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【摘要】数学思想是指人们在从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式.加强数学基本思想教学是数学教学的核心目标.数学思想包含很多，但是基本思想主要是抽象、推理和模型.抽象是获取数学概念的重要手段，通过概念教学培养抽象思想；推理思想的培养应贯穿在数学教学的全过程中；培养学生利用数学知识解决有关问题的过程对于形成建模思想具有重要的意义.
【关键词】基本思想；抽象；推理；模型
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》在课程的“总目标”中提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1].数学基本思想是构成核心素养的重要内容.数学核心素养问题在本质上反映了数学教学的根本目标问题.
重视数学思想教学是教师们长期以来“奉行”的主要原则之一，但究竟哪些是数学的基本思想却一直把握不准，存在争议.笔者在本文首先谈谈对数学基本思想的一些新认识，然后提出加强基本思想教学的宏观途径.1正确认识数学基本思想
数学思想是指人们从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式[2].《课标（2011年版）》提出“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想……”[1].
這里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是强调基本思想的重要性；另一方面是控制数量（基本思想不要太多了）.“数学思想”有许多，并且是具有层次性的，而“基本数学思想”则是其中具有本质性特征和基本重要性的一些思想，处于较高的层次，其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来，派生出来，发展出来[3].
要搞清楚究竟哪些是数学基本思想，首先需要建立判断数学基本思想的原则.对此，史宁中教授提出了两个原则[4]：
第一个原则：数学产生和发展所必须依赖的那些思想.
第二个原则：学习数学的人应当具有的基本思维特征.
根据这两个原则，可以把基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.针对具体的教学内容，我们不可能把三者截然分开，在这三个核心要素中抽象是基础，进行推理和建立模型的过程一刻也不能离开抽象，三者之间相互交融在一起，常常是“你中有我，我中有你”.
1.抽象
所谓抽象，就是从许多事物的表象中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程.数学抽象主要包括两个方面的内容：数量与数量关系，图形与图形关系.数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系.与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质.
抽象是数学得以产生和发展的思维基础，数学抽象经历了两个阶段[4]：
第一阶段的抽象是基于现实的.通过对现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到了数学的基本概念、运算法则和基本原理.这种抽象是从感性具体上升到理性具体的思维过程.
第二阶段的抽象是基于逻辑的.通过这个阶段的抽象，合理解释第一次抽象得到的数学概念以及概念之间的关系.这个阶段抽象的特点是符号化、形式化和公理化，这是从理性具体上升到理性一般的思维过程.
案例1一元一次方程的建立过程.
一元一次方程是在学生学习了方程的基础上建立起来的一个代数概念.在这之前学生已经知道“含有未知数的等式就是方程”.为了引导学生经历一元一次方程的建立过程，我们可以引导学生观察下列方程（这四个方程都是根据具体问题情境得到的）的特点：
3x 1=64；4 3（x-1）=64；3y 5=2；2a-3=5a.
学生通过观察、交流，抽象、概括出上述四个方程的两个本质特点：
（1）只有一个未知数；（2）未知数的次数是1.
这就是一元一次方程的本质特点，至此，给出一元一次方程的定义.一元一次方程的概念是建立在抽象基础上的.抽象是形成数学概念的重要逻辑手段.
2.推理
《课标（2011年版）》指出“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”[1]数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程[4].从数学思想的角度看，数学研究对象的确立依赖数学抽象，而数学内部自身的发展则依赖数学推理.
数学推理是一种有逻辑的推理，这种逻辑推理包括归纳推理和演绎推理.
（1）归纳推理：命题的适用范围由小到大的推理，是一种由特殊到一般的推理.归纳推理包括不完全归纳法、类比法、数据分析等，数学的结论都是通过归纳推理得到的，得到的“数学手段”是“猜”而不是“证”.因此，由归纳推理得到的结果不一定都正确.
案例2积的乘方法则的发现过程.
①通过给定问题情境，让学生计算下面的结果：
（2a）2=2a×2a=（2×2）×（a×a）=4a2.
②在此基础上，让学生计算：（2a）3=？（2a）4=？
③一般地，设m是正整数，（ab）m=（ab）·（ab）·…·（ab）m个（ab）=（a·a·…·a）m个a（b·b·…·b）m个b=ambm.
即（ab）m=ambm.
在对一些具体算式进行观察、比较的基础上，通过归纳推理，得到（ab）m=ambm.这是从对个别事实的研究中，得到一般性结论的过程.
（2）演绎推理：命题的适用范围由大到小的推理，是一种由一般到特殊的推理.演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法等.通过演绎推理得到的结论都是正确的. 案例3正方形对角线互相平分的推理过程.
因为平行四边形的对角线互相平分，
而正方形是平行四边形，
所以正方形的对角线互相平分.
这个案例是由“平行四边形的对角线互相平分”和“正方形是平行四边形”这样两个已知的判断，得出新的判断“正方形的对角线互相平分”，这是利用一般原理推出特殊情况下的知识过程，这种推理形式就是演绎推理.
一般情况下，借助于归纳推理“推断”数学的结果，借助于演绎推理“验证”数学结果.人们通过逻辑推理，理解数学研究对象之间的因果关系，并且用抽象的术语和符号描述这种关系，形成数学的命题和运算结果，促进了数学内部的发展[4].
3.模型
数学模型就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构.在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，各种图表、图形等都是数学模型[3].
数学模型有两个主要特点：
（1）是经过抽象、舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；
（2）是借助于数学符号来表示，并且能进行数学推演的结构.
模型思想是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想[4].史宁中教授进一步解释说“掌握模型思想就是把握现实世界中一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，用合适的数学符号表达问题的本质与规律，最后得到刻画一类事物的数学模型[4]”.
案例4著名的哥尼斯堡七桥问题.图1图2
（1）图3所示的是生活中常见的一些平行四边形的实例.你还能举出类似的实例吗？
（2）通过观察上述实例，你发现具有什么特征的四边形是平行四边形？你能根据这一特征画出一个平行四边形来吗？ 设计意图学生在小学已认识平行四边形，但对其本质属性并不理解.给出的两个问题不是对第二学段平行四边形知识的简单复习，而是让学生在已有认识的基础上，经历平行四边形定义的抽象过程.通过图形语言、符号语言和文字语言，使学生理解其数学实质.因此，这是一个从感性到理性，从认识的初级阶段到高级阶段的升华过程.活动（1）回忆小学对平行四边形的认识，观察和举出生活中平行四边形的实例，唤起学生对平行四边形形象的感知；（2）通过观察实例和画图，发现平行四边形的共同特征，给出定义，然后结合定义和图形识别平行四边形的两组对边，加深对“两组对边分别平行”的理解，并会用符号语言表示出平行四边形.
2.2合情推理和演绎推理相辅相成，提升学生推理能力
前面谈到逻辑推理有归纳推理和演绎推理两种基本形式，由于数学结论从产生到验证的整个过程，都严格地遵循了这两种形式的逻辑推理，所以数学才具有严谨性.多年来，我们在培养学生推理能力方面的教学现实是：过分强调了演绎推理，而忽略了归纳推理（或者说对归纳推理的重视程度不够）.这对于学生“创新意识”等核心素养的形成是非常不利的.
杨振宁先生曾经说过，我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎推理，我在美国学到了归纳推理.可以说，熟练的进行这两种推理是杨振宁先生取得巨大成功的条件之一.正因为如此，杨振宁先生主张中国学生不仅要学会演绎法，更要掌握归纳法.这里的归纳法属于合情推理的范畴[5].
《课标（2011年版）》指出“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”[1].
这实际上就是我们培养学生逻辑推理能力的宏观原则.在初中阶段，培养学生的推理能力应贯穿于整个数学学习的过程之中[3]：
其一，贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践等所有课程领域.
其二，贯穿于数学课堂教学的各种活动过程.如在概念教学中，要引导学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念的定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，正确把握条件和结论之间的逻辑关系；在证明题的教学中，要让学生在关知识的基础上（定理、公理、法则），利用数学推理的手段，证明数学结论.
其三，贯穿于整个数学学习的环节之中，如预习、复习、课堂教学、反馈练习等，在所有的这些学习环节中，都要求学生做到言必有据，合乎逻辑.
案例6“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的发现与证明过程.
对于这个定理，我们可以用以下三个问题引导学生“先发现，再证明”，而不是直接让学生进行证明：
（1）根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如果把定义中的“两组对边平行”改为“一组对边平行且相等”，你能画出满足这两个条件的四边形吗？
（2）观察你得到的四边形，你猜测它是平行四边形吗？
（3）能证明你的猜测是正确的吗？
已知：如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图5，连接AC.因为AD∥BC，所以∠1=∠2.因为AD=BC，AC=CA，所以△CDA≌△ABC（SAS）.所以∠3=∠4，AB∥CD.所以四边形ABCD是平行四边形.图4图5
设计意图本题的设计分为“画图——猜想——证明”三部分.首先从平行四边形的定义出发，通过将“两组对边平行”改为“一组对边平行且相等”，引导学生按照新的条件自己动手画出图形；然后在观察所画图形的基础上，发现新的命题，提出猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.最后探索命题的证明过程.在此基础上得到判定定理.这种设计既能培养学生的合情推理能力，又能培养演绎推理能力，而且对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力也是非常有必要的.
在数学性质、定理的教学中，教师要把重点放在引导学生探索性质、定理的发现过程，证明思路的猜测过程以及证明方法的尝试过程上，因为学生在经历探索、猜测、尝试的过程中，能发展其合情推理能力和演绎推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.实现《课标（2011年版）》提出的“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力与演绎推理能力”的目的[6].
2.3通过建立模型培养学生的应用意识
《课标（2011年版）》指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出數学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.”[1]
数学模型使得数学走出了自我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁，我们借助数学模型能使数学回归现实世界.数学教学实际上就是教给学生前人构建的一个一个的数学模型的过程，学生在通过建立模型，掌握数学基础知识，利用所学知识解决问题的过程中，逐渐形成数学模型思想.数学教学要结合具体的内容充分体现“问题情境——建立模型——求解验证”的过程.
析解：由于重力的作用，水流在各个方向沿形状相同的抛物线形路线落下，水流的高度与水平距离构成二次函数关系.首先建立如图7所示的直角坐标系，以OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，O为原点.（1）由题意可知，A点坐标为（0，125），抛物线的顶点坐标B为（1，225），则可得到抛物线的解析式y=-（x-1）2 225.当y=0时，求得x=05（舍去），x=25.所以水池的半径至少要25米.（2）由于抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y=-（x-m）2 k，将A（0，125）及C（35，0）代入得m=117，k=3141196=3.7，此时水流最大高度达37米.
学生通过建立解数学模型解决有关实际问题的过程中，可以体会到如何用数学的“眼睛”观察现实世界，如何用数学的“思维”思考现实世界，如何用数学的“语言”描述现实世界[4].
数学教学就是通过一些具体知识的传授，向学生滲透一些基本的数学思想，使他们“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1].从而逐渐形成一种“数学头脑”，学会“运用数学的思维方式进行思考”.这种数学思考充分表现在“三会”上：会抽象——能够在错综复杂的事物中把握本质；会推理——能在杂乱无章的事物中理清头绪；会建模——能在千头万绪的事物中发现规律.这些恰好是数学基本思想的核心[4].因此，教师在教学活动中，首先要理解数学的本质，并创设出合适的教学情境，然后引导学生在思考、探究、猜测、推理、解答这些问题的过程中，理解并掌握数学概念和运算法则，感悟数学命题的构建过程，感悟问题的本原和数学表达的意义.这一系列活动都应当源于数学基本思想.
参考文献
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李树臣.突出数学思想主线，优化教材知识结构——青岛版《义务教育教科书·数学》（七—九）编写的原则之一[J].中学数学（湖北），2016（12）.
[3]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[5]李树臣等.深入研究数学课程标准，强化合情推理能力教学[J].中国数学教育，2013（10）.
[6]李树臣.重视图形几何教学，提高学生推理能力——青岛版《义务教育教科书·数学》中的几何内容分析[J].中学数学杂志，2015（6）.
【关键词】基本思想；抽象；推理；模型
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标（2011年版）》在课程的“总目标”中提出“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1].数学基本思想是构成核心素养的重要内容.数学核心素养问题在本质上反映了数学教学的根本目标问题.
重视数学思想教学是教师们长期以来“奉行”的主要原则之一，但究竟哪些是数学的基本思想却一直把握不准，存在争议.笔者在本文首先谈谈对数学基本思想的一些新认识，然后提出加强基本思想教学的宏观途径.1正确认识数学基本思想
数学思想是指人们从事各种数学活动时，所表现出来的种种数学观念及思维方式[2].《课标（2011年版）》提出“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想……”[1].
這里在“思想”前面加上了“基本”二字，目的有二：一方面是强调基本思想的重要性；另一方面是控制数量（基本思想不要太多了）.“数学思想”有许多，并且是具有层次性的，而“基本数学思想”则是其中具有本质性特征和基本重要性的一些思想，处于较高的层次，其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来，派生出来，发展出来[3].
要搞清楚究竟哪些是数学基本思想，首先需要建立判断数学基本思想的原则.对此，史宁中教授提出了两个原则[4]：
第一个原则：数学产生和发展所必须依赖的那些思想.
第二个原则：学习数学的人应当具有的基本思维特征.
根据这两个原则，可以把基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型.针对具体的教学内容，我们不可能把三者截然分开，在这三个核心要素中抽象是基础，进行推理和建立模型的过程一刻也不能离开抽象，三者之间相互交融在一起，常常是“你中有我，我中有你”.
1.抽象
所谓抽象，就是从许多事物的表象中舍弃个别的、非本质属性，得到共同的、本质属性的思维过程.数学抽象主要包括两个方面的内容：数量与数量关系，图形与图形关系.数学的抽象不仅仅要抽象出数学所要研究的对象，还要抽象出这些研究对象之间的关系.与研究对象的存在性相比，研究对象之间的关系更为本质.
抽象是数学得以产生和发展的思维基础，数学抽象经历了两个阶段[4]：
第一阶段的抽象是基于现实的.通过对现实世界中的数量与数量关系、图形与图形关系的抽象，得到了数学的基本概念、运算法则和基本原理.这种抽象是从感性具体上升到理性具体的思维过程.
第二阶段的抽象是基于逻辑的.通过这个阶段的抽象，合理解释第一次抽象得到的数学概念以及概念之间的关系.这个阶段抽象的特点是符号化、形式化和公理化，这是从理性具体上升到理性一般的思维过程.
案例1一元一次方程的建立过程.
一元一次方程是在学生学习了方程的基础上建立起来的一个代数概念.在这之前学生已经知道“含有未知数的等式就是方程”.为了引导学生经历一元一次方程的建立过程，我们可以引导学生观察下列方程（这四个方程都是根据具体问题情境得到的）的特点：
3x 1=64；4 3（x-1）=64；3y 5=2；2a-3=5a.
学生通过观察、交流，抽象、概括出上述四个方程的两个本质特点：
（1）只有一个未知数；（2）未知数的次数是1.
这就是一元一次方程的本质特点，至此，给出一元一次方程的定义.一元一次方程的概念是建立在抽象基础上的.抽象是形成数学概念的重要逻辑手段.
2.推理
《课标（2011年版）》指出“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.”[1]数学推理就是得到数学命题或者验证数学命题的思维过程[4].从数学思想的角度看，数学研究对象的确立依赖数学抽象，而数学内部自身的发展则依赖数学推理.
数学推理是一种有逻辑的推理，这种逻辑推理包括归纳推理和演绎推理.
（1）归纳推理：命题的适用范围由小到大的推理，是一种由特殊到一般的推理.归纳推理包括不完全归纳法、类比法、数据分析等，数学的结论都是通过归纳推理得到的，得到的“数学手段”是“猜”而不是“证”.因此，由归纳推理得到的结果不一定都正确.
案例2积的乘方法则的发现过程.
①通过给定问题情境，让学生计算下面的结果：
（2a）2=2a×2a=（2×2）×（a×a）=4a2.
②在此基础上，让学生计算：（2a）3=？（2a）4=？
③一般地，设m是正整数，（ab）m=（ab）·（ab）·…·（ab）m个（ab）=（a·a·…·a）m个a（b·b·…·b）m个b=ambm.
即（ab）m=ambm.
在对一些具体算式进行观察、比较的基础上，通过归纳推理，得到（ab）m=ambm.这是从对个别事实的研究中，得到一般性结论的过程.
（2）演绎推理：命题的适用范围由大到小的推理，是一种由一般到特殊的推理.演绎推理包括三段论、反证法、数学归纳法等.通过演绎推理得到的结论都是正确的. 案例3正方形对角线互相平分的推理过程.
因为平行四边形的对角线互相平分，
而正方形是平行四边形，
所以正方形的对角线互相平分.
这个案例是由“平行四边形的对角线互相平分”和“正方形是平行四边形”这样两个已知的判断，得出新的判断“正方形的对角线互相平分”，这是利用一般原理推出特殊情况下的知识过程，这种推理形式就是演绎推理.
一般情况下，借助于归纳推理“推断”数学的结果，借助于演绎推理“验证”数学结果.人们通过逻辑推理，理解数学研究对象之间的因果关系，并且用抽象的术语和符号描述这种关系，形成数学的命题和运算结果，促进了数学内部的发展[4].
3.模型
数学模型就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构.在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，各种图表、图形等都是数学模型[3].
数学模型有两个主要特点：
（1）是经过抽象、舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；
（2）是借助于数学符号来表示，并且能进行数学推演的结构.
模型思想是指能够有意识地用数学的概念、原理和方法，理解、描述以及解决现实世界中一类问题的那种思想[4].史宁中教授进一步解释说“掌握模型思想就是把握现实世界中一类问题的本质与规律，用恰当的数学语言描述问题的本质与规律，用合适的数学符号表达问题的本质与规律，最后得到刻画一类事物的数学模型[4]”.
案例4著名的哥尼斯堡七桥问题.图1图2
（1）图3所示的是生活中常见的一些平行四边形的实例.你还能举出类似的实例吗？
（2）通过观察上述实例，你发现具有什么特征的四边形是平行四边形？你能根据这一特征画出一个平行四边形来吗？ 设计意图学生在小学已认识平行四边形，但对其本质属性并不理解.给出的两个问题不是对第二学段平行四边形知识的简单复习，而是让学生在已有认识的基础上，经历平行四边形定义的抽象过程.通过图形语言、符号语言和文字语言，使学生理解其数学实质.因此，这是一个从感性到理性，从认识的初级阶段到高级阶段的升华过程.活动（1）回忆小学对平行四边形的认识，观察和举出生活中平行四边形的实例，唤起学生对平行四边形形象的感知；（2）通过观察实例和画图，发现平行四边形的共同特征，给出定义，然后结合定义和图形识别平行四边形的两组对边，加深对“两组对边分别平行”的理解，并会用符号语言表示出平行四边形.
2.2合情推理和演绎推理相辅相成，提升学生推理能力
前面谈到逻辑推理有归纳推理和演绎推理两种基本形式，由于数学结论从产生到验证的整个过程，都严格地遵循了这两种形式的逻辑推理，所以数学才具有严谨性.多年来，我们在培养学生推理能力方面的教学现实是：过分强调了演绎推理，而忽略了归纳推理（或者说对归纳推理的重视程度不够）.这对于学生“创新意识”等核心素养的形成是非常不利的.
杨振宁先生曾经说过，我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎推理，我在美国学到了归纳推理.可以说，熟练的进行这两种推理是杨振宁先生取得巨大成功的条件之一.正因为如此，杨振宁先生主张中国学生不仅要学会演绎法，更要掌握归纳法.这里的归纳法属于合情推理的范畴[5].
《课标（2011年版）》指出“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论”[1].
这实际上就是我们培养学生逻辑推理能力的宏观原则.在初中阶段，培养学生的推理能力应贯穿于整个数学学习的过程之中[3]：
其一，贯穿于整个数学课程的各个学习内容，即应包括数与代数、图形与几何、统计与概率以及综合与实践等所有课程领域.
其二，贯穿于数学课堂教学的各种活动过程.如在概念教学中，要引导学生经历从特定对象的本质属性入手，抽象、概括形成概念的过程，并引导学生有条理地表述概念的定义；在命题教学中，引导学生分清条件、结论，正确把握条件和结论之间的逻辑关系；在证明题的教学中，要让学生在关知识的基础上（定理、公理、法则），利用数学推理的手段，证明数学结论.
其三，贯穿于整个数学学习的环节之中，如预习、复习、课堂教学、反馈练习等，在所有的这些学习环节中，都要求学生做到言必有据，合乎逻辑.
案例6“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的发现与证明过程.
对于这个定理，我们可以用以下三个问题引导学生“先发现，再证明”，而不是直接让学生进行证明：
（1）根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如果把定义中的“两组对边平行”改为“一组对边平行且相等”，你能画出满足这两个条件的四边形吗？
（2）观察你得到的四边形，你猜测它是平行四边形吗？
（3）能证明你的猜测是正确的吗？
已知：如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图5，连接AC.因为AD∥BC，所以∠1=∠2.因为AD=BC，AC=CA，所以△CDA≌△ABC（SAS）.所以∠3=∠4，AB∥CD.所以四边形ABCD是平行四边形.图4图5
设计意图本题的设计分为“画图——猜想——证明”三部分.首先从平行四边形的定义出发，通过将“两组对边平行”改为“一组对边平行且相等”，引导学生按照新的条件自己动手画出图形；然后在观察所画图形的基础上，发现新的命题，提出猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”.最后探索命题的证明过程.在此基础上得到判定定理.这种设计既能培养学生的合情推理能力，又能培养演绎推理能力，而且对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力也是非常有必要的.
在数学性质、定理的教学中，教师要把重点放在引导学生探索性质、定理的发现过程，证明思路的猜测过程以及证明方法的尝试过程上，因为学生在经历探索、猜测、尝试的过程中，能发展其合情推理能力和演绎推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.实现《课标（2011年版）》提出的“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力与演绎推理能力”的目的[6].
2.3通过建立模型培养学生的应用意识
《课标（2011年版）》指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出數学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.”[1]
数学模型使得数学走出了自我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁，我们借助数学模型能使数学回归现实世界.数学教学实际上就是教给学生前人构建的一个一个的数学模型的过程，学生在通过建立模型，掌握数学基础知识，利用所学知识解决问题的过程中，逐渐形成数学模型思想.数学教学要结合具体的内容充分体现“问题情境——建立模型——求解验证”的过程.
析解：由于重力的作用，水流在各个方向沿形状相同的抛物线形路线落下，水流的高度与水平距离构成二次函数关系.首先建立如图7所示的直角坐标系，以OA所在直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，O为原点.（1）由题意可知，A点坐标为（0，125），抛物线的顶点坐标B为（1，225），则可得到抛物线的解析式y=-（x-1）2 225.当y=0时，求得x=05（舍去），x=25.所以水池的半径至少要25米.（2）由于抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y=-（x-m）2 k，将A（0，125）及C（35，0）代入得m=117，k=3141196=3.7，此时水流最大高度达37米.
学生通过建立解数学模型解决有关实际问题的过程中，可以体会到如何用数学的“眼睛”观察现实世界，如何用数学的“思维”思考现实世界，如何用数学的“语言”描述现实世界[4].
数学教学就是通过一些具体知识的传授，向学生滲透一些基本的数学思想，使他们“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1].从而逐渐形成一种“数学头脑”，学会“运用数学的思维方式进行思考”.这种数学思考充分表现在“三会”上：会抽象——能够在错综复杂的事物中把握本质；会推理——能在杂乱无章的事物中理清头绪；会建模——能在千头万绪的事物中发现规律.这些恰好是数学基本思想的核心[4].因此，教师在教学活动中，首先要理解数学的本质，并创设出合适的教学情境，然后引导学生在思考、探究、猜测、推理、解答这些问题的过程中，理解并掌握数学概念和运算法则，感悟数学命题的构建过程，感悟问题的本原和数学表达的意义.这一系列活动都应当源于数学基本思想.
参考文献
[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李树臣.突出数学思想主线，优化教材知识结构——青岛版《义务教育教科书·数学》（七—九）编写的原则之一[J].中学数学（湖北），2016（12）.
[3]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[4]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.
[5]李树臣等.深入研究数学课程标准，强化合情推理能力教学[J].中国数学教育，2013（10）.
[6]李树臣.重视图形几何教学，提高学生推理能力——青岛版《义务教育教科书·数学》中的几何内容分析[J].中学数学杂志，2015（6）.