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解某些不等式时,若按常规思路分类讨论求解,则运算量大,过程冗长,还容易出错. 若能够充分挖掘问题潜在的特殊性,灵活地采用相应的解题策略,则可简化或避免分类讨论.
一、巧用定义域
不等式中代数式有意义的未知数的取值范围,不妨称其为代数式的“定义域”.显然,不等式的解集是其定义域的子集.解题中,若能注意“定义域”,则可简化分类,迅速求解.
例1 设[a<0],且[a]为常数,解不等式[a2-2x2>][x+a].
解析 注意到不等式的“定义域”,有[a2-2x20],即:[x2a22].
而[a<0] ,故有[22ax-22a].
此时,[x+aa-22a=2-22a<0].
所以不等式恒成立,其解集为[22a,-22a].
二、关注隐含条件
注意挖掘不等式成立的隐含条件,简化不等式的变形过程,避免复杂的分类讨论.
例2 若[m<1]且[m≠0],解关于[x]的不等式[(1-m)x-x2+1-1].
解析 原不等式可化为[(1-m)x+1x2+1],
若注意到[x2+1][][1],
则有[(1-m)x+1][][1],即[(1-m)x][]0.
由于[m<1],因此[x0]是一个隐含条件.
于是原不等式可化为[x0,1-mx+12x2+1.]
即[x0,(m2-2m)x2(m-1).]
所以,
[0 [m<0]时,原不等式的解集为[0, +[∞]).
三、数形结合
不等式变形后,将不等号两边分别看成两个函数,分析函数图象的相对位置关系,可简化解题过程.
例3 [a>0]且[a]为常数,解不等式[x2+1-ax][<1].
解析 原不等式可化为[x2+1 令[y=f1(x)=x2+1]的图象为[C1],
[y=f2(x)=ax+1]的图象为[C2].
当[0 [x1=0], [x2=2a1-a2].
又[f1(x)]与[f2(x)]图象如下:
由[y=x2+1]得[y2-x2=1][(y0)],所以[C1]是等轴双曲线的上半支;[C2]是过点(0,1),斜率为[a]的直线系.
当[a]≥1时,
由图1可知,不等式的解集为(0,+[∞]).
当[0 由图2可知,不等式的解集为(0,[2a1-a2]).
四、正难则反
从反面求解,转化为去求不等式的补集,可起到事半功倍的效果.
例4 解关于[x]的不等式[aa-x>a-2x][a<0].
分析 注意到原不等式与不等式[aa-x][a-2xa<0]的关系,
解 [aa-xa-2xa<0] ,
即得:[a-2x0,aa-x0,aa-xa-2x2.]
解之得,[ax34a].
在全集[I=xaa-x0,a<0]中取[M=xax34a,a<0]的补集,
即得原不等式的解集为:[xx>34a,a<0].
五、等价变形
对于有些不等式,若直接求解会比较复杂,若通过等价变形,化为另一种形式求解,可以减少运算过程,顺利求解.
例5 解关于[x]的不等式[0 分析 若按常规解法,需计算两个分式不等式,且要讨论参数[a],运算太复杂.若利用分式的性质:[01a(a>0)]进行等价变形,可得最佳运算途径,简化分类讨论的过程.
解 原不等式等价于[1+2axx2-2x+2>1],因为[x2-2x+2][>0],所以有[1+2ax][>][x2-2x+2],即[x2-2(a+1)x+1][<0]
(1)当[Δ=4(a+1)2-40],
即[-2 (2)当[Δ=4(a+1)2-4>0],
即[a<-2]或[a>0]时,原不等式的解集为
[a+1-a2+2a,a+1+a2+2a].
一、巧用定义域
不等式中代数式有意义的未知数的取值范围,不妨称其为代数式的“定义域”.显然,不等式的解集是其定义域的子集.解题中,若能注意“定义域”,则可简化分类,迅速求解.
例1 设[a<0],且[a]为常数,解不等式[a2-2x2>][x+a].
解析 注意到不等式的“定义域”,有[a2-2x20],即:[x2a22].
而[a<0] ,故有[22ax-22a].
此时,[x+aa-22a=2-22a<0].
所以不等式恒成立,其解集为[22a,-22a].
二、关注隐含条件
注意挖掘不等式成立的隐含条件,简化不等式的变形过程,避免复杂的分类讨论.
例2 若[m<1]且[m≠0],解关于[x]的不等式[(1-m)x-x2+1-1].
解析 原不等式可化为[(1-m)x+1x2+1],
若注意到[x2+1][][1],
则有[(1-m)x+1][][1],即[(1-m)x][]0.
由于[m<1],因此[x0]是一个隐含条件.
于是原不等式可化为[x0,1-mx+12x2+1.]
即[x0,(m2-2m)x2(m-1).]
所以,
[0
三、数形结合
不等式变形后,将不等号两边分别看成两个函数,分析函数图象的相对位置关系,可简化解题过程.
例3 [a>0]且[a]为常数,解不等式[x2+1-ax][<1].
解析 原不等式可化为[x2+1
[y=f2(x)=ax+1]的图象为[C2].
当[0 [x1=0], [x2=2a1-a2].
又[f1(x)]与[f2(x)]图象如下:
由[y=x2+1]得[y2-x2=1][(y0)],所以[C1]是等轴双曲线的上半支;[C2]是过点(0,1),斜率为[a]的直线系.
当[a]≥1时,
由图1可知,不等式的解集为(0,+[∞]).
当[0 由图2可知,不等式的解集为(0,[2a1-a2]).
四、正难则反
从反面求解,转化为去求不等式的补集,可起到事半功倍的效果.
例4 解关于[x]的不等式[aa-x>a-2x][a<0].
分析 注意到原不等式与不等式[aa-x][a-2xa<0]的关系,
解 [aa-xa-2xa<0] ,
即得:[a-2x0,aa-x0,aa-xa-2x2.]
解之得,[ax34a].
在全集[I=xaa-x0,a<0]中取[M=xax34a,a<0]的补集,
即得原不等式的解集为:[xx>34a,a<0].
五、等价变形
对于有些不等式,若直接求解会比较复杂,若通过等价变形,化为另一种形式求解,可以减少运算过程,顺利求解.
例5 解关于[x]的不等式[0
解 原不等式等价于[1+2axx2-2x+2>1],因为[x2-2x+2][>0],所以有[1+2ax][>][x2-2x+2],即[x2-2(a+1)x+1][<0]
(1)当[Δ=4(a+1)2-40],
即[-2 (2)当[Δ=4(a+1)2-4>0],
即[a<-2]或[a>0]时,原不等式的解集为
[a+1-a2+2a,a+1+a2+2a].