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摘 要：干摩擦是机械系统中广泛存在的力学行为。它可减小系统在外界激振下的振动响应振幅，起到减震、缓冲的作用。文章对干摩擦力学模型的研究做了简要回顾，对各种干摩擦力学模型的参数识别、响应求解方法等做了系统综述。
关键词：干摩擦力学模型；振动响应；数值方法
中图分类号：TH113 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2011）27－0044－01
机械系统的减震缓冲装置中，近年来广泛出现了一类具有非线性迟滞特性的干摩擦阻尼元件，如钢丝绳、金属橡胶减震器等。该类干摩擦减震装置的使用，大幅降低了振动系统的振幅，是一类有效的被动减震装置。
欲加装具有合适参数的干摩擦减震元件，就必须充分了解干摩擦阻尼的产生机理，建立精确但又计算量可以控制的力学模型，才能更好的指导生产实践，缩短产品的开发周期。为此，国内外的众多学者对干摩擦的力学行为开展了广泛、深入而卓有成效的研究。1931年，Den提出了著名的Coulomb摩擦模型来表示干摩擦，并求得了系统的解析解。1945年，Iwan在他的博士论文中提出了双折线模型来模拟干摩擦，也求得了两自由度振动系统的响应。近年来，出现了Bouc－Wen模型、刷子模型等较为复杂的力学模型，其虽能更精确的表达干摩擦的力学性质，但其振动响应的求解却有相当的难度。
本文针对一机械系统中的干摩擦元件，对以往研究中涉及该类干摩擦元件的建模、数值求解技术、分析方法、参数识别方法等展开综述，系统分析了干摩擦元件在减震降噪装置中的突出作用。
1 干摩擦元件的建模
关于摩擦副间的干摩擦建模，学界已提出了众多的数学模型。其中，具有开创性和代表性的是sgn模型，即库伦摩擦模型。假设一物体在干摩擦交接面上运动，干摩擦总是阻碍物体的运动，因此，干摩擦力的大小不变，方向总与运动方向相反，其变化规律可表示如下：
其中，F为干摩擦阻力的大小， 为物体的运动速度。然而，大量的实验研究表明，物体与干摩擦表面相接触时，物体速度方向的改变并不是突然发生的，而是存在一个过渡过程。由于接触面本身有一定的弹性，在外力的作用下，造成了接触面有一定的弹性变形。当外力的方向改变时，物体的运动方向并没有立刻改变，当外力的大小增大到一定程度，物体与接触面才产生相对位移。
考虑到接触面的弹性性质，Iwan在1961年提出了著名的双折线迟滞模型，该模型将干摩擦阻力看成一根弹簧和一个标准的coulomb摩擦副串联，且能更好的表达干摩擦阻力的非线性性质。
近年来，学术界出现了对双折线迟滞模型的修正，比如，考虑到摩擦系数不是常数的情况，摩擦副间微观滑动、二维滑动等情况，提出了如Bouc－Wen模型、刷子模型、一阶微分方程模型等描述干摩擦的数学模型，但这些模型的求解均有一定的难度。
2 干摩擦模型的数值求解技术
一个含有干摩擦交接副的力学系统，描述其集中质量运动响应的均是微分方程。但由于干摩擦阻力的存在，使得该微分方程有较强的非线性，这给求解带来了不小的难度。
对于库伦摩擦模型的求解，由于存在符号函数sgn，使得方程在速度零点不连续、不可微，可先将sgn函数在零点用Taylor公式展开，忽略高阶小量，再采取数值方法，如IHB方法（增量谐波平衡法）、HB方法（谐波平衡法）、Newmark法等求解。
对于双折线模型的求解，可先求出双折线模型弹——塑——弹的交接点，确定系统运动微分方程分别在弹、塑性区域的分段线性微分方程，再采用Runge－Kutta方法（龙格库塔方法）求解分段线性微分方程，最后将微分方程的解组装成整个时域阶段的解。这一求解方法，相对于含符号函数sgn的库伦摩擦模型求解方法，显得更为清晰明了，对解的计算精度也更好掌握，故有大量的数值算例、结果分析的报道。
3 干摩擦模型的参数识别和响应分析
对于干摩擦力学模型的参数识别，关键是识别出力学模型中的具体物理参数。目前，对众多干摩擦力学模型的参数识别研究中，集中体现在对双折线模型和Bouc－Wen模型的参数识别中。
我国学者胡海岩、李岳峰、白鸿柏、李冬伟分别采用了最小二乘辨识法、能量法、参数分离法等识别了双折线模型的刚度、滑移极限、黏性阻尼系数等参数，均取得了较为满意的效果。
国外很多学者对Bouc－Wen模型的参数识别展开了研究，采用了微分进化优化算法、遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等人工智能方法识别了Bouc－Wen模型的参数。
4 结束语
本文系统论述、报道了干摩擦元件的建模、求解、参数识别方法，不足之处请予指正。
The Mechanical Analysis of Dry Friction Model in Mechanical System
Zhang Cong
Abstract: The dry friction in an mechanical behavior widespreading in mechanical system. It can reduce the vibration response amplitude for the system under external excitation, so as to achieve the shock absorption and cushioning effect. The article makes a brief review on the research of dry friction mechanics model, and a systematic review on the parameters identify and respond solving methods of various dry friction mechanics model.
Key words: dry friction mechanics model; vibration response; numerical methods
关键词：干摩擦力学模型；振动响应；数值方法
中图分类号：TH113 文献标识码：A 文章编号：1000－8136（2011）27－0044－01
机械系统的减震缓冲装置中，近年来广泛出现了一类具有非线性迟滞特性的干摩擦阻尼元件，如钢丝绳、金属橡胶减震器等。该类干摩擦减震装置的使用，大幅降低了振动系统的振幅，是一类有效的被动减震装置。
欲加装具有合适参数的干摩擦减震元件，就必须充分了解干摩擦阻尼的产生机理，建立精确但又计算量可以控制的力学模型，才能更好的指导生产实践，缩短产品的开发周期。为此，国内外的众多学者对干摩擦的力学行为开展了广泛、深入而卓有成效的研究。1931年，Den提出了著名的Coulomb摩擦模型来表示干摩擦，并求得了系统的解析解。1945年，Iwan在他的博士论文中提出了双折线模型来模拟干摩擦，也求得了两自由度振动系统的响应。近年来，出现了Bouc－Wen模型、刷子模型等较为复杂的力学模型，其虽能更精确的表达干摩擦的力学性质，但其振动响应的求解却有相当的难度。
本文针对一机械系统中的干摩擦元件，对以往研究中涉及该类干摩擦元件的建模、数值求解技术、分析方法、参数识别方法等展开综述，系统分析了干摩擦元件在减震降噪装置中的突出作用。
1 干摩擦元件的建模
关于摩擦副间的干摩擦建模，学界已提出了众多的数学模型。其中，具有开创性和代表性的是sgn模型，即库伦摩擦模型。假设一物体在干摩擦交接面上运动，干摩擦总是阻碍物体的运动，因此，干摩擦力的大小不变，方向总与运动方向相反，其变化规律可表示如下：
其中，F为干摩擦阻力的大小， 为物体的运动速度。然而，大量的实验研究表明，物体与干摩擦表面相接触时，物体速度方向的改变并不是突然发生的，而是存在一个过渡过程。由于接触面本身有一定的弹性，在外力的作用下，造成了接触面有一定的弹性变形。当外力的方向改变时，物体的运动方向并没有立刻改变，当外力的大小增大到一定程度，物体与接触面才产生相对位移。
考虑到接触面的弹性性质，Iwan在1961年提出了著名的双折线迟滞模型，该模型将干摩擦阻力看成一根弹簧和一个标准的coulomb摩擦副串联，且能更好的表达干摩擦阻力的非线性性质。
近年来，学术界出现了对双折线迟滞模型的修正，比如，考虑到摩擦系数不是常数的情况，摩擦副间微观滑动、二维滑动等情况，提出了如Bouc－Wen模型、刷子模型、一阶微分方程模型等描述干摩擦的数学模型，但这些模型的求解均有一定的难度。
2 干摩擦模型的数值求解技术
一个含有干摩擦交接副的力学系统，描述其集中质量运动响应的均是微分方程。但由于干摩擦阻力的存在，使得该微分方程有较强的非线性，这给求解带来了不小的难度。
对于库伦摩擦模型的求解，由于存在符号函数sgn，使得方程在速度零点不连续、不可微，可先将sgn函数在零点用Taylor公式展开，忽略高阶小量，再采取数值方法，如IHB方法（增量谐波平衡法）、HB方法（谐波平衡法）、Newmark法等求解。
对于双折线模型的求解，可先求出双折线模型弹——塑——弹的交接点，确定系统运动微分方程分别在弹、塑性区域的分段线性微分方程，再采用Runge－Kutta方法（龙格库塔方法）求解分段线性微分方程，最后将微分方程的解组装成整个时域阶段的解。这一求解方法，相对于含符号函数sgn的库伦摩擦模型求解方法，显得更为清晰明了，对解的计算精度也更好掌握，故有大量的数值算例、结果分析的报道。
3 干摩擦模型的参数识别和响应分析
对于干摩擦力学模型的参数识别，关键是识别出力学模型中的具体物理参数。目前，对众多干摩擦力学模型的参数识别研究中，集中体现在对双折线模型和Bouc－Wen模型的参数识别中。
我国学者胡海岩、李岳峰、白鸿柏、李冬伟分别采用了最小二乘辨识法、能量法、参数分离法等识别了双折线模型的刚度、滑移极限、黏性阻尼系数等参数，均取得了较为满意的效果。
国外很多学者对Bouc－Wen模型的参数识别展开了研究，采用了微分进化优化算法、遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等人工智能方法识别了Bouc－Wen模型的参数。
4 结束语
本文系统论述、报道了干摩擦元件的建模、求解、参数识别方法，不足之处请予指正。
The Mechanical Analysis of Dry Friction Model in Mechanical System
Zhang Cong
Abstract: The dry friction in an mechanical behavior widespreading in mechanical system. It can reduce the vibration response amplitude for the system under external excitation, so as to achieve the shock absorption and cushioning effect. The article makes a brief review on the research of dry friction mechanics model, and a systematic review on the parameters identify and respond solving methods of various dry friction mechanics model.
Key words: dry friction mechanics model; vibration response; numerical methods