[2]Tsai L W. An Application of the Linkage Characteristic Polynomial to the Topological Synthesis of Epicyclic Gear Trains[J]. Journal of Mechanical Design， 1987， 109（3）： 329-336.
[3]Rao A C. A genetic algorithm for epicyclic gear trains[J]. Mechanism and Machine Theory： Dynamics of Machine Systems Gears and Power Trandmissions Robots and Manipulator Systems Computer-Aided Design Methods， 2003， 38（2）： 135-147.
[4]Yang P， Pei Z， Liao N， et al. Isomorphism identification for epicyclic gear mechanism based on mapping property and ant algorithm[J]. Engineering with computers， 2007， 23（1）： 49-54.
[5]Rao A C， Pathapati V V N R P R. A New Technique Based on Loops to Investigate Displacement Isomorphism in Planetary Gear Trains[J]. Journal of mechanical design， 2002， 124（4）： 662-675.
[6]劉江南，张文博.变拓扑机构可变运动副设计目录研究[J]. 湖南大学学报（自然科学版），2017，44（10）：33-40.
作者简介：陈天鹏（1999-），男，湖北武汉人，本科，学生;郭雨竹（1999-），女，湖北荆州人，本科，学生。