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摘 要：探究式学习是一种积极的学习方式，能有效地激发学生的学习动力，有利于提高教学效果． 本文初步探讨了探究式学习在高中数学教学中的应用，希望本文的观点能为相关研究提供参考．
关键词：探究式；高中；数学教学
通常我们将科学课中学生主动探究问题的积极的学习方式称为探究式学习（inquiry learning），具体地讲就是在教师的引导下，学生在学习特定的材料、问题及文本时采用科学研究的方法与过程，在获得科学知识的同时完成理解、体验并应用科学的研究方法的任务．探究式学习和传统的学习方式相比有很大的不同，它倡导学生的深入参与，引导学生实现自我感悟及发现，促进情感变化与认知变化的统一，能推进学生的经验系统与先前体验的不断发展．
■基于“问题导学”的探究式学习
“问题导学”将学生的“学习”作为根本的目的，教师借助于问题载体引导学生找到解决问题的方法． 作为现代教学的思想基石的“问题导学”实现了三个转变，即：教学重心由以往的“教”转变为现在的“学”，教师的作用由以往的“传授”转变为现在的“导”，学生也由以往的“听受”角色转换为现在的“学”．
案例1 我们可以通过下述的问题来开展“函数零点的存在性定理”的学习．
让学生准备一条细线与一支笔，并把它们放在桌上，把细线当做函数图象，把笔当做轴，并保持不动，通过活动细线A，B两个端点，对笔和细线的交点个数进行观察，同时思考下述几个问题：
问题一：若A与B这两个端点位于笔芯的两端，那么细线和笔所在的直线的交点个数有几个？交点会分布在什么位置？
（1）图1能否算是一种情况？
（2）图2能否算是一种情况？
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图1
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图2
问题二：若A与B这两个端点分布在笔芯的一侧，那么细线和笔所处的直线的交点个数有几个？
问题三：细线与笔芯在何种情况下必有交点？若出现细线断的情况，是否可以保证？
问题四：根据函数零点的相关概念，上述结论该怎样通过数学语言表达出来？
通过上述的四个问题，学生在教师的引导下自然直观地确立了函数零点的存在性定理．
■基于“变式引申”的探究式学习
教师有计划、有目的地转化命题的方法就是“变式”． 针对以往学过的命题，进行拓展、引申与变式，不仅有利于激发学生的学习兴趣，引导学生进行积极主动的思考，而且也有利于深化学生对思想、方法及数学知识的理解．
案例2 已知f（x）=x2-2x+b2，若?坌x∈0，■， f（x）＞1成立，求实数b的取值范围．
变式：?埚x0∈0，■， f（x0）＞1成立，求实数b的取值范围．
引申：已知f（x）=x2，g（x）=■■-m，若对于?坌x1∈［-1，3］，?埚x2∈［0，2］使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．
■基于“特殊到一般”的探究式学习
在教学中使用“特殊到一般”的方法不仅有利于培养学生的抽象思维，而且有利于增强学生思维的发散性及严谨性．
案例3 有一壁画（图3），A为最高点，和地面的距离是4 m；B为最低点，和地面的距离是2 m． 如果从C处（距地面1.5 m）观赏它，那么和墙相距几米时，视角θ最大？
改编题：小明在国庆期间去参观画展，在壁画前方有垂直于地面的透明玻璃墙． 图4是小明欣赏这幅壁画的纵截面示意图，已知壁画和玻璃墙间的距离OC是1 m，壁画的高度是2米，壁画底端和地面的距离BO是1 m. 如果小明身高a m（0＜α＜3），若他在壁画的正前方的x m处欣赏壁画，那么观看这幅壁画上下两端所成的视角θ在x为几米时最大？
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图3
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图4
原题为单纯的数字计算，缺乏思维的张力，而联系实际改变的试题涉及了分类讨论的思想方法，区分度有所提高．
■基于“构造创设”的探究式学习
从条件到结论的定向思考是我们解答数学问题时常用的方法之一，然而有些问题使用此种方法很难找到答案．在遇到这种情况时我们应通过想象、迁移、变形、构造、加工的方法来处理题目中的信息，构建新的数学模型． 构造法指的是通过建立数学模型之间的关系，实现命题转换，以找到答案的方法．
案例4 已知sinA＋sin3A＋sin5A＝a，cosA＋cos3A＋cos5A＝b，
求证：当b≠0时，tan3A＝■．
■
证明：如图5，因点M（cosA，sinA），N（cos3A，sin3A），P（cos5A，sin5A）均在单位圆上，连结OM，ON，OP，则有│MN│=│NP│，于是△MNP为等腰三角形，其重心必在NO上． 又△MNP的重心坐标x＝■（cosA＋cos3A＋cos5A）＝■b，y＝sinA＋sin3A＋sin5A＝■a，故tan3A＝■a÷■b＝■．
■基于“批判反思”的探究式学习
教师在实际的教学活动中进行问题情境的创设时，可以将“认知冲突”作为诱因，教师通过对学生在认知上所存在的矛盾的揭示，将学生置于“心理失衡”的状态． 学生为了改变这一不稳定的状态，就会主动地寻找新的知识点与理论，以期实现知识结构的平衡． “批判反思”的方式效果明显：不仅能够刺激学生的智力心理，激发学习兴趣；而且能及时地纠正学生在认知方面的错误，满足构建知识的需求．
案例4 已知函数f（x）=│x2+2x-1│，若a＜b＜-1且f（a）=f（b），求证：-1＜ab+a+b＜1．
对此类题目可以采用以下两种方法来进行解答：
由a2+b2=2-2（a+b）变形为（a+1）2+（b+1）2=4，即为圆的方程，从而产生：
解法1：数形结合法，如图6，点（a，b）（其中a＜b＜-1）的轨迹是以（－1，－1）为圆心，2为半径的圆的■（不含端点），设t=a+b，由线性规划知识可得t∈（-2-2■，-4）．
解法2：参数法，由（a+1）2+（b+1）2=4及（a＜b＜-1）可设a+1=2cosθ，b+1=2sinθ（cosθ＜sinθ＜0），可规定θ∈π，■，故ab+a+b=（a+1）（b+1）-1=2sinθ2cosθ-1=2sin2θ-1，所以得ab+a+b的取值范围为（－1，1）．
■
所以ab+a+b的取值范围为（－1，1），如此一来就简化了运算过程，思维也比较清晰了．
根据《考试大纲》的具体要求，命题者应把握好三类试题，分别是：反映数学素质、考查数学主体内容的试题；体现数形的变化运动的试题；开放型、研究型及探究型的试题． 大纲中的这一规定要求我们必须转变现有的学习方式．因此，必须加强学生的探究学习，探究式学习应经历“对数学事实的观察分析——提出有意义的数学问题——发现揭示科学的数学规律与结论——完成证明与解释”的完整过程．
关键词：探究式；高中；数学教学
通常我们将科学课中学生主动探究问题的积极的学习方式称为探究式学习（inquiry learning），具体地讲就是在教师的引导下，学生在学习特定的材料、问题及文本时采用科学研究的方法与过程，在获得科学知识的同时完成理解、体验并应用科学的研究方法的任务．探究式学习和传统的学习方式相比有很大的不同，它倡导学生的深入参与，引导学生实现自我感悟及发现，促进情感变化与认知变化的统一，能推进学生的经验系统与先前体验的不断发展．
■基于“问题导学”的探究式学习
“问题导学”将学生的“学习”作为根本的目的，教师借助于问题载体引导学生找到解决问题的方法． 作为现代教学的思想基石的“问题导学”实现了三个转变，即：教学重心由以往的“教”转变为现在的“学”，教师的作用由以往的“传授”转变为现在的“导”，学生也由以往的“听受”角色转换为现在的“学”．
案例1 我们可以通过下述的问题来开展“函数零点的存在性定理”的学习．
让学生准备一条细线与一支笔，并把它们放在桌上，把细线当做函数图象，把笔当做轴，并保持不动，通过活动细线A，B两个端点，对笔和细线的交点个数进行观察，同时思考下述几个问题：
问题一：若A与B这两个端点位于笔芯的两端，那么细线和笔所在的直线的交点个数有几个？交点会分布在什么位置？
（1）图1能否算是一种情况？
（2）图2能否算是一种情况？
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问题二：若A与B这两个端点分布在笔芯的一侧，那么细线和笔所处的直线的交点个数有几个？
问题三：细线与笔芯在何种情况下必有交点？若出现细线断的情况，是否可以保证？
问题四：根据函数零点的相关概念，上述结论该怎样通过数学语言表达出来？
通过上述的四个问题，学生在教师的引导下自然直观地确立了函数零点的存在性定理．
■基于“变式引申”的探究式学习
教师有计划、有目的地转化命题的方法就是“变式”． 针对以往学过的命题，进行拓展、引申与变式，不仅有利于激发学生的学习兴趣，引导学生进行积极主动的思考，而且也有利于深化学生对思想、方法及数学知识的理解．
案例2 已知f（x）=x2-2x+b2，若?坌x∈0，■， f（x）＞1成立，求实数b的取值范围．
变式：?埚x0∈0，■， f（x0）＞1成立，求实数b的取值范围．
引申：已知f（x）=x2，g（x）=■■-m，若对于?坌x1∈［-1，3］，?埚x2∈［0，2］使得f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．
■基于“特殊到一般”的探究式学习
在教学中使用“特殊到一般”的方法不仅有利于培养学生的抽象思维，而且有利于增强学生思维的发散性及严谨性．
案例3 有一壁画（图3），A为最高点，和地面的距离是4 m；B为最低点，和地面的距离是2 m． 如果从C处（距地面1.5 m）观赏它，那么和墙相距几米时，视角θ最大？
改编题：小明在国庆期间去参观画展，在壁画前方有垂直于地面的透明玻璃墙． 图4是小明欣赏这幅壁画的纵截面示意图，已知壁画和玻璃墙间的距离OC是1 m，壁画的高度是2米，壁画底端和地面的距离BO是1 m. 如果小明身高a m（0＜α＜3），若他在壁画的正前方的x m处欣赏壁画，那么观看这幅壁画上下两端所成的视角θ在x为几米时最大？
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图4
原题为单纯的数字计算，缺乏思维的张力，而联系实际改变的试题涉及了分类讨论的思想方法，区分度有所提高．
■基于“构造创设”的探究式学习
从条件到结论的定向思考是我们解答数学问题时常用的方法之一，然而有些问题使用此种方法很难找到答案．在遇到这种情况时我们应通过想象、迁移、变形、构造、加工的方法来处理题目中的信息，构建新的数学模型． 构造法指的是通过建立数学模型之间的关系，实现命题转换，以找到答案的方法．
案例4 已知sinA＋sin3A＋sin5A＝a，cosA＋cos3A＋cos5A＝b，
求证：当b≠0时，tan3A＝■．
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证明：如图5，因点M（cosA，sinA），N（cos3A，sin3A），P（cos5A，sin5A）均在单位圆上，连结OM，ON，OP，则有│MN│=│NP│，于是△MNP为等腰三角形，其重心必在NO上． 又△MNP的重心坐标x＝■（cosA＋cos3A＋cos5A）＝■b，y＝sinA＋sin3A＋sin5A＝■a，故tan3A＝■a÷■b＝■．
■基于“批判反思”的探究式学习
教师在实际的教学活动中进行问题情境的创设时，可以将“认知冲突”作为诱因，教师通过对学生在认知上所存在的矛盾的揭示，将学生置于“心理失衡”的状态． 学生为了改变这一不稳定的状态，就会主动地寻找新的知识点与理论，以期实现知识结构的平衡． “批判反思”的方式效果明显：不仅能够刺激学生的智力心理，激发学习兴趣；而且能及时地纠正学生在认知方面的错误，满足构建知识的需求．
案例4 已知函数f（x）=│x2+2x-1│，若a＜b＜-1且f（a）=f（b），求证：-1＜ab+a+b＜1．
对此类题目可以采用以下两种方法来进行解答：
由a2+b2=2-2（a+b）变形为（a+1）2+（b+1）2=4，即为圆的方程，从而产生：
解法1：数形结合法，如图6，点（a，b）（其中a＜b＜-1）的轨迹是以（－1，－1）为圆心，2为半径的圆的■（不含端点），设t=a+b，由线性规划知识可得t∈（-2-2■，-4）．
解法2：参数法，由（a+1）2+（b+1）2=4及（a＜b＜-1）可设a+1=2cosθ，b+1=2sinθ（cosθ＜sinθ＜0），可规定θ∈π，■，故ab+a+b=（a+1）（b+1）-1=2sinθ2cosθ-1=2sin2θ-1，所以得ab+a+b的取值范围为（－1，1）．
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所以ab+a+b的取值范围为（－1，1），如此一来就简化了运算过程，思维也比较清晰了．
根据《考试大纲》的具体要求，命题者应把握好三类试题，分别是：反映数学素质、考查数学主体内容的试题；体现数形的变化运动的试题；开放型、研究型及探究型的试题． 大纲中的这一规定要求我们必须转变现有的学习方式．因此，必须加强学生的探究学习，探究式学习应经历“对数学事实的观察分析——提出有意义的数学问题——发现揭示科学的数学规律与结论——完成证明与解释”的完整过程．