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美国数学家波利亚指出：“数学的创造过程与其他任何知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，得先猜测这个定理的内容，在完全做出详细证明之前，得先推测证明的思路，把观察到的结果加以综合、类比，进行一次又一次的尝试。”猜测是一种创造性的思维方式，是数学理论产生的前提。数学中那些精辟的结论、定理及巧妙的证法的得出，都离不开猜测。在小学数学教学中，鼓励学生大胆猜测，能培养学生丰富的想象力，有助于学生思维能力的提高。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）中明确要求：让学生“通过观察、实验、归纳类比获得数学猜想。”发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。
一、数学猜测的内涵及基本方法
猜测是根据某些已知事物和知识对未知事物及其规律性的似真推断，人们以自身已有的知识为基础，通过对问题的分析、归纳，或将其与有类似关系的特例进行比较、分析，通过判断、推理对问题结果做出估测。数学猜测是人类在探索数学规律时的一种思维策略，是根据已知数学条件和数学原理对未知的量及其关系的似真推断。它具有一定的科学性，又具有很大程度的假定性。数学猜测能力具有多种成分，包括想象能力、直觉能力、逻辑思维能力和一定的经验与技巧，需要通过全面的训练才能获得。具备数学猜测能力是获得数学发现的重要因素。在小学数学教学中，进行数学猜测能力的训练，有利于培养学生的创新能力。
《标准》指出，要通过观察、实验、归纳、类比等方法使学生获得数学猜测，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例。也就是说，猜测作为数学的一项重要思考活动，往往产生于经验、观察、归纳、类比和联想的基础上。
1．观察。观察是一种有目的、有计划且比较持久的高级知觉形态。人们认识事物，获得系统的知识都从观察开始，观察能导致发现。牛顿从树上掉下苹果的现象发现万有引力定律，瑞利发现惰性气体，伦琴发现X射线等等，这些都离不开观察。数学家欧拉说过：“今天已知许多数的性质，大部分是通过观察发现的……只有靠观察才能获得这些知识。”在数学知识的学习过程中，要对学习内容进行猜测、验证、推理与交流，其前提必然是观察。因此，在教学实践中，教师要注意从培养学生的观察能力入手，提高学生的猜测能力，要求学生在观察时做到“四要”：一要认真细致；二要有序有向；三要全面深刻；四要有静有动。比如，在教学“圆的周长”时，可先让学生在钉子板上围出三角形、四边形、平行四边形、五边形等，并计算出各种图形的边长总和，再让学生观察这些图形，猜一猜各图形之间的关系，再用计算结果进行验证。
2．归纳。归纳是指从一般性较小的前提推出一般性较大的结论，是从特殊到一般的推理。在小学数学教学中，如果设计一些探究思考练习，训练学生运用归纳推理的方法，就可以提高学生的归纳猜想能力。比如，一个任意五边形，它的内角和是多少度?能猜出任意n边凸多边形内角和的度数吗?解决第一个问题需要用转化的方法，把五边形分割成三个三角形，利用三角形内角和是180°来求出五边形的内角和为180°×3=540°。第二个问题则需要举例，引导学生归纳：
多边形边数 分成的三角形个数 多边形内角和度数
4 2 180°×2
5 3 180°×3
6 4 180°×4
这样学生就易于猜测出n边凸多边形的内角和应为180°×（n-2）。
3．类比。类比来源于相似，是从特殊性的前提推出特殊性的结论，或者从一般性的前提推出一般性的结论。类比猜测是依据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，猜测它们在其他方面也可能相似或相同。在分析探索问题的过程中，运用类比，能够调动学生已有的解决相似问题的策略，将新问题纳入到已有的“模式”中去，引发“顿悟”，找到解决问题的方法。比如，“工程问题”中三个数量的关系是“工作效率×工作时间=工作总量”，而“行程问题”中的三个数量也有类似的关系：速度×时间=路程。因此，工程问题的解法可以类推到行程问题中去，同时，在小学数学中也存在很多可以类比思考的内容，比如，万以内加减法与百以内加减法的计算方法相似、乘法的交换律和结合律与加法的交换律和结合律的结构相似、比的基本性质与分数基本性质的内容相似……类比思想促进了知识的迁移，不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得自然简洁，从而发展了学生的数学能力。
在运用类比进行猜测时要注意：两类事物的共同属性越多，共同属性与推出属性之间的关系越密切，得到的结论的可靠性就越高。所以，运用类比时，应引导学生尽可能找出两类事物的共同属性，再据此去推测他们未知的共同属性。
4．联想。联想是发散式的思维，是由一事物想到另一事物的心理过程，不同联系的事物反映在人脑中，会形成不同的联想。苏联教育心理学家克鲁捷茨基认为，数学能力就是用数学材料去形成概括的、简缩的、灵活的、可逆的联想和联想系统的能力。发展联想能力，能使学生进一步理解数量关系，促进思维的灵活性。比如，教学“梯形面积计算”时，可以引导学生联想已经学过的三角形面积公式的推导方法，让学生把梯形转化成已经学过的平行四边形来计算它的面积，得出梯形面积计算公式。
二、培养小学生数学猜测能力的策略
在小学数学教学中，概念的得出，公式、定理的发现，规律的探求，解决问题的方法等，都可以引导学生进行猜测。教师应开发课程资源，既可以将课本上的概念、公式、例题、习题等编成需要猜想的探索性题目，又可以将一些规律探索题进行多种“变形”，为学生提供猜测的空间，挖掘发展学生猜测能力的因素，引导学生由单一思维向多向思维发展。
1．积累猜测经验。直觉猜测能力与经验的丰富程度呈正相关关系。爱因斯坦认为，“物理学家的最高使命是要得到那些普遍的定律”，而“要通向这些定律，并没有逻辑的道路，只有通过那种以经验的共鸣的理解为依据的直觉，才能得到这些定律”。当代著名科学家波普尔也认为“科学奠基于经验之上”，“直觉依赖于过去得到的经验”。所以，要发展小学生的数学猜测能力，首先应该注意学生数学猜测经验的积累，教师在教学中既要引导学生运用猜测参与知识建立的过程，又要及时复习总结，优化认知结构，为培养学生的数学直觉猜测能力打下坚实的基础。
2．创设猜测情境。创设情境，让学生感受猜测的魅力。比如，在学习“三角形的内角和”时，让学生利用两个完全一样的直角三角形拼成长方形等方法，得出直角三角形的内角和为180°，然后及时引导学生猜测锐角三角形和钝角三角形的内角和度数。这样不失时机的创设情境引导学生进行猜测，不但可以充分调动学生的思维，使其思维处于兴奋状态，还可使学生在猜测的过程中逐步勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学知识的内容。
创设情境首先需要营造民主、平等的教学氛围，让学生敢于猜测；教师可以在教学中开展“课外讲座”、“学习园地”等活动，介绍一些数学发展史或数学家进行猜测的故事。比如，认识神奇的数学预言家——拉玛努贾：了解“费尔马大定理”；学习数的整除时，介绍“歌德巴赫猜想”的有关内容……这些数学历史知识能够激发学生进行猜测的欲望，鼓舞学生大胆探索，养成良好的猜测意识和习惯。
3．提供猜测机会。现代教学论认为，从培养学生探究问题的能力这一角度来说，提出猜测、树立假设比验证结论更加重要，在数学学习过程中，使学生成为知识的发现者远比成为知识的接受者重要。传统教材中的内容多为机械的理论表述，没有留给学生进行猜测的空间。对其中一些易于在生活中发现的数学理论，教师应深入钻研，挖掘其中适合进行猜测的内容，让学生有探索、发现的机会。
（1）利用教材中已有的素材，改变其陈述方式。比如，学习“分与合”时可以设计猜数游戏：一个数是由3和6组成的，它是几?一个数可以分成3和3，它是几?这样可以引发学生猜测的兴趣，同时也训练了学生的逆向思维能力。
（2）将教材中理论化的知识有意识地还原，变成可猜测的内容。比如，教学“有余数的除法”时，对于余数能否比除数大的问题，可以让学生猜测。学生已有对除法的初步认识，知道余数如果比除数大，就可以再分一份。学生运用已有的知识来证明新的理论，远比教师反复强调有效得多。
（3）适当改编教材的呈现方式和顺序，拓展猜测的空间。比如，学习“乘法的交换律和结合律”时，一般是通过大量的练习，引导学生发现其中的规律。这样虽然有利于学生分析能力的培养，却使得他们仍是被动地接受知识。而如果在课堂上直接提出问题：乘法里面有没有交换律和结合律?学生便会立刻产生兴趣，开始猜测：如果有，该怎样证明；如果没有，两个乘数交换位置积没变又怎样解释。在短短一堂课的时间里，不仅完成了教学内容，而且让学生拥有了利用数学语言清楚地阐明自己观点的空间，从而大大提高了课堂教学效果。
4．加强猜测训练。猜测训练应从低年级着手。刚入学的儿童好奇心很强，教师要小心呵护、利用这种好奇心，采用多种生动活泼的形式加强猜测训练，比如，猜数字、猜大小等游戏。引导他们通过猜测去了解知识，使他们渐渐养成爱猜测的习惯。需要注意的是，刚开始进行猜测训练时，教师可以带领学生进行猜测，通过一段时间的训练后，教师必须让学生独立进行猜测，用自己已有的知识和经验对猜测进行论证，从而提高猜测能力，活跃思维，形成创新意识和创造能力。
作者单位
南京师范大学教育科学学院
◇责任编辑：曹文◇
一、数学猜测的内涵及基本方法
猜测是根据某些已知事物和知识对未知事物及其规律性的似真推断，人们以自身已有的知识为基础，通过对问题的分析、归纳，或将其与有类似关系的特例进行比较、分析，通过判断、推理对问题结果做出估测。数学猜测是人类在探索数学规律时的一种思维策略，是根据已知数学条件和数学原理对未知的量及其关系的似真推断。它具有一定的科学性，又具有很大程度的假定性。数学猜测能力具有多种成分，包括想象能力、直觉能力、逻辑思维能力和一定的经验与技巧，需要通过全面的训练才能获得。具备数学猜测能力是获得数学发现的重要因素。在小学数学教学中，进行数学猜测能力的训练，有利于培养学生的创新能力。
《标准》指出，要通过观察、实验、归纳、类比等方法使学生获得数学猜测，并进一步寻求证据，给出证明或举出反例。也就是说，猜测作为数学的一项重要思考活动，往往产生于经验、观察、归纳、类比和联想的基础上。
1．观察。观察是一种有目的、有计划且比较持久的高级知觉形态。人们认识事物，获得系统的知识都从观察开始，观察能导致发现。牛顿从树上掉下苹果的现象发现万有引力定律，瑞利发现惰性气体，伦琴发现X射线等等，这些都离不开观察。数学家欧拉说过：“今天已知许多数的性质，大部分是通过观察发现的……只有靠观察才能获得这些知识。”在数学知识的学习过程中，要对学习内容进行猜测、验证、推理与交流，其前提必然是观察。因此，在教学实践中，教师要注意从培养学生的观察能力入手，提高学生的猜测能力，要求学生在观察时做到“四要”：一要认真细致；二要有序有向；三要全面深刻；四要有静有动。比如，在教学“圆的周长”时，可先让学生在钉子板上围出三角形、四边形、平行四边形、五边形等，并计算出各种图形的边长总和，再让学生观察这些图形，猜一猜各图形之间的关系，再用计算结果进行验证。
2．归纳。归纳是指从一般性较小的前提推出一般性较大的结论，是从特殊到一般的推理。在小学数学教学中，如果设计一些探究思考练习，训练学生运用归纳推理的方法，就可以提高学生的归纳猜想能力。比如，一个任意五边形，它的内角和是多少度?能猜出任意n边凸多边形内角和的度数吗?解决第一个问题需要用转化的方法，把五边形分割成三个三角形，利用三角形内角和是180°来求出五边形的内角和为180°×3=540°。第二个问题则需要举例，引导学生归纳：
多边形边数 分成的三角形个数 多边形内角和度数
4 2 180°×2
5 3 180°×3
6 4 180°×4
这样学生就易于猜测出n边凸多边形的内角和应为180°×（n-2）。
3．类比。类比来源于相似，是从特殊性的前提推出特殊性的结论，或者从一般性的前提推出一般性的结论。类比猜测是依据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，猜测它们在其他方面也可能相似或相同。在分析探索问题的过程中，运用类比，能够调动学生已有的解决相似问题的策略，将新问题纳入到已有的“模式”中去，引发“顿悟”，找到解决问题的方法。比如，“工程问题”中三个数量的关系是“工作效率×工作时间=工作总量”，而“行程问题”中的三个数量也有类似的关系：速度×时间=路程。因此，工程问题的解法可以类推到行程问题中去，同时，在小学数学中也存在很多可以类比思考的内容，比如，万以内加减法与百以内加减法的计算方法相似、乘法的交换律和结合律与加法的交换律和结合律的结构相似、比的基本性质与分数基本性质的内容相似……类比思想促进了知识的迁移，不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得自然简洁，从而发展了学生的数学能力。
在运用类比进行猜测时要注意：两类事物的共同属性越多，共同属性与推出属性之间的关系越密切，得到的结论的可靠性就越高。所以，运用类比时，应引导学生尽可能找出两类事物的共同属性，再据此去推测他们未知的共同属性。
4．联想。联想是发散式的思维，是由一事物想到另一事物的心理过程，不同联系的事物反映在人脑中，会形成不同的联想。苏联教育心理学家克鲁捷茨基认为，数学能力就是用数学材料去形成概括的、简缩的、灵活的、可逆的联想和联想系统的能力。发展联想能力，能使学生进一步理解数量关系，促进思维的灵活性。比如，教学“梯形面积计算”时，可以引导学生联想已经学过的三角形面积公式的推导方法，让学生把梯形转化成已经学过的平行四边形来计算它的面积，得出梯形面积计算公式。
二、培养小学生数学猜测能力的策略
在小学数学教学中，概念的得出，公式、定理的发现，规律的探求，解决问题的方法等，都可以引导学生进行猜测。教师应开发课程资源，既可以将课本上的概念、公式、例题、习题等编成需要猜想的探索性题目，又可以将一些规律探索题进行多种“变形”，为学生提供猜测的空间，挖掘发展学生猜测能力的因素，引导学生由单一思维向多向思维发展。
1．积累猜测经验。直觉猜测能力与经验的丰富程度呈正相关关系。爱因斯坦认为，“物理学家的最高使命是要得到那些普遍的定律”，而“要通向这些定律，并没有逻辑的道路，只有通过那种以经验的共鸣的理解为依据的直觉，才能得到这些定律”。当代著名科学家波普尔也认为“科学奠基于经验之上”，“直觉依赖于过去得到的经验”。所以，要发展小学生的数学猜测能力，首先应该注意学生数学猜测经验的积累，教师在教学中既要引导学生运用猜测参与知识建立的过程，又要及时复习总结，优化认知结构，为培养学生的数学直觉猜测能力打下坚实的基础。
2．创设猜测情境。创设情境，让学生感受猜测的魅力。比如，在学习“三角形的内角和”时，让学生利用两个完全一样的直角三角形拼成长方形等方法，得出直角三角形的内角和为180°，然后及时引导学生猜测锐角三角形和钝角三角形的内角和度数。这样不失时机的创设情境引导学生进行猜测，不但可以充分调动学生的思维，使其思维处于兴奋状态，还可使学生在猜测的过程中逐步勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学知识的内容。
创设情境首先需要营造民主、平等的教学氛围，让学生敢于猜测；教师可以在教学中开展“课外讲座”、“学习园地”等活动，介绍一些数学发展史或数学家进行猜测的故事。比如，认识神奇的数学预言家——拉玛努贾：了解“费尔马大定理”；学习数的整除时，介绍“歌德巴赫猜想”的有关内容……这些数学历史知识能够激发学生进行猜测的欲望，鼓舞学生大胆探索，养成良好的猜测意识和习惯。
3．提供猜测机会。现代教学论认为，从培养学生探究问题的能力这一角度来说，提出猜测、树立假设比验证结论更加重要，在数学学习过程中，使学生成为知识的发现者远比成为知识的接受者重要。传统教材中的内容多为机械的理论表述，没有留给学生进行猜测的空间。对其中一些易于在生活中发现的数学理论，教师应深入钻研，挖掘其中适合进行猜测的内容，让学生有探索、发现的机会。
（1）利用教材中已有的素材，改变其陈述方式。比如，学习“分与合”时可以设计猜数游戏：一个数是由3和6组成的，它是几?一个数可以分成3和3，它是几?这样可以引发学生猜测的兴趣，同时也训练了学生的逆向思维能力。
（2）将教材中理论化的知识有意识地还原，变成可猜测的内容。比如，教学“有余数的除法”时，对于余数能否比除数大的问题，可以让学生猜测。学生已有对除法的初步认识，知道余数如果比除数大，就可以再分一份。学生运用已有的知识来证明新的理论，远比教师反复强调有效得多。
（3）适当改编教材的呈现方式和顺序，拓展猜测的空间。比如，学习“乘法的交换律和结合律”时，一般是通过大量的练习，引导学生发现其中的规律。这样虽然有利于学生分析能力的培养，却使得他们仍是被动地接受知识。而如果在课堂上直接提出问题：乘法里面有没有交换律和结合律?学生便会立刻产生兴趣，开始猜测：如果有，该怎样证明；如果没有，两个乘数交换位置积没变又怎样解释。在短短一堂课的时间里，不仅完成了教学内容，而且让学生拥有了利用数学语言清楚地阐明自己观点的空间，从而大大提高了课堂教学效果。
4．加强猜测训练。猜测训练应从低年级着手。刚入学的儿童好奇心很强，教师要小心呵护、利用这种好奇心，采用多种生动活泼的形式加强猜测训练，比如，猜数字、猜大小等游戏。引导他们通过猜测去了解知识，使他们渐渐养成爱猜测的习惯。需要注意的是，刚开始进行猜测训练时，教师可以带领学生进行猜测，通过一段时间的训练后，教师必须让学生独立进行猜测，用自己已有的知识和经验对猜测进行论证，从而提高猜测能力，活跃思维，形成创新意识和创造能力。
作者单位
南京师范大学教育科学学院
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