【摘要】三角形各角的三等分线中，每相邻的两条三等分线的交点构成一个正三角形，这是著名的莫勒定理.文章考虑的是三角形边的三等分线，得到了它们的交点所构成三角形的一些性质.
　　【关键词】三角形;三等分线;相似;相似比
　　1904年英国数学家莫勒(Morley)发现了初等几何中的一条著名定理:三角形三个角的六个三等分线中，相邻的（不在同一个角上）两条三等分线的交点，是一个等边三角形的顶点.本文探讨的是三角形边的三等分线交点所构成的三角形性质.
　　图 1
　　引理 如图1，AE1，AE2，BF1，BF2，CD1，CD2为△ABC边的三等分线，则每条三等分线被其他四条三等分线所截的五条线段的长度至上而下(从三角形顶点开始)之比都为60∶24∶21∶15∶20.特别地，AA1∶A1A4∶A4B3∶B3B1∶B1E1=60∶24∶21∶15∶20.
　　证明 连接D1F2分别交AE1，AE2于G1，G2.
　　则D1G1∶E1C=13BE1∶E1C=1∶6，
　　得G1A1∶A1E1=1∶6，从而
　　G1A1=17G1E1=17×23AE1=221AE1，
　　AA1=AG1+G1A1=13AE1+221AE1=37AE1.
　　另一方面，利用G1F2∶BE1=2∶3，有
　　A1A4=G1A4-G1A1=25G1E1-221AE1
　　=25×23AE1-221AE1=635AE1.
　　只要连接F1D2，类似地，可得B1E1=17AE1，B3B1=328AE1.
　　∴A4B3=AE1-AA1-A1A4-B3B1-B1E1=320AE1.
　　因此，AA1∶A1A4∶A4B3∶B3B1∶B1E1=60∶24∶21∶15∶20.
　　同理，其余的三等分线被△ABC三等分线所截的五条线段长度至上而下之比为60∶24∶21∶15∶20.
　　定理1 三角形边的六条三等分线中，相邻的（不在同一个角上）两条三等分线的交点构成的三角形与原三角形相似，且边的相似比为1∶5.
　　图 2
　　如图2，已知△ABC边的三等分线AE1与BF2，BF1与CD2，CD1与AE2的交点分别为A4，B4，C4，则△A4B4C4∽△ABC，且边的相似比为1∶5.
　　证明 由引理可知，A4C4∥E1E2，B4C4∥D1D2，A4B4∥F1F2，从而△A4B4C4∽△ABC，且A4C4BC=A4C43E1E2=AA43AE1=15.证毕.
　　根据引理，类似定理1的证明，还可以得到下面一个结论.
　　定理2 三角形边的六条三等分线中，靠近三角形同一顶点的（不在这个顶点上）两条三等分线的交点构成的三角形与原三角形相似，且边的相似比为1∶4.
　　图 3
　　如图3，已知△ABC边的三等分线CD1与BF2，AE1与CD2，BF1与AE2的交点分别为A3，B3，C3，则△A3B3C3∽△ABC，且边的相似比为1∶4.
　　定理3 在等腰三角形边的六条三等分线中，两组不相邻的三等分线交点形成的两个三角形全等.
　　图 4
　　如图4，已知△ABC为等腰三角形，A1，B1，C1，A2，B2，C2分别是边的三等分线CD1与AE1，AE1与BF1，BF1与CD1，AE2与BF2，BF2与CD2，CD2与AE2的交点,则△A1B1C1≌△A2C2B2.
　　证明 由已知，可得AE1=AE2，BF1=CD2，CD1=BF2.再根据引理，有A1B1=A2C2，B1C1=C2B2，A1C1=A2B2,所以△A1B1C1≌△A2C2B2.证毕.
　　另外，纪保存在2000年还得到三角形各外角的三等分线中，靠近每边的两条的交点(共三个)构成正三角形.虽然本文没得到与泰勒定理相关的性质，但本文还发现了当考虑的三角形为等边三角形时，图2所示的△A4B4C4，图3所示的△A3B3C3以及图4所示的△A1B1C1，△A2B2C2均为等边三角形.
　　【参考文献】
　　纪保存.关于三角形外角三等分线的一个定理.数学通报，2000(1)：20.