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一、想一想学习目标
1.认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位；
2.渗透对应关系，提高学生的数感.
二、点一点重点与难点
重点：平面直角坐标系和点的坐标.
难点：正确画坐标和找对应点.
三、理一理知识要点
1.坐标平面内的点和有序实数对一一对应
已知点P(x，y），它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A（3，2）和B（2，3）表示两个不同的点．
对于坐标平面内的任意一点P，存在唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y），在坐标平面内有唯一的P点和它对应.这里，（x，y）称为点P的坐标，x是横坐标，y是纵坐标，x写在前，y写在后．
2.特殊点的坐标
x轴上点的纵坐标为零，即（x，0），如果某点的坐标为（x，0），则它在x轴上．
y轴上点的横坐标为零，即（0，y），如果某点的坐标为（0，y），则它在y轴上．
第一、三象限角平分线上点的横坐标和纵坐标相等，即（x，x），如果点的坐标为（x，x），则它必定在一、三象限角平分线上．
第二、四象限角平分线上点的横坐标和纵坐标互为相反数，即（x，－x），如果点的坐标为（x，－x），则它在二、四象限角平分线上．
原点的坐标是（0，0），反之，坐标是（0，0）的点是原点.
3.对称点
关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
关于原点对称的两点的横坐标、纵坐标都互为相反数．如果一个点的坐标为（A，B），那么这个点关于x轴、y轴、原点的对称点分别是（A，－B）、（－A，B）、（－A，－B）．它的逆命题亦成立．
4.点P（x，y）到两坐标轴的距离
四、指一指易误点
1.概念不清
例1 求点P（m，－n）与两坐标轴的距离．
误解一：点P（m，－n）到x轴的距离为n，到y轴的距离为m．
误解二：点P（m，－n）到x轴的距离为|m|，到y轴的距离为|－n|即|n|．
正解：点P（m，－n）到x轴的距离为|－n|，即|n|，到y轴的距离为|m|．
剖析：误解一以为m表示正数，－n表示负数，因而得出错误结论.
在题中没有明确限制条件时，我们认为m，－n都表示任意实数，所以P点到x轴的距离应等于它的纵坐标－n的绝对值，即|－n|＝|n|；P点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值，即|m|．
直角坐标平面上点的坐标（x，y）是有序的实数对，误解二由于概念不清，把其中前面的数x表示成到横坐标的距离，后面的数y表示成到纵坐标的距离，所以所得结果也是错误的．
2.搞错坐标特点
例2 已知点P（m，2m-1）在x轴上，则P点的坐标是_______.
错解：因为点P在x轴上，所以m=0，所以2m-1=-1，所以点P的坐标为（0，-1）.
剖析：错解把x、y轴上的点的坐标特点搞混了，x轴上的点的坐标特征是纵坐标为0，而不是横坐标为0.
例3 一个菱形的每边长是5，一条对角线长是6，取两条对角线所在直线作为坐标轴，求四个顶点的坐标．
误解：如图1，ABCD为菱形，以对角线AC，BD所在直线为坐标轴建立直角坐标系.
∵CA＝6，OA＝3，又AB＝5，
故菱形ABCD四个顶点的坐标分别为A（3，0），
B（0，4），C（－3，0），D（0，－4）．
（1）以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立直角坐标系（同误解中的图1），得菱形四个顶点A，B，C，D的坐标分别为（3，0），（0，4），（－3，0），（0，－4）；
（2）以BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立直角坐标系（如图2），则得菱形四个顶点A，B，C，D的坐标分别为（0，3），（－4，0），（0，－3），（4，0）．
剖析：误解主要是对题中的一句话没有正确理解，即“取两条对角线所在直线作为坐标轴”，它的涵义是：已知的长为6的对角线所在直线既可以作为x轴，也可以作为y轴．误解只考虑了其中一种情况，因而所得答案是不完整的．
五、举一举常考点
考点1．确定象限
例4 在平面直角坐标系中，点（－2，3）所在的象限是（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由于点（－2，3）的横坐标－2＜0，纵坐标3＞0，根据各象限内点的符号的特征可知，点（－2，3）在第二象限，故应选B.
评注：坐标轴把坐标平面分成四个象限，我们不妨把各象限内点的符号特征，以图片的形式印在自己的脑海中.
考点2．确定字母的范围
例5 在平面直角坐标系中，若点P（x－2，x）在第二象限，则x的取值范围为（）
A.0＜x＜2 B.x＜2
C.x＞0 D.x＞2
解析：第二象限中点的符号特征：横坐标＜0，纵坐标＞0，于是有x－2＜0，x＞0，即0＜x＜2.故应选A.
评注：搞清楚各象限中对应坐标的符号是求解这类问题的关键.
考点3.对称问题
例6 已知点P（3，－2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（）
A.（－3，2） B.（－3，－2）
C.（3，2）D.（3，－2）
解析：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，于是点P（3，－2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（3，2）.故应选C.
评注：直角坐标系内点的对称规律是：点P（m，n）关于x轴的对称点是P1（m，－n）；点P（m，n）关于y轴的对称点是P2（－m，n）；点P（m，n）关于原点的对称点是P3（－m，－n）；点P（m，n）关于y＝x的对称点是P4（n，m）；点P（m，n）关于y＝－x的对称点是P5（－n，－m）.
考点4.坐标几何图形问题
例7 如图3，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上.其中，A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为 平方单位.
解析：由于A点坐标为（2，－1），所以B点坐标为（4，3），C点坐标为（1，2），要求△ABC的面积，如图可以转化为求直角梯形ABED的面积和Rt△ACD、Rt△BCE的面积，此时有E点坐标为(1，3)，D点坐标为(1，－1)，于是可求得△ABC的面积为5（平方单位）.
评注：对于处理平面直角坐标系中的有关几何图形的面积问题，一般的思路都是化不规则的为规则的图形，再利用相关的几何图形的面积公式求解.
1.认识平面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能画出点的坐标位；
2.渗透对应关系，提高学生的数感.
二、点一点重点与难点
重点：平面直角坐标系和点的坐标.
难点：正确画坐标和找对应点.
三、理一理知识要点
1.坐标平面内的点和有序实数对一一对应
已知点P(x，y），它的横坐标x和纵坐标y的顺序是不能任意交换的，A（3，2）和B（2，3）表示两个不同的点．
对于坐标平面内的任意一点P，存在唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y），在坐标平面内有唯一的P点和它对应.这里，（x，y）称为点P的坐标，x是横坐标，y是纵坐标，x写在前，y写在后．
2.特殊点的坐标
x轴上点的纵坐标为零，即（x，0），如果某点的坐标为（x，0），则它在x轴上．
y轴上点的横坐标为零，即（0，y），如果某点的坐标为（0，y），则它在y轴上．
第一、三象限角平分线上点的横坐标和纵坐标相等，即（x，x），如果点的坐标为（x，x），则它必定在一、三象限角平分线上．
第二、四象限角平分线上点的横坐标和纵坐标互为相反数，即（x，－x），如果点的坐标为（x，－x），则它在二、四象限角平分线上．
原点的坐标是（0，0），反之，坐标是（0，0）的点是原点.
3.对称点
关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
关于原点对称的两点的横坐标、纵坐标都互为相反数．如果一个点的坐标为（A，B），那么这个点关于x轴、y轴、原点的对称点分别是（A，－B）、（－A，B）、（－A，－B）．它的逆命题亦成立．
4.点P（x，y）到两坐标轴的距离
四、指一指易误点
1.概念不清
例1 求点P（m，－n）与两坐标轴的距离．
误解一：点P（m，－n）到x轴的距离为n，到y轴的距离为m．
误解二：点P（m，－n）到x轴的距离为|m|，到y轴的距离为|－n|即|n|．
正解：点P（m，－n）到x轴的距离为|－n|，即|n|，到y轴的距离为|m|．
剖析：误解一以为m表示正数，－n表示负数，因而得出错误结论.
在题中没有明确限制条件时，我们认为m，－n都表示任意实数，所以P点到x轴的距离应等于它的纵坐标－n的绝对值，即|－n|＝|n|；P点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值，即|m|．
直角坐标平面上点的坐标（x，y）是有序的实数对，误解二由于概念不清，把其中前面的数x表示成到横坐标的距离，后面的数y表示成到纵坐标的距离，所以所得结果也是错误的．
2.搞错坐标特点
例2 已知点P（m，2m-1）在x轴上，则P点的坐标是_______.
错解：因为点P在x轴上，所以m=0，所以2m-1=-1，所以点P的坐标为（0，-1）.
剖析：错解把x、y轴上的点的坐标特点搞混了，x轴上的点的坐标特征是纵坐标为0，而不是横坐标为0.
例3 一个菱形的每边长是5，一条对角线长是6，取两条对角线所在直线作为坐标轴，求四个顶点的坐标．
误解：如图1，ABCD为菱形，以对角线AC，BD所在直线为坐标轴建立直角坐标系.
∵CA＝6，OA＝3，又AB＝5，
故菱形ABCD四个顶点的坐标分别为A（3，0），
B（0，4），C（－3，0），D（0，－4）．
（1）以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立直角坐标系（同误解中的图1），得菱形四个顶点A，B，C，D的坐标分别为（3，0），（0，4），（－3，0），（0，－4）；
（2）以BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立直角坐标系（如图2），则得菱形四个顶点A，B，C，D的坐标分别为（0，3），（－4，0），（0，－3），（4，0）．
剖析：误解主要是对题中的一句话没有正确理解，即“取两条对角线所在直线作为坐标轴”，它的涵义是：已知的长为6的对角线所在直线既可以作为x轴，也可以作为y轴．误解只考虑了其中一种情况，因而所得答案是不完整的．
五、举一举常考点
考点1．确定象限
例4 在平面直角坐标系中，点（－2，3）所在的象限是（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：由于点（－2，3）的横坐标－2＜0，纵坐标3＞0，根据各象限内点的符号的特征可知，点（－2，3）在第二象限，故应选B.
评注：坐标轴把坐标平面分成四个象限，我们不妨把各象限内点的符号特征，以图片的形式印在自己的脑海中.
考点2．确定字母的范围
例5 在平面直角坐标系中，若点P（x－2，x）在第二象限，则x的取值范围为（）
A.0＜x＜2 B.x＜2
C.x＞0 D.x＞2
解析：第二象限中点的符号特征：横坐标＜0，纵坐标＞0，于是有x－2＜0，x＞0，即0＜x＜2.故应选A.
评注：搞清楚各象限中对应坐标的符号是求解这类问题的关键.
考点3.对称问题
例6 已知点P（3，－2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（）
A.（－3，2） B.（－3，－2）
C.（3，2）D.（3，－2）
解析：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，于是点P（3，－2）与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标为（3，2）.故应选C.
评注：直角坐标系内点的对称规律是：点P（m，n）关于x轴的对称点是P1（m，－n）；点P（m，n）关于y轴的对称点是P2（－m，n）；点P（m，n）关于原点的对称点是P3（－m，－n）；点P（m，n）关于y＝x的对称点是P4（n，m）；点P（m，n）关于y＝－x的对称点是P5（－n，－m）.
考点4.坐标几何图形问题
例7 如图3，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上.其中，A点坐标为（2，－1），则△ABC的面积为 平方单位.
解析：由于A点坐标为（2，－1），所以B点坐标为（4，3），C点坐标为（1，2），要求△ABC的面积，如图可以转化为求直角梯形ABED的面积和Rt△ACD、Rt△BCE的面积，此时有E点坐标为(1，3)，D点坐标为(1，－1)，于是可求得△ABC的面积为5（平方单位）.
评注：对于处理平面直角坐标系中的有关几何图形的面积问题，一般的思路都是化不规则的为规则的图形，再利用相关的几何图形的面积公式求解.