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摘要：汽车后视镜是保证行车安全的重要部件。目前，国内外汽车的后视镜多为平面镜、凸面镜或双曲率后视镜。平面镜图像没有畸变，但视野不足，存在盲区。为扩大视野，采用凸面镜，但图像严重扭曲失真，致使驾驶员无法准确判断后侧方道路情况。因此，采用大视野、低失真的双曲率后视镜能大大提高安全性，对降低交通事故的发生率、减少人民的生命以及财产损失具有重要意义。
本文针对现有的双曲率后视镜进行优化设计，根据平面镜及凸面镜成像原理、几何光学原理等建立了视野能见宽度模型、垂直放大率模型用以确定双曲率后视镜的视野范围和畸变程度，并运用模拟退火算法求解，可以得到双曲率后视镜的优化设计。
关键词：双曲率后视镜；优化设计；物像位置关系
1双曲率后视镜的视野范围
为简化问题，将双目等效成单目，且假设平面镜与凸面镜光滑连接。R为凸面镜的曲率半径，β为垂直放大率，l_M为双曲率后视镜的水平总长度，l_R为双曲率后视镜中凸面镜的水平长度，θ为双曲率后视镜中凸面镜的圆心角。
双曲率后视镜镜面的曲面外形如图1：
图1双曲率后视镜镜面的曲面外形
根据几何光学，双曲率后视镜的成像示意图如图2 [1]：
图2双曲率后视镜成像原理图
点A、B为双曲率后视镜中平面镜的右、左边界点，点C为人眼位置，点D为过点B作凸面镜曲率半径的垂线的垂足点，点E为平面镜与凸面镜相交处的切点，点O'为凸面镜圆心，直线l_0为马路边缘。设点A、B、C、E、O'的坐标分别为（a，0），（0，b），（c，d），（xE，yE），（xO' ，yO' ）。
点A、B与点O'之间的距离分别为：
（1）
（2）
点A与E，点E与O^'的距离分别为：
（3）
（4）
点C' （xC'），yC'）为关于过点B的切线l_0的对称点，由|BC'|=|BC|及lCC^'，可得：
（5）
（6）
运用MATLAB求解，可得点O'的坐标（xO'，yO' ））、点E的坐标（xE，yE）及点C'的坐标（xC' ），yC' ）。
由此可得，直線BC'的方程为：
（7）
点C'' （xC''），yC'' ））为关于直线AE的对称点，由|AC'' |=|AC|及AE⊥CC''，可得：
（8）
（9）
联立式（8）、（9），运用MATLAB求解，可得点C''的坐标（xC'' ），yC^'' ）。
由此可得，直线AC^''的方程为：
（10）
直线AC''、BC'与直线y=10m的交点分别记为N、M，则点N、M的横坐标N（x_N，y_N）、M（x_M，y_M ），则点N与M之间的距离|MN|，即双曲率后视镜的视野能见宽度，也即视野范围为：
（11）
2 双曲率后视镜的畸变程度
为了对畸变程度进行分析，选取垂直放大率β量化畸变。垂直放大率是用来描述物体成像前后高度间的关系，即为像的大小与物的大小之比。出现畸变主要是由于物体成像前后高度存在偏差。而这一偏差是由视野增大所导致的，故选取垂直放大率量化畸变是合理可行的。
根据几何光学，凸面镜的成像示意图如图3 [1]：
图3 凸面镜成像示意图
1.凸面镜物像位置公式
规定[2]：以折射面顶点"O" 为原点；沿着光线的传播方向自左向右为正方向，故与光线传播方向相同时取正值，相反时则取负值；以光轴为基准，在光轴以上为正，则在光轴以下为负。
单个折射球面的物像位置关系为[2]： （12）
式中：n，n'——物方和像方的折射率；l，l'——物方和像方的截距。
反射定律可看成折射定律的特殊情况，令n'=-n可得凸面镜的物像位置公式为：
（13）
2.凸面镜成像规律的推导
垂直放大率为像的大小与物的大小之比，即：
（14）
对于凸面镜，图3中△A' B' C～△ABC，故可得：
（15）
又因为：
（16）
式中：Q——阿贝不變量[2]。
则由式（12）可得：
（17）
又因为： （18）
则垂直放大率为：
（19）
其中，β∈（0，1]，β越大，畸变程度越小。当β=1时，即为平面镜，此时无畸变。
3.双曲率后视镜的畸变程度：
（20）
3 最优曲率半径的求解
双曲率后视镜的效果主要受视野范围和畸变程度两方面的影响。基于以上分析，可分别得到视野范围以及畸变程度对双曲率后视镜的效果的影响。为了将此两个方面的影响进行统一量化，得出最优设计，需对这两方面的影响进行权重分析。
记|MN|=F（R），视野能见宽度|MN|随着曲率半径R的增大而减小，即视野范围随着曲率半径的增大而减小。
记β=G（R），垂直放大率β随着曲率半径R的增大而增大，即畸变程度随着曲率半径R的增大而减小。
为保证视野能见宽度|MN|与垂直放大率β权重的均匀性，对F（R）和G（R）进行标准化处理得：
（21）
最优曲率半径R即是使视野范围尽可能大，而畸变程度尽可能小。因此，优化目标即是求下列函数的极大值：
（22）
参考文献
[1] 程守洙，江之永，普通物理学（下册），北京：高等教育出版社，2016。
[2] 郁道银，谈恒英，工程光学，北京：机械工业出版社，2012。
[3] 熊玉洁，后视镜布置与设计，轻型汽车技术，11期：8-12，2004。
[4] 邱翔，李萍，小型汽车外后视镜的设计，装备制造技术，1期：61-63，2010。
[5] 康立山，谢云，非数值并行计算——模拟退火算法，北京：科学出版社，1998。
本文针对现有的双曲率后视镜进行优化设计，根据平面镜及凸面镜成像原理、几何光学原理等建立了视野能见宽度模型、垂直放大率模型用以确定双曲率后视镜的视野范围和畸变程度，并运用模拟退火算法求解，可以得到双曲率后视镜的优化设计。
关键词：双曲率后视镜；优化设计；物像位置关系
1双曲率后视镜的视野范围
为简化问题，将双目等效成单目，且假设平面镜与凸面镜光滑连接。R为凸面镜的曲率半径，β为垂直放大率，l_M为双曲率后视镜的水平总长度，l_R为双曲率后视镜中凸面镜的水平长度，θ为双曲率后视镜中凸面镜的圆心角。
双曲率后视镜镜面的曲面外形如图1：
图1双曲率后视镜镜面的曲面外形
根据几何光学，双曲率后视镜的成像示意图如图2 [1]：
图2双曲率后视镜成像原理图
点A、B为双曲率后视镜中平面镜的右、左边界点，点C为人眼位置，点D为过点B作凸面镜曲率半径的垂线的垂足点，点E为平面镜与凸面镜相交处的切点，点O'为凸面镜圆心，直线l_0为马路边缘。设点A、B、C、E、O'的坐标分别为（a，0），（0，b），（c，d），（xE，yE），（xO' ，yO' ）。
点A、B与点O'之间的距离分别为：
（1）
（2）
点A与E，点E与O^'的距离分别为：
（3）
（4）
点C' （xC'），yC'）为关于过点B的切线l_0的对称点，由|BC'|=|BC|及lCC^'，可得：
（5）
（6）
运用MATLAB求解，可得点O'的坐标（xO'，yO' ））、点E的坐标（xE，yE）及点C'的坐标（xC' ），yC' ）。
由此可得，直線BC'的方程为：
（7）
点C'' （xC''），yC'' ））为关于直线AE的对称点，由|AC'' |=|AC|及AE⊥CC''，可得：
（8）
（9）
联立式（8）、（9），运用MATLAB求解，可得点C''的坐标（xC'' ），yC^'' ）。
由此可得，直线AC^''的方程为：
（10）
直线AC''、BC'与直线y=10m的交点分别记为N、M，则点N、M的横坐标N（x_N，y_N）、M（x_M，y_M ），则点N与M之间的距离|MN|，即双曲率后视镜的视野能见宽度，也即视野范围为：
（11）
2 双曲率后视镜的畸变程度
为了对畸变程度进行分析，选取垂直放大率β量化畸变。垂直放大率是用来描述物体成像前后高度间的关系，即为像的大小与物的大小之比。出现畸变主要是由于物体成像前后高度存在偏差。而这一偏差是由视野增大所导致的，故选取垂直放大率量化畸变是合理可行的。
根据几何光学，凸面镜的成像示意图如图3 [1]：
图3 凸面镜成像示意图
1.凸面镜物像位置公式
规定[2]：以折射面顶点"O" 为原点；沿着光线的传播方向自左向右为正方向，故与光线传播方向相同时取正值，相反时则取负值；以光轴为基准，在光轴以上为正，则在光轴以下为负。
单个折射球面的物像位置关系为[2]： （12）
式中：n，n'——物方和像方的折射率；l，l'——物方和像方的截距。
反射定律可看成折射定律的特殊情况，令n'=-n可得凸面镜的物像位置公式为：
（13）
2.凸面镜成像规律的推导
垂直放大率为像的大小与物的大小之比，即：
（14）
对于凸面镜，图3中△A' B' C～△ABC，故可得：
（15）
又因为：
（16）
式中：Q——阿贝不變量[2]。
则由式（12）可得：
（17）
又因为： （18）
则垂直放大率为：
（19）
其中，β∈（0，1]，β越大，畸变程度越小。当β=1时，即为平面镜，此时无畸变。
3.双曲率后视镜的畸变程度：
（20）
3 最优曲率半径的求解
双曲率后视镜的效果主要受视野范围和畸变程度两方面的影响。基于以上分析，可分别得到视野范围以及畸变程度对双曲率后视镜的效果的影响。为了将此两个方面的影响进行统一量化，得出最优设计，需对这两方面的影响进行权重分析。
记|MN|=F（R），视野能见宽度|MN|随着曲率半径R的增大而减小，即视野范围随着曲率半径的增大而减小。
记β=G（R），垂直放大率β随着曲率半径R的增大而增大，即畸变程度随着曲率半径R的增大而减小。
为保证视野能见宽度|MN|与垂直放大率β权重的均匀性，对F（R）和G（R）进行标准化处理得：
（21）
最优曲率半径R即是使视野范围尽可能大，而畸变程度尽可能小。因此，优化目标即是求下列函数的极大值：
（22）
参考文献
[1] 程守洙，江之永，普通物理学（下册），北京：高等教育出版社，2016。
[2] 郁道银，谈恒英，工程光学，北京：机械工业出版社，2012。
[3] 熊玉洁，后视镜布置与设计，轻型汽车技术，11期：8-12，2004。
[4] 邱翔，李萍，小型汽车外后视镜的设计，装备制造技术，1期：61-63，2010。
[5] 康立山，谢云，非数值并行计算——模拟退火算法，北京：科学出版社，1998。