〔关键词〕 双曲线;任意一点;焦点;三角形面积
　　〔中图分类号〕 G633.63 〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)08(A)—0061—01
　　
　　题目:已知点M是双曲线■-y2=1上的一点,F1,F2为两焦点,若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.
　　分析:由双曲线■-y2=1,知a=2,b=1,c=■.设|MF1|=t1,|MF2|=t2,由椭圆的定义得|MF1|-|MF2|=4,即|t1-t2|=4,(t1-t2)2=42,t12+t22-2t1t2=16.
　　又因为△F1MF2是直角三角形,所以t12+t22=(2c)2=20.
　　故而得t1t2=2,即S△F1MF2=■t1t2=1.
　　下面把直角三角形F1MF2推广为任意三角形,有以下定理及推论.
　　定理:已知M是双曲线■-■=1(a>0,b>0)上的任意一点,F1,F2是两焦点,若∠F1MF2=?琢,则△F1MF2的面积为b2cot■.
　　 证明:设|MF1|=t1,|MF2|=t2,|F1F2|=2c,由双曲线的定义得,|t1-t2|=2a,(t1-t2)2=(2a)2,t12+t22-2t1t2=4a2.
　　在△F1MF2中,由余弦定理得t12+t22-2t1t2cos?琢=(2c)2.
　　故而得t1t2=■=■.
　　所以S△F1MF2=■t1t2sin?琢=■·■sin?琢=b2cot■.
　　推论1:设M为双曲线■-■=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2是两个焦点,若|MF1|∶|MF2|=m∶n,(m> n> 0),则△F1MF2的面积为b2■
　　证明:由双曲线的定义得,|MF1|-|MF2|=2a.因为
　　|MF1|∶|MF2|=m∶n(m>n>0),所以,|MF1|=■,|MF2|=■.由余弦定理得
　　cos∠F1MF2 =■
　　=■
　　 =■.
　　由cos∠F1MF2=2cos2■-1,
　　1+tan2■=■,
　　得tan■=■
　　=■.
　　∴S△F1MF2=b2tan■=b2■.
　　推论2:已知点M是双曲线■-■=1(a>0,b>0)上的任意一点,F1,F2是两焦点,则|MF1|·|MF2|的最小值为b2.
　　证明:设∠F1MF2=?琢,由定理得△F1MF2的面积为b2cot■.则|MF1|·|MF2|=■=■=■.即当sin2■取最大值1时,|MF1|·|MF2|的最小值为b2.
　　例:已知双曲线■-■=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,点A在双曲线第一象限的图象上,若△AF1F2的面积为1,且tan∠AF1F2=■,tan∠AF2F1=-2,则b2的值为多少?
　　解:由推论2得△AF1F2的面积为b2cot■=1.而tan∠F1AF2=tan[π-(∠AF1F2+AF2F1)]
　　=-tan(∠AF1F2+AF2F1) =-■
　　=■=-■.又tan∠F1AF2 = ■,
　　∴ tan■=-3(舍)或tan■=■,∴cot■ = 3,∴b2 = ■=■.