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江苏兴化中学
摘要：新课改下的数学教学的关键就在于提高课堂教学效率，探讨如何提高数学课堂教学的有效性，加强训练的针对性是必须的. 笔者认为，首先，优化课堂教学的整体结构，提高数学课堂教学的效率. 其次，制定合理、有效的教学目标，提升学生课堂知识的空间. 而后，精取有序的、递进的训练习题，提高学生训练的针对性.
关键词：教学效率；知识空间；针对训练
《新课标》指出：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道. 课堂教学质量如何，是否深入细致了解学生的知识、基本技能和思维方式；是否根据学生的认知结构和建构活动的特点来组织与呈现教学内容，并设计有利于学生主动参与的教学活动；是否使学生在一定的训练时间，有知识覆盖性、针对性，且使学生获得成功学习的体验，直接关系到学生数学基础知识的掌握、能力的发展、兴趣的培养以及思想品德的培养等等. 而新课改下的数学教学的关键就在于提高课堂教学效率. 那么如何提高数学课堂教学的有效性，加强训练的针对性，特别是对于即将面临高考的高三学生，通过数学教学而促进他们的能力得以全面的发展呢？
[⇩]优化课堂教学的整体结构，提高数学课堂教学的效率
数学课堂教学一般有复习旧知识、引入新知识、传授新知识、反馈新知识、深化新知识、课堂小结、作业布置等过程，而对于高三的学生来讲，数学的课堂主要是以复习课的形式呈现，以综合性的内容体现. 如何在强化基础知识、基本技能的前提条件下，恰当地把各部分进行搭配与排列，设计合理的课堂教学层次，充分利用课堂时间，精心选择例题，习题讲练结合是高三数学课堂的最重要环节. 因此在设计课堂整体时，教师必须重视学生认知过程的完整性. 人们认识事物的过程是一个渐进的过程. 因此，要做到使教学层次的展开符合学生认知规律，就必须从基础知识出发，使教师的教与学生的学两方面的活动协调.
例如，在“等差数列”这一节的综合运用复习课中，知识的构建是在学生理解等差数列的定义、通项、前n项和以及性质的基础上，课前可让学生先进行复习回顾，且将要点一一列出.
1． 等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则称这个数列为等差数列，这个常数叫做公差. 即an+1－an=d（常数），其中n∈N+（或者表示为an+2－an+1=an+1－an，n∈N+）.
2. 等差数列的通项公式
an=a1+（n－1）d.
①推广：an=am+（n－m）d.
②变式：d=.
③函数关系式：an=an+b（a，b为常数）.
3. 等差数列的前n项和公式
Sn=或Sn=na1+d.
①n为奇数时，有Sn=na中，S奇－S偶=a中；n为偶数时，有S偶－S奇=d.
②函数关系式：S奇=An2+Bn（A，B为常数）.
4. 等差中项
若a，b，c成等差数列，则称b为a与c的等差中项，即b=. a，b，c成等差数列⇔2b=a+c.
5. 等差数列的性质
①在等差数列｛an｝中，若m+n=p+q，则有am+an=ap+aq.
②若｛an｝，｛bn｝均为等差数列，则数列｛pan｝，｛an＋q｝，｛an±bn｝也成等差数列.
③若数列｛an｝成等差数列，则下标成等差的子数列也成等差数列.
④若数列｛an｝成等差数列，Sn为其前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等差数列；数列
为等差数列；……
那么，在课堂中，教师针对学生熟悉程度，列出等差数列的知识点进行整体重难点的概括，知识点的引申，思想方法的提炼. 如：
1. 这一环节不仅侧重学生对公式的记忆，而且应明确公式的推导过程，这里蕴涵了数列中重要的解题方法（叠加法或构造法）以及强调公式之间的相互联系.
2. 不仅要熟练应用基本公式，还要会用变通的公式和等差数列的有关性质. 如在等差数列中，am=an+（m－n）d；若m+n=k+l，则am+an=ak+al等.
3. 由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，即“知三求二”，要求选择公式必须灵活恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的解题目的.
4. 在求解等差数列的问题中，除了要注意函数思想、方程思想、消元及整体思想的运用外，还要特别注意在解题中要有“目标意识”，需要什么，就求什么，提高解题的针对性.
在组织课堂教学时，当学生领会到知识要点后，应安排动脑动手与独立思考的练习，提炼出基础知识中的相互联系的内容和基本思想方法. 如果教师及时捕捉反馈信息，学生就会有一个由感性认识到理性认识并由认识到实践的过程，从而加深对知识的领会，能力也得到相应发展. 教师还必须注意紧扣教学目的与要求，充分熟悉教材，理解教材的重点、难点、基本要求与能力要求，从多方面围绕教学目的来组织课堂教学. 当课堂容量较大时，要保证讲清重点，解决难点. 其他的可以指明思路，找出关键，有的甚至可以点而不讲，但要指导学生自学完成；当课堂容量不大时，可安排学生分析评论，并进一步深化练习，进行比较、提高. 这样一来，课堂结构紧凑，时间得到充分利用，有利于提高课堂教学的效率.
[⇩]制定合理、有效的教学目标，提升学生课堂学习效率
知识技能、过程方法与情感态度的三维目标是一个密切联系的有机整体. 课堂教学的实效性首先取决于课堂教学目标的有效性，其中情感与态度的发展离不开知识与技能的学习. 同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提. 教学中，一要根据学生实际与时俱进地选择好教学内容，扎实地为学生打基础. 二要关注学生的学习过程和学习结果. 三要呵护学生的学习热情，尽力调动学生的积极性、主动性，让学生体验数学的价值，建立正确的价值观.
例如，在讲解等差数列的综合性问题时，选举例题：
在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110的值.
引导一般性思维求解，可从等差数列的前n项的公式出发，建立与等差数列首项a1以及公差d有关的方程组求解.
解析设等差数列｛a｝的首项为a1，公差为d，则前n项和Sn=na1+d.
由已知条件
10a1
+d=100，①
100a1
+d=10 ②
⇒a1=
，
d=－，
所以S110=110×a1+×d=－110.
引导在此基础上，能否再从等差数列前n项和的公式特征出发，也是建立方程组去求解？学生会想到函数的关系式Sn=An2+Bn（A，B为常数）.
解析设等差数列｛an｝前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）.
由已知条件
A×102+B×10=100， ①
A×1002+B×100=10 ②
⇒A=－
，
B=.
所以S110=A×1102+B×110=－110.
引导在等差数列｛an｝的基础上，能不能再思考一下等差数列前n项和Sn的性质，即能在Sn的基础上再去建立适当的等差数列帮助我们求解问题？学生再一次回到总结的性质中去思考，不难发现两种形式. 所以，以下两种求解方法，自然由学生思考得出.
解析1因为数列｛an｝是等差数列，
所以S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100为等差数列，设公差为D.
S100=S10+（S20－S10）+（S30－S20）+…+（S100－S90）
=10S10+×D=10.
S110=S10+（S20－S10）+（S30－S20）+…+（S110－S100）=11×S10+×D=－110.
解析2因为数列｛an｝是等差数列，所以数列
是等差数列. 数列
中，第10项=10，第100项=，则第110项=－1，所以S110=－110.
引导在肯定了以上两种利用等差数列前n项和构造新的等差数列求解的基础上，我们又可以将问题还原，即求解等差数列的前n项中不仅要熟练地运用Sn=na1+d这一公式，还可以选用Sn=·n，则S110=×110，那么a1+a110如何得到？学生自然又会想到等差数列的基本性质.
解析S100－S10=a11+a12+…+a100=×90=×90=－90，
所以=－1.
所以S110=×110=－110.
引申再进一步将问题变形：
“若等差数列｛an｝中，Sp=q，Sq=p，且p≠q（p，q∈N+），求Sp+q.”
这样一来，通过求解上一问题，在对等差数列的定义、通项公式、函数关系式、性质及前n项和公式进行有效训练的基础上，教师引导学生深入问题的本质，提炼问题的精髓，从而使学生对等差数列有了进一步的认识. 目标的制定有了一定的梯度，最终能使学生都积极参与、尽情投入到学习中去，使能力相对差一些学生能品尝到成功的喜悦使能力水平较好的学生也有了充分施展才华的空间. 毫无疑问，制定准确、明确、有层次的目标，就保证了教学的方向，使教学有了现实的可操作性和评价性，有利于教学效率的提高.
[⇩]精取有序，递进的训练习题，提高学生训练的针对性
分析数学课程标准的要求，了解知识点在高中数学的地位与作用，研究高考命题趋势，是精心选择例题、习题，判断数学题对技能训练是否有价值的主要途径. 而训练必须有计划、有层次地进行. 数学训练分为三个阶段：模仿练习阶段、变式训练阶段与综合训练阶段. 模仿练习一般是在新知识学习之后，在教师的示范下进行的练习，所选题目难度不高、变化不大，要求学生按照掌握的法则与步骤进行运算，以确保结果的正确性，同时在自己的头脑中留下较清晰的经验. 变式训练阶段的习题难度适当提高，习题形式多有变化，同时在自己的头脑中留下较清晰的经验. 变式训练阶段的习题要求学生不仅得到正确的答案，还必须对操作的过程、依据、方法进行总结与概括，促使心智操作方式从经验上升到理性水平，为技能操作实现自动化打下基础. 综合训练阶段可选用的训练题必须具有一定的综合性、探索性、灵活性，训练学生确定操作方向，灵活运用法则的能力，为技能向能力转化打下基础.
例如，设计等差数列问题课内训练题：
练习1等差数列｛an｝中，a10=100，a100=10，求a110 .
引申1 等差数列｛an｝中，ap=q，aq=p（p≠q，p，q∈N+），求ap+q .
练习2 若两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别是Sn，Tn .
已知=，求的值.
引申2 若两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别是Sn，Tn .
已知=，求的值. （思考，若条件不变，求的值）
这样通过有针对性的训练，及时的帮助学生巩固了等差数列的基础知识以及逐步提高了学生解决等差数列问题的能力. 其实，学生专注于适合自己水平的训练活动. 这个更多的是一个“数学思考”的策略，学生有意义的训练学习不是一个被动接受知识、强化储存、一味模仿的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程，而所有的这些都必须在训练活动中进行实践. 这需要学习者用内心的体验与创造（对学生来说，是一种创造）来学习数学，只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力后，才可以说达到了较高程度的掌握. 有针对性的才是最有效的，把核心的知识通过一定的“强度”放在学生“专注”的时域内，让学生充分思考，达到较高程度的掌握，课堂教学才谓之有效.
摘要：新课改下的数学教学的关键就在于提高课堂教学效率，探讨如何提高数学课堂教学的有效性，加强训练的针对性是必须的. 笔者认为，首先，优化课堂教学的整体结构，提高数学课堂教学的效率. 其次，制定合理、有效的教学目标，提升学生课堂知识的空间. 而后，精取有序的、递进的训练习题，提高学生训练的针对性.
关键词：教学效率；知识空间；针对训练
《新课标》指出：数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育的主渠道. 课堂教学质量如何，是否深入细致了解学生的知识、基本技能和思维方式；是否根据学生的认知结构和建构活动的特点来组织与呈现教学内容，并设计有利于学生主动参与的教学活动；是否使学生在一定的训练时间，有知识覆盖性、针对性，且使学生获得成功学习的体验，直接关系到学生数学基础知识的掌握、能力的发展、兴趣的培养以及思想品德的培养等等. 而新课改下的数学教学的关键就在于提高课堂教学效率. 那么如何提高数学课堂教学的有效性，加强训练的针对性，特别是对于即将面临高考的高三学生，通过数学教学而促进他们的能力得以全面的发展呢？
[⇩]优化课堂教学的整体结构，提高数学课堂教学的效率
数学课堂教学一般有复习旧知识、引入新知识、传授新知识、反馈新知识、深化新知识、课堂小结、作业布置等过程，而对于高三的学生来讲，数学的课堂主要是以复习课的形式呈现，以综合性的内容体现. 如何在强化基础知识、基本技能的前提条件下，恰当地把各部分进行搭配与排列，设计合理的课堂教学层次，充分利用课堂时间，精心选择例题，习题讲练结合是高三数学课堂的最重要环节. 因此在设计课堂整体时，教师必须重视学生认知过程的完整性. 人们认识事物的过程是一个渐进的过程. 因此，要做到使教学层次的展开符合学生认知规律，就必须从基础知识出发，使教师的教与学生的学两方面的活动协调.
例如，在“等差数列”这一节的综合运用复习课中，知识的构建是在学生理解等差数列的定义、通项、前n项和以及性质的基础上，课前可让学生先进行复习回顾，且将要点一一列出.
1． 等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，则称这个数列为等差数列，这个常数叫做公差. 即an+1－an=d（常数），其中n∈N+（或者表示为an+2－an+1=an+1－an，n∈N+）.
2. 等差数列的通项公式
an=a1+（n－1）d.
①推广：an=am+（n－m）d.
②变式：d=.
③函数关系式：an=an+b（a，b为常数）.
3. 等差数列的前n项和公式
Sn=或Sn=na1+d.
①n为奇数时，有Sn=na中，S奇－S偶=a中；n为偶数时，有S偶－S奇=d.
②函数关系式：S奇=An2+Bn（A，B为常数）.
4. 等差中项
若a，b，c成等差数列，则称b为a与c的等差中项，即b=. a，b，c成等差数列⇔2b=a+c.
5. 等差数列的性质
①在等差数列｛an｝中，若m+n=p+q，则有am+an=ap+aq.
②若｛an｝，｛bn｝均为等差数列，则数列｛pan｝，｛an＋q｝，｛an±bn｝也成等差数列.
③若数列｛an｝成等差数列，则下标成等差的子数列也成等差数列.
④若数列｛an｝成等差数列，Sn为其前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等差数列；数列
为等差数列；……
那么，在课堂中，教师针对学生熟悉程度，列出等差数列的知识点进行整体重难点的概括，知识点的引申，思想方法的提炼. 如：
1. 这一环节不仅侧重学生对公式的记忆，而且应明确公式的推导过程，这里蕴涵了数列中重要的解题方法（叠加法或构造法）以及强调公式之间的相互联系.
2. 不仅要熟练应用基本公式，还要会用变通的公式和等差数列的有关性质. 如在等差数列中，am=an+（m－n）d；若m+n=k+l，则am+an=ak+al等.
3. 由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，即“知三求二”，要求选择公式必须灵活恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的解题目的.
4. 在求解等差数列的问题中，除了要注意函数思想、方程思想、消元及整体思想的运用外，还要特别注意在解题中要有“目标意识”，需要什么，就求什么，提高解题的针对性.
在组织课堂教学时，当学生领会到知识要点后，应安排动脑动手与独立思考的练习，提炼出基础知识中的相互联系的内容和基本思想方法. 如果教师及时捕捉反馈信息，学生就会有一个由感性认识到理性认识并由认识到实践的过程，从而加深对知识的领会，能力也得到相应发展. 教师还必须注意紧扣教学目的与要求，充分熟悉教材，理解教材的重点、难点、基本要求与能力要求，从多方面围绕教学目的来组织课堂教学. 当课堂容量较大时，要保证讲清重点，解决难点. 其他的可以指明思路，找出关键，有的甚至可以点而不讲，但要指导学生自学完成；当课堂容量不大时，可安排学生分析评论，并进一步深化练习，进行比较、提高. 这样一来，课堂结构紧凑，时间得到充分利用，有利于提高课堂教学的效率.
[⇩]制定合理、有效的教学目标，提升学生课堂学习效率
知识技能、过程方法与情感态度的三维目标是一个密切联系的有机整体. 课堂教学的实效性首先取决于课堂教学目标的有效性，其中情感与态度的发展离不开知识与技能的学习. 同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提. 教学中，一要根据学生实际与时俱进地选择好教学内容，扎实地为学生打基础. 二要关注学生的学习过程和学习结果. 三要呵护学生的学习热情，尽力调动学生的积极性、主动性，让学生体验数学的价值，建立正确的价值观.
例如，在讲解等差数列的综合性问题时，选举例题：
在等差数列｛an｝中，前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110的值.
引导一般性思维求解，可从等差数列的前n项的公式出发，建立与等差数列首项a1以及公差d有关的方程组求解.
解析设等差数列｛a｝的首项为a1，公差为d，则前n项和Sn=na1+d.
由已知条件
10a1
+d=100，①
100a1
+d=10 ②
⇒a1=
，
d=－，
所以S110=110×a1+×d=－110.
引导在此基础上，能否再从等差数列前n项和的公式特征出发，也是建立方程组去求解？学生会想到函数的关系式Sn=An2+Bn（A，B为常数）.
解析设等差数列｛an｝前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）.
由已知条件
A×102+B×10=100， ①
A×1002+B×100=10 ②
⇒A=－
，
B=.
所以S110=A×1102+B×110=－110.
引导在等差数列｛an｝的基础上，能不能再思考一下等差数列前n项和Sn的性质，即能在Sn的基础上再去建立适当的等差数列帮助我们求解问题？学生再一次回到总结的性质中去思考，不难发现两种形式. 所以，以下两种求解方法，自然由学生思考得出.
解析1因为数列｛an｝是等差数列，
所以S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100为等差数列，设公差为D.
S100=S10+（S20－S10）+（S30－S20）+…+（S100－S90）
=10S10+×D=10.
S110=S10+（S20－S10）+（S30－S20）+…+（S110－S100）=11×S10+×D=－110.
解析2因为数列｛an｝是等差数列，所以数列
是等差数列. 数列
中，第10项=10，第100项=，则第110项=－1，所以S110=－110.
引导在肯定了以上两种利用等差数列前n项和构造新的等差数列求解的基础上，我们又可以将问题还原，即求解等差数列的前n项中不仅要熟练地运用Sn=na1+d这一公式，还可以选用Sn=·n，则S110=×110，那么a1+a110如何得到？学生自然又会想到等差数列的基本性质.
解析S100－S10=a11+a12+…+a100=×90=×90=－90，
所以=－1.
所以S110=×110=－110.
引申再进一步将问题变形：
“若等差数列｛an｝中，Sp=q，Sq=p，且p≠q（p，q∈N+），求Sp+q.”
这样一来，通过求解上一问题，在对等差数列的定义、通项公式、函数关系式、性质及前n项和公式进行有效训练的基础上，教师引导学生深入问题的本质，提炼问题的精髓，从而使学生对等差数列有了进一步的认识. 目标的制定有了一定的梯度，最终能使学生都积极参与、尽情投入到学习中去，使能力相对差一些学生能品尝到成功的喜悦使能力水平较好的学生也有了充分施展才华的空间. 毫无疑问，制定准确、明确、有层次的目标，就保证了教学的方向，使教学有了现实的可操作性和评价性，有利于教学效率的提高.
[⇩]精取有序，递进的训练习题，提高学生训练的针对性
分析数学课程标准的要求，了解知识点在高中数学的地位与作用，研究高考命题趋势，是精心选择例题、习题，判断数学题对技能训练是否有价值的主要途径. 而训练必须有计划、有层次地进行. 数学训练分为三个阶段：模仿练习阶段、变式训练阶段与综合训练阶段. 模仿练习一般是在新知识学习之后，在教师的示范下进行的练习，所选题目难度不高、变化不大，要求学生按照掌握的法则与步骤进行运算，以确保结果的正确性，同时在自己的头脑中留下较清晰的经验. 变式训练阶段的习题难度适当提高，习题形式多有变化，同时在自己的头脑中留下较清晰的经验. 变式训练阶段的习题要求学生不仅得到正确的答案，还必须对操作的过程、依据、方法进行总结与概括，促使心智操作方式从经验上升到理性水平，为技能操作实现自动化打下基础. 综合训练阶段可选用的训练题必须具有一定的综合性、探索性、灵活性，训练学生确定操作方向，灵活运用法则的能力，为技能向能力转化打下基础.
例如，设计等差数列问题课内训练题：
练习1等差数列｛an｝中，a10=100，a100=10，求a110 .
引申1 等差数列｛an｝中，ap=q，aq=p（p≠q，p，q∈N+），求ap+q .
练习2 若两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别是Sn，Tn .
已知=，求的值.
引申2 若两个等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别是Sn，Tn .
已知=，求的值. （思考，若条件不变，求的值）
这样通过有针对性的训练，及时的帮助学生巩固了等差数列的基础知识以及逐步提高了学生解决等差数列问题的能力. 其实，学生专注于适合自己水平的训练活动. 这个更多的是一个“数学思考”的策略，学生有意义的训练学习不是一个被动接受知识、强化储存、一味模仿的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程，而所有的这些都必须在训练活动中进行实践. 这需要学习者用内心的体验与创造（对学生来说，是一种创造）来学习数学，只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力后，才可以说达到了较高程度的掌握. 有针对性的才是最有效的，把核心的知识通过一定的“强度”放在学生“专注”的时域内，让学生充分思考，达到较高程度的掌握，课堂教学才谓之有效.