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摘 要：反证法是采用逆向思维方式、间接证明的一种重要的数学方法。高等数学作为高校中各门学科的基础课程，其方法和思想贯穿于其他各个学科。在高等数学命题的证明中巧妙使用反证法，往往会使证明过程简洁明快，快速达到我们要证明结论的效果。本文主要通过介绍反证法的应用背景、定义、应用步骤，进而将其应用推广到在高等数学中。
关键词：反证法;高等数学;证明;应用
一、研究背景
数学证明分为直接证明和间接证明。直接证明法就是从条件入手，环环相扣，进而得到结论成立;而当我们遇到的问题从正面出发不容易求解，甚至解决不了的时候，我们就要从问题的反面出发，即从结论的反面入手，通过层层推理论证，得到事物真实的一面。
反证法作为数学证明中的一种间接性的数学方法，学生从中学阶段就开始接触到并使用此方法，其在高等学校数学各个分支的应用都非常广泛，显而易见，其在基础性学科——高等数学中的应用更是如此。反证法的应用及其广泛，但是学生仍对反证法的理解和掌握存在着诸多问题，原因就是反证法需要学生能够对之前所学过的定义、定理、给出的命题及何种情况下使用此方法都必须做出准确的分析和判断。分析和判断的能力就要求学生必须正确地掌握反证法的原理、使用步骤及其在何种情况下使用此方法，进而研究其在高等数学中的应用。
二、反证法的定义
反证法采用逆向思维方式，通过间接地去否定与事物相反的一面，从而得出事物真实的一面。反证法是先反设结论不成立，即原命题的反面成立，然后通过层层递推，推出与已知的定义、定理、公理或假设自相矛盾，从而得到反设结论不成立为假命题，也就是原命题成立。总体来说就是通过证明原命题的否命题为假，进而得到原命题为真的方法即为反证法。
三、应用反证法的步骤
提出假设。即反设结论不成立，但要注意的是：在否定结论之前一定要搞清楚结论自身的情况，找到结论的全部相反可能，对于相反结论是多个的，一定要一一列举出来，做到不重不漏。推出矛盾。即从假设的结论出发，通过推理论证得出矛盾，在此推导过程中，通常出现的矛盾形式有：与已知条件、定义、定理、公理或与假设自行矛盾中的至少一种。学生要根据问题本身的具体情况决定与哪种情形相矛盾。肯定结论。由矛盾判断出假设结论不成立，即原命题结论成立。在此过程中，我们也可先对条件做一些适当的变形，然后得到一些新的条件关系，再对此结论进行否定，推出矛盾，进而得到原结论成立。
在使用反证法证明命题的过程中，并不一定每一步都要用到反证法，也可能只是其中的某一步或者某几步使用到了此方法。假设结论不成立是反证法的第一步，也是打开解题思路的“钥匙”所在，因此，能对结论进行正确否定是反证法合理使用的最直接、最有利的因素，推出矛盾是反证法的核心任务，也是整个证明过程的难点所在，这就需要使用者对公式、定理及公理的广泛了解并能够灵活运用。
四、反证法在高等数学中的应用
反证法包括归谬法和列举法。归谬法就是结论的否定只有一种情况，当使用者在对结论进行否定后，通过推出矛盾进而得到原命题成立的方法;而列举法就需要使用者对结论的反面的所有可能情况都要一一列举出来，通过逐一推出矛盾，进而得到原命题成立的方法。在高等数学的实际证明中，当我们感到有些命题不容易去证明或者从正面根本证明不出来而无从下手时，就要想到我们曾经学习过的反证法，通过使用反证法可能会让使用者收到意想不到的效果，从而使得命题得以证明。在目前的高等数学中，有些命题除了使用反证法证明外，还没有其他合适的方法给与证明。
例1.证明：若[f]在 [a，b]上连续，且[f（x）?0]，[abf（x）dx=0]，则[f（x）=0]，[x?a，b]。
注：性质1：[f]在[a，b]上可积的充要条件为：[?c?（a，b）]，[f]在[a，c]和[c，b]上都可积。即[abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx].
性质2：设[f]是[a，b]上的可积函数，若[f（x）?0]，[x?a，b]，则[abf（x）dx?0].
证明：（归谬法）假设[?x0a，b]，使[f（x）>0]，由连续函数的局部保号性可知：[?x0]的[x0-δ，x0+δ]邻域（当[x0=a或x0=b]时，为左邻域或右邻域），使得[fx?f（x0）2>0]。由性质1和性质2可知：
[abf（x）dx=ax0-δf（x）dx+x0-δx0+δf（x）dx+x0+δbf（x）dx]
[?0+x0-δx0+δf（x0）2dx+0=f（x0）δ>0]，
这与已知[abf（x）dx=0]相矛盾，所以结论[f（x）=0]，[x?a，b]成立。
例2.证明：函数[f（x）=cosx]不能写成关于[x]的多项式的形式。
证明：（列举法）假设[f（x）=cosx]能够写成关于[x]的一个多项式，则[f（x）≠0]，设 [?0（f（x））=n]，则[f（x）]在定义域中至多有[n]个实数根，我们知道，[x=kπ+π2（k?Z）]都是[cosx=0]的根，即[f（x）=cosx=0]有无数多个根，与假设自相矛盾。故假设不成立，原命题成立。
五、结束语
“反证法”作为数学证明中的重要方法之一，在数学各个学科领域的应用都非常普遍，在高等数学这个基础学科中更是如此。但通过实际的教学实践，我发现大部分学生对此方法的了解及使用及其不熟练，甚至遇到一个问题时根本就想不到要证明的命题与此方法有关。因此在以后的教學活动中，作为老师，只有通过增加适当正确的训练，才能使学生更多更好地了解并掌握这种证明方法，进而使学生对相关知识的理解和解题能力有所提升。
参考文献：
[1]孙宗明.数学证明方法[M].兰州：兰州大学出版社，1995.
[2]袁梅，王成理.浅议反证法[J].乐山师范学院学报，2006.
关键词：反证法;高等数学;证明;应用
一、研究背景
数学证明分为直接证明和间接证明。直接证明法就是从条件入手，环环相扣，进而得到结论成立;而当我们遇到的问题从正面出发不容易求解，甚至解决不了的时候，我们就要从问题的反面出发，即从结论的反面入手，通过层层推理论证，得到事物真实的一面。
反证法作为数学证明中的一种间接性的数学方法，学生从中学阶段就开始接触到并使用此方法，其在高等学校数学各个分支的应用都非常广泛，显而易见，其在基础性学科——高等数学中的应用更是如此。反证法的应用及其广泛，但是学生仍对反证法的理解和掌握存在着诸多问题，原因就是反证法需要学生能够对之前所学过的定义、定理、给出的命题及何种情况下使用此方法都必须做出准确的分析和判断。分析和判断的能力就要求学生必须正确地掌握反证法的原理、使用步骤及其在何种情况下使用此方法，进而研究其在高等数学中的应用。
二、反证法的定义
反证法采用逆向思维方式，通过间接地去否定与事物相反的一面，从而得出事物真实的一面。反证法是先反设结论不成立，即原命题的反面成立，然后通过层层递推，推出与已知的定义、定理、公理或假设自相矛盾，从而得到反设结论不成立为假命题，也就是原命题成立。总体来说就是通过证明原命题的否命题为假，进而得到原命题为真的方法即为反证法。
三、应用反证法的步骤
提出假设。即反设结论不成立，但要注意的是：在否定结论之前一定要搞清楚结论自身的情况，找到结论的全部相反可能，对于相反结论是多个的，一定要一一列举出来，做到不重不漏。推出矛盾。即从假设的结论出发，通过推理论证得出矛盾，在此推导过程中，通常出现的矛盾形式有：与已知条件、定义、定理、公理或与假设自行矛盾中的至少一种。学生要根据问题本身的具体情况决定与哪种情形相矛盾。肯定结论。由矛盾判断出假设结论不成立，即原命题结论成立。在此过程中，我们也可先对条件做一些适当的变形，然后得到一些新的条件关系，再对此结论进行否定，推出矛盾，进而得到原结论成立。
在使用反证法证明命题的过程中，并不一定每一步都要用到反证法，也可能只是其中的某一步或者某几步使用到了此方法。假设结论不成立是反证法的第一步，也是打开解题思路的“钥匙”所在，因此，能对结论进行正确否定是反证法合理使用的最直接、最有利的因素，推出矛盾是反证法的核心任务，也是整个证明过程的难点所在，这就需要使用者对公式、定理及公理的广泛了解并能够灵活运用。
四、反证法在高等数学中的应用
反证法包括归谬法和列举法。归谬法就是结论的否定只有一种情况，当使用者在对结论进行否定后，通过推出矛盾进而得到原命题成立的方法;而列举法就需要使用者对结论的反面的所有可能情况都要一一列举出来，通过逐一推出矛盾，进而得到原命题成立的方法。在高等数学的实际证明中，当我们感到有些命题不容易去证明或者从正面根本证明不出来而无从下手时，就要想到我们曾经学习过的反证法，通过使用反证法可能会让使用者收到意想不到的效果，从而使得命题得以证明。在目前的高等数学中，有些命题除了使用反证法证明外，还没有其他合适的方法给与证明。
例1.证明：若[f]在 [a，b]上连续，且[f（x）?0]，[abf（x）dx=0]，则[f（x）=0]，[x?a，b]。
注：性质1：[f]在[a，b]上可积的充要条件为：[?c?（a，b）]，[f]在[a，c]和[c，b]上都可积。即[abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx].
性质2：设[f]是[a，b]上的可积函数，若[f（x）?0]，[x?a，b]，则[abf（x）dx?0].
证明：（归谬法）假设[?x0a，b]，使[f（x）>0]，由连续函数的局部保号性可知：[?x0]的[x0-δ，x0+δ]邻域（当[x0=a或x0=b]时，为左邻域或右邻域），使得[fx?f（x0）2>0]。由性质1和性质2可知：
[abf（x）dx=ax0-δf（x）dx+x0-δx0+δf（x）dx+x0+δbf（x）dx]
[?0+x0-δx0+δf（x0）2dx+0=f（x0）δ>0]，
这与已知[abf（x）dx=0]相矛盾，所以结论[f（x）=0]，[x?a，b]成立。
例2.证明：函数[f（x）=cosx]不能写成关于[x]的多项式的形式。
证明：（列举法）假设[f（x）=cosx]能够写成关于[x]的一个多项式，则[f（x）≠0]，设 [?0（f（x））=n]，则[f（x）]在定义域中至多有[n]个实数根，我们知道，[x=kπ+π2（k?Z）]都是[cosx=0]的根，即[f（x）=cosx=0]有无数多个根，与假设自相矛盾。故假设不成立，原命题成立。
五、结束语
“反证法”作为数学证明中的重要方法之一，在数学各个学科领域的应用都非常普遍，在高等数学这个基础学科中更是如此。但通过实际的教学实践，我发现大部分学生对此方法的了解及使用及其不熟练，甚至遇到一个问题时根本就想不到要证明的命题与此方法有关。因此在以后的教學活动中，作为老师，只有通过增加适当正确的训练，才能使学生更多更好地了解并掌握这种证明方法，进而使学生对相关知识的理解和解题能力有所提升。
参考文献：
[1]孙宗明.数学证明方法[M].兰州：兰州大学出版社，1995.
[2]袁梅，王成理.浅议反证法[J].乐山师范学院学报，2006.