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摘 要
鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学问题。由于原题中的数据较大，不便于学生进行探究，所以教材以化繁为简的思想为指导，先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让学生探索解决的方法。
【关键词】“鸡兔同笼”;教学;反思
【教学内容】
义务教育课程标准实验教材（人教版）数学六年级上册第112-115页例1。
1 教材分析
鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学问题。由于原题中的数据较大，不便于学生进行探究，所以教材以化繁为简的思想为指导，先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让学生探索解决的方法。教材首先呈现了学生最“朴素”的想法—列表猜测，通过不断地调整、尝试最终找到答案，虽然列表法能帮助学生按顺序寻找出答案，但遇到题目中数据较大时过程会比较繁琐。为了引导学生思考更具有逻辑性和一般性的解法，教材主要呈现了最典型的假设法和列方程的方法。假设法是一种算术方法，是一个假设-计算-推理-解答的过程。通过假设笼子里都是兔或鸡，然后通过计算实际与假设情况下总脚数之差，进而推理出鸡兔的只数。这种方法便于培养学生的逻辑思维能力。而列方程则是一种代数解法，通过假设鸡或兔任何一个量为X，然后根据只数与脚数之间的数量关系列出方程。这种方法具有一般性，数量关系明确便于学生理解，但学生在解方程时会有一定的难度。在掌握上述两种基本解法的基础上教材呼应《孙子算经》上的原题，让学生在解决问题的过程中进一步巩固前面所学的解题方法。
在日常生活中，鸡兔同笼问题有很多的变式，教材的“做一做”中先安排了日本民间流传的龟鹤问题以及租船、植树等实际问题，这些题目均与“鸡兔同笼”本质相同，通过让学生解决这些相关的问题，一方面让学生进一步明确“鸡兔同笼”的问题实质，了解其在生活中的广泛应用，另一方面通过建构此类问题的模型，从而巩固解决问题的方法。
2 教学目标
（1）知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。应用化繁为简的数学思想，通过列表举例、尝试计算等多种方法解决“鸡兔同笼”问题。
（2）过程与方法：应用假设的数学思想，在解题中数形结合，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑推理能力和举一反三能力。
（3）情感、态度与价值观：培养学生的探究意识和同桌合作学习能力，通过自主探索提高解决问题的能力，并激发学生学数学、用数学的兴趣。
【教学重难点】理解运用假设法解“鸡兔同笼”的问题算理，学会用假设法来解“鸡兔同笼”的问题。
【教学准备】PPT课件 练习纸
3 教学过程
3.1 游戏引入，揭示课题。
（1）揭示课题
今天这节课研究的主题是鸡兔同笼。（板书：鸡兔同笼）鸡和兔大家熟悉吗？老师就来考考大家，如果笼子里有一只鸡一只兔，共有几只脚？要是有1只鸡和2只兔共有几只脚呢？共有 10只脚还有可能是几只鸡和几只兔？
（2）出示例1
在动物身上有许多值得研究的数学问题，早在1500年前我国的一本数学著作《孙子算经》中记载着一道趣题，谁能模仿古人的语调来读一读。
课件出示“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
这题是什么意思，谁来翻译一下？
课件出示：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？”
【评析】教学即对文化的传承与弘扬，数学教学也不例外。课初，教师通过游戏抢答的形式吸引学生的注意力，提高学生参与数学活动的兴趣从而切入正题，引出我国古代数学名著中的趣题，让学生感受到了数学文化的悠久与魅力，激发了探究的兴趣和动机，明确了本节课学习的目的与要求。
3.2 表格列举，发现规律
（1）化繁为简
原题中的数据比较大，我们怎么研究方便些呢？把数据改小化繁为简之后再作研究。
课件出示：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”
3.3 分析题意
一起读题，笼子里的鸡和兔带给我们哪些信息？上面数告诉我们鸡兔的总只数，下面数告诉我们鸡兔的总脚数。（板书：总个数8只 总脚数26只）
【评析】由于原题中的数据较大，不便于学生进行探究，所以先渗透化繁为简的思想，从数据简单的题目开始分析研究。
3.4 尝试列表
现在你打算从哪个信息入手研究这个问题？
出示表格，假设全是鸡有16只脚。与实际不符，应该怎么作调整呢？减少鸡的只数，增加兔的只数。还有其它想法吗？假设全是兔共有32只脚，继续调整。要是从中间考虑有什么好处呢？
3.5 寻找答案
同学们你们能不能像我这样，填写表格寻找答案呢？翻开书P113按自己喜欢的方式算一算，找一找。
找到答案了吗？鸡有3只，兔有5只，怎么检验？
3.6 列表法
像刚才这样把可能出现的结果有序地写在表格中去寻找答案，是解决数学问题的常用方法，叫列表法。
【评析】根据现实情况，有很多对数学感兴趣的学生早已接触过这个问题，已经形成了基本的假设思路，在这里教师通过让学生叙述自己的假设方法引出列表法，并初步运用这个方法解决问题，感受列表是一种解决问题的策略。这样既能让绝大部分的学生参与到解题的过程中去，还能进一步培养学生有序思考的习惯。既能培养学生对尝试起点的敏感性，还能加深对假设法的体验。
3.7 寻找规律
要是鸡兔的只数很多很多的时候，再用列表法就太费时了。所以我们要借助表格，找找里面隐含的规律吧！仔细观察你有何发现？先跟你的同桌交流一下。 从左往右看，鸡的只数减少，兔的只数增加，但总数都是8只。
从左往右看，脚的只数增加2只，从右往左看，脚的只数减少2只。
为什么脚数会相差2只呢？（板书：脚数差2只）
3.8 读表假设
假设全是鸡，16只比26只少算10只脚，少算的是谁的脚？说明有5只兔。假设全是兔，32只比26只多算6只脚，多算的是谁的脚？说明鸡有3只。
【评析】列表法是解决问题的策略之一但有其局限性。教学中，教师又通过观察表格引导学生发现规律，为探索新策略奠定了不可缺少的基础;在这里教师既关注了学生解决问题的结果，更关注了学生解决问题的过程与方法，并不断提升学生解决问题的技能技巧。
3.9 自主探索，二种假设
（1）假设列式
我们用列表的方法找到了答案，发现了规律。你通过列式计算的方法表达推理过程，求出鸡兔的只数吗？在练习纸上写一写。做完的同学互相交流想法。（两生板演）
（2）解释算法
先来看看这两位同学的解答，看得懂吗？就请你给大家介绍一下。
假设全部是鸡，先算出8只鸡的脚数2×8=16（条），与实际的脚数相差26-16=10（条）这样就能算出兔的只数，因为把一只兔看成一只鸡会少算两条脚，所以10÷（4-2）=5（只），那么鸡就有8-5=3（只）
你们能听懂他的意思吗？谁能再来解释一下。
那么换个角度还可以怎样想呢？
假设全部是兔，先算出8只兔的脚数4×8=32（条），与实际的脚数相差32-26=6（条）这样就能算出鸡的只数，因为把一只鸡看成一只兔会多算两条脚，所以6÷（4-2）=3（只），那么兔就有8-3=5（只）
大家对他的解释满意吗？同桌互相说一说。
（3）画图解说
我们也可以结合画图法进行解说，如果把笼子里的兔子都看成鸡的话，兔子们要立正提起两条前脚，同学们做一下这个动作，下面数一共有16条脚落地，与实际脚数相差的“10”条，就是兔子们的前脚，所以有5只兔。
要是把笼子里的鸡都看成兔的话，不妨把两个鸡翅膀也看成鸡脚，现在一共有32条脚，与实际脚数相差的“6”表示什么呢？所以有3只鸡。
（4）比较算法
通过大家的共同研究，我们在列表法的基础上发现了脚的关系，推导出了用假设法解决鸡兔同笼的问题。（板书：假设法）比较这两种列式有什么相似之处？
【评析】让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。为此，教师以表格中数据变化规律为探究基础，让学生尝试独立列式，解释表示算式的意义，再配以课件动态演示生动形象的解说，巧妙地将认知经验和思维过程转化成了数学算式，从而形成了解决鸡兔问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。
（5）其它方法
你们还有其他解决方法吗？（板书：方程法）等量关系是什么？方程怎么列？（板书：解：设兔有X只，那么鸡有（8-X）只。4X+2（8-X）=26）一起来解这个方程。方程的方法思路清晰，易于理解，但在解方程的过程中会有点难度，我们下节课再作研究。
【评析】代数法是学生在五年级已学的旧方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。这种方法具有一般性，数量关系明确便于学生理解，但学生在解方程时会有一定的难度，因此本节课不作深入研究。
3.10 比较梳理，优化策略
（1）比较优化
回顾一下，解决这个问题时我们用到了哪些方法？解决鸡兔同笼问题的途径有很多，其中假设法和列方程就具有一般性，今天我们重点来研究如何用假设法来解决鸡兔同笼问题。
（2）解答古题
回过头来看，你能用假设法解答这道古题吗？做好的同学互相说一说想法。
为什么假设全是鸡，求出的却是兔的只数？
（3）相似之处
比较这两种假设法，都是把两种动物转化成一种来研究，都利用了同一条规律，每调换一只鸡或兔总相差两只脚，我们就是抓住了脚数的变化进行调整，从而得出答案的。
（4）阅读资料
古人在解答时也有妙招，请听介绍。话外音：
（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有94÷2=47只脚。
（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。
（3）这时脚的总数与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
古人的这一思路很独特，叫做减半法。其实也是一种假设，所以我们在做题时思维方式一定要灵活多变，不能墨守成规。
【评析】在计算教学中，需要算法多样化，更需要算法的优化;同样，在解决问题教学中，需要策略多样化，更需要策略的优化。发散思维与收敛思维应该兼顾并进。但优化并不等于强加，优化也强调自主和需要过程。在这里，教师对此都恰到好处地予以了关照拓展，让学生充分感受假设法的灵活性。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
3.11 推广应用，形成技能
（1）小试牛刀
鸡兔同笼问题传到日本就变成了龟鹤问题，有相似之处吗？再演变一下成为生活中的租船问题，你们能用假设法来解决这两个问题吗？
（1）池塘边有龟和鹤共40只，龟的脚和鹤的脚共112条。龟有几只？
（2）全班一共有45人，共租了6条船，大船每条坐10人，小船每条坐5人，每条船都坐满了。小船租了几条？ （2）方法指导
做好的同学记得把得数代入条件验证一下。实物投影展示学生的算式，重点解释算术解的每步算理。我们既要注意解答的格式，还要养成检验的好习惯。
（3）建构模型
回想一下，鸡兔同笼、龟鹤同游、租船问题，它们的本质是相同的，鸡兔同笼问题就像是一个模型，代表着这种类型的问题，这就是它独有的魅力。
（4）大家一起猜
接下来我们轻松一下，大家一起猜。先看第一条信息 “零钱包内有1元和5角的硬币共14枚，”钱数在哪个范围内？
你还需要知道什么信息？出示第二条信息“总计有10元。1元和5角各有多少枚？”
谁猜出来了，怎么想的？就请你数一数，对吗？
（5）火眼金睛
同学们做得真不错，下面我们增加点难度。
课件出示“张明参加学校数学竞赛，共有20道题，每答对一道题加5分，每答错或不答则扣2分，结果张明得了79分。张明答错了多少道题？”
A、（5×20-79）÷（5-2） B、（5×20-79）÷（5+2）
哪种方法是正确的？独立思考十五秒。选A起立，选B起立，两种都有，那你们就辩论辩论吧！为什么要加2而不是减2？
【评析】拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。配合“鸡兔同笼”问题，教师在练习中安排了的一些习题，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，建构模型并巩固用假设法来解决这类问题。
3.12 反思总结，类化知识
（1）全课小结
同学们今天这节课我们学习了什么？你学会了什么？
（2）教师总结
我们今天是从一个有趣的问题出发，研究解决它的方法，把它作为一种模型，然后去进行广泛地应用。数学就在这种建模的过程中发展起来的，同样我们要想学好数学，就要学会举一反三，触类旁通，这样你就能体会到学习数学的快乐。（板书：问题-方法-模型-应用）
（3）谈古论今
今天的课既然是从古题开始那么就从古题结尾吧！课后去思考一下，你又能发现什么好方法？
课件出示：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？
【评析】最后的一题也可根据题意“大和尚一人吃3个，小和尚3人吃1个，知道1个大和尚和3个小和尚一共吃4个馒头，也就是每4个馒头分给1个大和尚和3个小和尚，所以把100个馒头每4个一组，分成25组，在每组中必有一个大和尚和1个小和尚，这样就可以找到答案了。
4 课后反思
《鸡兔同笼》这节课向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论，应用列举法、假设法、方程等方法，从多角度思考，运用多种方法解题，使学生在具体情境中，根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，并在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。
在课前我对试教班级进行调查，发现这一内容多数学生在课外学习中已经略有接触，能想到用假设法来解决问题，但学生往往对自己列的算式不能作出合理的解释。虽然书上介绍了运用多种方法来解决“鸡兔同笼”问题，但课堂的教学时间有限，列方程的方法虽然理解方便，但解方程对孩子来说有点儿难度，所以我对这节课的教学定位是---运用列表法发现规律，借助画图法理解假设法解“鸡兔同笼”的问题算理，学会用假设法来解 “鸡兔同笼”的问题。
课始从古代趣题引入，先研究同类型数据较小的情况，渗透一种化繁为简的数学思想，让学生根据条件中的数据进行猜测，从鸡多兔少，鸡少兔多，鸡兔各半的角度去思考，通过列表找出答案，共同经历了三种不同的列表方法：逐一列表法、跳跃式列表法、取中列表法。再通过观察表格发现其中隐含的规律：“总只数不变的前提下，把1只鸡看成1只兔，多算2只脚;把1只兔看成了1只鸡，少算2只脚。”这条规律也是用假设法列式思考的基础。然后再让学生利用发现的规律，独立列式解答，在汇报中结合多媒体的演示（画图法），生动形象的语言，再配合学生的肢体动作，来帮助学生弄懂假设法的基本解题思路。同时也让学生理解了，假设全是兔，为什么求得是鸡只数的原因。因为把一只鸡看成一只兔多算了两只脚，多算的脚数÷脚的差数=鸡的只数，同理，如果假设全是鸡，求得的就是兔的只数。在小结时，让学生感受到解决鸡兔同笼问题的三种常用方法：列表法、假设法、方程法。其中假设法方程法具有一般性，不受数据大小的影响，是最常用的方法，方程的优点是数量关系明确易于理解，缺点是解方程有一定的难度。所以这节课重点研究用假设法来解决问题。在学生理解的基础上，再次尝试着解决数据较大的古题。通过比较两个不同角度的假设算式，揭示出假设法解题的关键：每调换一只鸡或兔，脚数总相差两只。在练习设计中，我选择了龟鹤问题、租船问题等有代表性的题型，让学生感受到鸡兔同笼问题就像是一个模型，代表着这种类型的问题，感受到它独有的魅力。把它作为一个模型，通过举一反三，进行广泛应用。
本节课堂上，我注重关注每一个同学的发展，在交流探讨中，鼓励不同学生采用不同的解题方法。在问题得到解决的同时体验到了成功的喜悦，感受到数学知识的价值和数学学习的乐趣。但在教学时间的控制上还略显紧张，一些细节的处理还需要再做些微调。总体的效果还不错，实现了重点假设法解决问题的目的。
作者单位
江西省南康市第二小学 江西省南康市 341400
鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学问题。由于原题中的数据较大，不便于学生进行探究，所以教材以化繁为简的思想为指导，先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让学生探索解决的方法。
【关键词】“鸡兔同笼”;教学;反思
【教学内容】
义务教育课程标准实验教材（人教版）数学六年级上册第112-115页例1。
1 教材分析
鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学问题。由于原题中的数据较大，不便于学生进行探究，所以教材以化繁为简的思想为指导，先在例1中安排一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让学生探索解决的方法。教材首先呈现了学生最“朴素”的想法—列表猜测，通过不断地调整、尝试最终找到答案，虽然列表法能帮助学生按顺序寻找出答案，但遇到题目中数据较大时过程会比较繁琐。为了引导学生思考更具有逻辑性和一般性的解法，教材主要呈现了最典型的假设法和列方程的方法。假设法是一种算术方法，是一个假设-计算-推理-解答的过程。通过假设笼子里都是兔或鸡，然后通过计算实际与假设情况下总脚数之差，进而推理出鸡兔的只数。这种方法便于培养学生的逻辑思维能力。而列方程则是一种代数解法，通过假设鸡或兔任何一个量为X，然后根据只数与脚数之间的数量关系列出方程。这种方法具有一般性，数量关系明确便于学生理解，但学生在解方程时会有一定的难度。在掌握上述两种基本解法的基础上教材呼应《孙子算经》上的原题，让学生在解决问题的过程中进一步巩固前面所学的解题方法。
在日常生活中，鸡兔同笼问题有很多的变式，教材的“做一做”中先安排了日本民间流传的龟鹤问题以及租船、植树等实际问题，这些题目均与“鸡兔同笼”本质相同，通过让学生解决这些相关的问题，一方面让学生进一步明确“鸡兔同笼”的问题实质，了解其在生活中的广泛应用，另一方面通过建构此类问题的模型，从而巩固解决问题的方法。
2 教学目标
（1）知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。应用化繁为简的数学思想，通过列表举例、尝试计算等多种方法解决“鸡兔同笼”问题。
（2）过程与方法：应用假设的数学思想，在解题中数形结合，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑推理能力和举一反三能力。
（3）情感、态度与价值观：培养学生的探究意识和同桌合作学习能力，通过自主探索提高解决问题的能力，并激发学生学数学、用数学的兴趣。
【教学重难点】理解运用假设法解“鸡兔同笼”的问题算理，学会用假设法来解“鸡兔同笼”的问题。
【教学准备】PPT课件 练习纸
3 教学过程
3.1 游戏引入，揭示课题。
（1）揭示课题
今天这节课研究的主题是鸡兔同笼。（板书：鸡兔同笼）鸡和兔大家熟悉吗？老师就来考考大家，如果笼子里有一只鸡一只兔，共有几只脚？要是有1只鸡和2只兔共有几只脚呢？共有 10只脚还有可能是几只鸡和几只兔？
（2）出示例1
在动物身上有许多值得研究的数学问题，早在1500年前我国的一本数学著作《孙子算经》中记载着一道趣题，谁能模仿古人的语调来读一读。
课件出示“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
这题是什么意思，谁来翻译一下？
课件出示：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有多少只？”
【评析】教学即对文化的传承与弘扬，数学教学也不例外。课初，教师通过游戏抢答的形式吸引学生的注意力，提高学生参与数学活动的兴趣从而切入正题，引出我国古代数学名著中的趣题，让学生感受到了数学文化的悠久与魅力，激发了探究的兴趣和动机，明确了本节课学习的目的与要求。
3.2 表格列举，发现规律
（1）化繁为简
原题中的数据比较大，我们怎么研究方便些呢？把数据改小化繁为简之后再作研究。
课件出示：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”
3.3 分析题意
一起读题，笼子里的鸡和兔带给我们哪些信息？上面数告诉我们鸡兔的总只数，下面数告诉我们鸡兔的总脚数。（板书：总个数8只 总脚数26只）
【评析】由于原题中的数据较大，不便于学生进行探究，所以先渗透化繁为简的思想，从数据简单的题目开始分析研究。
3.4 尝试列表
现在你打算从哪个信息入手研究这个问题？
出示表格，假设全是鸡有16只脚。与实际不符，应该怎么作调整呢？减少鸡的只数，增加兔的只数。还有其它想法吗？假设全是兔共有32只脚，继续调整。要是从中间考虑有什么好处呢？
3.5 寻找答案
同学们你们能不能像我这样，填写表格寻找答案呢？翻开书P113按自己喜欢的方式算一算，找一找。
找到答案了吗？鸡有3只，兔有5只，怎么检验？
3.6 列表法
像刚才这样把可能出现的结果有序地写在表格中去寻找答案，是解决数学问题的常用方法，叫列表法。
【评析】根据现实情况，有很多对数学感兴趣的学生早已接触过这个问题，已经形成了基本的假设思路，在这里教师通过让学生叙述自己的假设方法引出列表法，并初步运用这个方法解决问题，感受列表是一种解决问题的策略。这样既能让绝大部分的学生参与到解题的过程中去，还能进一步培养学生有序思考的习惯。既能培养学生对尝试起点的敏感性，还能加深对假设法的体验。
3.7 寻找规律
要是鸡兔的只数很多很多的时候，再用列表法就太费时了。所以我们要借助表格，找找里面隐含的规律吧！仔细观察你有何发现？先跟你的同桌交流一下。 从左往右看，鸡的只数减少，兔的只数增加，但总数都是8只。
从左往右看，脚的只数增加2只，从右往左看，脚的只数减少2只。
为什么脚数会相差2只呢？（板书：脚数差2只）
3.8 读表假设
假设全是鸡，16只比26只少算10只脚，少算的是谁的脚？说明有5只兔。假设全是兔，32只比26只多算6只脚，多算的是谁的脚？说明鸡有3只。
【评析】列表法是解决问题的策略之一但有其局限性。教学中，教师又通过观察表格引导学生发现规律，为探索新策略奠定了不可缺少的基础;在这里教师既关注了学生解决问题的结果，更关注了学生解决问题的过程与方法，并不断提升学生解决问题的技能技巧。
3.9 自主探索，二种假设
（1）假设列式
我们用列表的方法找到了答案，发现了规律。你通过列式计算的方法表达推理过程，求出鸡兔的只数吗？在练习纸上写一写。做完的同学互相交流想法。（两生板演）
（2）解释算法
先来看看这两位同学的解答，看得懂吗？就请你给大家介绍一下。
假设全部是鸡，先算出8只鸡的脚数2×8=16（条），与实际的脚数相差26-16=10（条）这样就能算出兔的只数，因为把一只兔看成一只鸡会少算两条脚，所以10÷（4-2）=5（只），那么鸡就有8-5=3（只）
你们能听懂他的意思吗？谁能再来解释一下。
那么换个角度还可以怎样想呢？
假设全部是兔，先算出8只兔的脚数4×8=32（条），与实际的脚数相差32-26=6（条）这样就能算出鸡的只数，因为把一只鸡看成一只兔会多算两条脚，所以6÷（4-2）=3（只），那么兔就有8-3=5（只）
大家对他的解释满意吗？同桌互相说一说。
（3）画图解说
我们也可以结合画图法进行解说，如果把笼子里的兔子都看成鸡的话，兔子们要立正提起两条前脚，同学们做一下这个动作，下面数一共有16条脚落地，与实际脚数相差的“10”条，就是兔子们的前脚，所以有5只兔。
要是把笼子里的鸡都看成兔的话，不妨把两个鸡翅膀也看成鸡脚，现在一共有32条脚，与实际脚数相差的“6”表示什么呢？所以有3只鸡。
（4）比较算法
通过大家的共同研究，我们在列表法的基础上发现了脚的关系，推导出了用假设法解决鸡兔同笼的问题。（板书：假设法）比较这两种列式有什么相似之处？
【评析】让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。为此，教师以表格中数据变化规律为探究基础，让学生尝试独立列式，解释表示算式的意义，再配以课件动态演示生动形象的解说，巧妙地将认知经验和思维过程转化成了数学算式，从而形成了解决鸡兔问题的全新的一般策略，发展了学生的思维水平和推理能力。
（5）其它方法
你们还有其他解决方法吗？（板书：方程法）等量关系是什么？方程怎么列？（板书：解：设兔有X只，那么鸡有（8-X）只。4X+2（8-X）=26）一起来解这个方程。方程的方法思路清晰，易于理解，但在解方程的过程中会有点难度，我们下节课再作研究。
【评析】代数法是学生在五年级已学的旧方法，但运用到解决鸡兔同笼问题之中又是新策略。这种方法具有一般性，数量关系明确便于学生理解，但学生在解方程时会有一定的难度，因此本节课不作深入研究。
3.10 比较梳理，优化策略
（1）比较优化
回顾一下，解决这个问题时我们用到了哪些方法？解决鸡兔同笼问题的途径有很多，其中假设法和列方程就具有一般性，今天我们重点来研究如何用假设法来解决鸡兔同笼问题。
（2）解答古题
回过头来看，你能用假设法解答这道古题吗？做好的同学互相说一说想法。
为什么假设全是鸡，求出的却是兔的只数？
（3）相似之处
比较这两种假设法，都是把两种动物转化成一种来研究，都利用了同一条规律，每调换一只鸡或兔总相差两只脚，我们就是抓住了脚数的变化进行调整，从而得出答案的。
（4）阅读资料
古人在解答时也有妙招，请听介绍。话外音：
（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有94÷2=47只脚。
（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。
（3）这时脚的总数与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
古人的这一思路很独特，叫做减半法。其实也是一种假设，所以我们在做题时思维方式一定要灵活多变，不能墨守成规。
【评析】在计算教学中，需要算法多样化，更需要算法的优化;同样，在解决问题教学中，需要策略多样化，更需要策略的优化。发散思维与收敛思维应该兼顾并进。但优化并不等于强加，优化也强调自主和需要过程。在这里，教师对此都恰到好处地予以了关照拓展，让学生充分感受假设法的灵活性。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
3.11 推广应用，形成技能
（1）小试牛刀
鸡兔同笼问题传到日本就变成了龟鹤问题，有相似之处吗？再演变一下成为生活中的租船问题，你们能用假设法来解决这两个问题吗？
（1）池塘边有龟和鹤共40只，龟的脚和鹤的脚共112条。龟有几只？
（2）全班一共有45人，共租了6条船，大船每条坐10人，小船每条坐5人，每条船都坐满了。小船租了几条？ （2）方法指导
做好的同学记得把得数代入条件验证一下。实物投影展示学生的算式，重点解释算术解的每步算理。我们既要注意解答的格式，还要养成检验的好习惯。
（3）建构模型
回想一下，鸡兔同笼、龟鹤同游、租船问题，它们的本质是相同的，鸡兔同笼问题就像是一个模型，代表着这种类型的问题，这就是它独有的魅力。
（4）大家一起猜
接下来我们轻松一下，大家一起猜。先看第一条信息 “零钱包内有1元和5角的硬币共14枚，”钱数在哪个范围内？
你还需要知道什么信息？出示第二条信息“总计有10元。1元和5角各有多少枚？”
谁猜出来了，怎么想的？就请你数一数，对吗？
（5）火眼金睛
同学们做得真不错，下面我们增加点难度。
课件出示“张明参加学校数学竞赛，共有20道题，每答对一道题加5分，每答错或不答则扣2分，结果张明得了79分。张明答错了多少道题？”
A、（5×20-79）÷（5-2） B、（5×20-79）÷（5+2）
哪种方法是正确的？独立思考十五秒。选A起立，选B起立，两种都有，那你们就辩论辩论吧！为什么要加2而不是减2？
【评析】拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。配合“鸡兔同笼”问题，教师在练习中安排了的一些习题，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用，建构模型并巩固用假设法来解决这类问题。
3.12 反思总结，类化知识
（1）全课小结
同学们今天这节课我们学习了什么？你学会了什么？
（2）教师总结
我们今天是从一个有趣的问题出发，研究解决它的方法，把它作为一种模型，然后去进行广泛地应用。数学就在这种建模的过程中发展起来的，同样我们要想学好数学，就要学会举一反三，触类旁通，这样你就能体会到学习数学的快乐。（板书：问题-方法-模型-应用）
（3）谈古论今
今天的课既然是从古题开始那么就从古题结尾吧！课后去思考一下，你又能发现什么好方法？
课件出示：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？
【评析】最后的一题也可根据题意“大和尚一人吃3个，小和尚3人吃1个，知道1个大和尚和3个小和尚一共吃4个馒头，也就是每4个馒头分给1个大和尚和3个小和尚，所以把100个馒头每4个一组，分成25组，在每组中必有一个大和尚和1个小和尚，这样就可以找到答案了。
4 课后反思
《鸡兔同笼》这节课向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，借助我国古代趣题“鸡兔同笼”问题，使学生展开讨论，应用列举法、假设法、方程等方法，从多角度思考，运用多种方法解题，使学生在具体情境中，根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，并在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。
在课前我对试教班级进行调查，发现这一内容多数学生在课外学习中已经略有接触，能想到用假设法来解决问题，但学生往往对自己列的算式不能作出合理的解释。虽然书上介绍了运用多种方法来解决“鸡兔同笼”问题，但课堂的教学时间有限，列方程的方法虽然理解方便，但解方程对孩子来说有点儿难度，所以我对这节课的教学定位是---运用列表法发现规律，借助画图法理解假设法解“鸡兔同笼”的问题算理，学会用假设法来解 “鸡兔同笼”的问题。
课始从古代趣题引入，先研究同类型数据较小的情况，渗透一种化繁为简的数学思想，让学生根据条件中的数据进行猜测，从鸡多兔少，鸡少兔多，鸡兔各半的角度去思考，通过列表找出答案，共同经历了三种不同的列表方法：逐一列表法、跳跃式列表法、取中列表法。再通过观察表格发现其中隐含的规律：“总只数不变的前提下，把1只鸡看成1只兔，多算2只脚;把1只兔看成了1只鸡，少算2只脚。”这条规律也是用假设法列式思考的基础。然后再让学生利用发现的规律，独立列式解答，在汇报中结合多媒体的演示（画图法），生动形象的语言，再配合学生的肢体动作，来帮助学生弄懂假设法的基本解题思路。同时也让学生理解了，假设全是兔，为什么求得是鸡只数的原因。因为把一只鸡看成一只兔多算了两只脚，多算的脚数÷脚的差数=鸡的只数，同理，如果假设全是鸡，求得的就是兔的只数。在小结时，让学生感受到解决鸡兔同笼问题的三种常用方法：列表法、假设法、方程法。其中假设法方程法具有一般性，不受数据大小的影响，是最常用的方法，方程的优点是数量关系明确易于理解，缺点是解方程有一定的难度。所以这节课重点研究用假设法来解决问题。在学生理解的基础上，再次尝试着解决数据较大的古题。通过比较两个不同角度的假设算式，揭示出假设法解题的关键：每调换一只鸡或兔，脚数总相差两只。在练习设计中，我选择了龟鹤问题、租船问题等有代表性的题型，让学生感受到鸡兔同笼问题就像是一个模型，代表着这种类型的问题，感受到它独有的魅力。把它作为一个模型，通过举一反三，进行广泛应用。
本节课堂上，我注重关注每一个同学的发展，在交流探讨中，鼓励不同学生采用不同的解题方法。在问题得到解决的同时体验到了成功的喜悦，感受到数学知识的价值和数学学习的乐趣。但在教学时间的控制上还略显紧张，一些细节的处理还需要再做些微调。总体的效果还不错，实现了重点假设法解决问题的目的。
作者单位
江西省南康市第二小学 江西省南康市 341400