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[摘 要] 裂项求和是数列求和的重要方法之一，教学以两种经典模型为主.在具体应用中，不能解决经典模型以外的裂项求和问题. 从一道裂项求和问题的解决方式出发，对裂项求和的结构特征进行了分析，应用特殊与一般、转化及类比等数学思想方法提出了两个裂项求和的一般模型，使裂项求和的应用不局限于与等差数列有关的裂项求和. 在应用一般模型的过程中，旨在提升学生对问题的转化能力，并掌握分析裂项求和的一般思路与策略.
[关键词] 裂项求和；分子；分母；经典模型；数列
在数列的综合性问题中，符合裂项求和的通项公式具有特殊的结构特征，这种特殊结构在两个经典模型中，局限于与等差数列有关的通项公式，从而也体现了两个经典模型是裂项求和的两个特殊模型，并不是一般模型. 文中结合一道裂项求和题目的求解过程，引发对裂项求和结构特征的思考，将原有特殊模型转化提升为一般模型.
这个题目是裂项求和问题，在学生思考求和时，根据通项公式的形式，容易排除公式求和、错位相减求和、倒序求和，但是也很难与裂项求和联系起来，这就不得不对裂项求和进行新的思考.学生不能很好地将问题转化为裂项求和，主要原因在于，教学中有关裂项求和主要是下列两个经典模型.
上述两个经典模型不能应用于引例所处理的题目，它们的特殊性在于：均与等差数列有关. 引例中的通项公式相较而言就显得更一般，这就引起了对引例与经典模型在应用裂项求和中转化的共同性的思考.
[?] 裂项求和的一般模型
1. 模型1的推广
裂项求和的关键是如何将一项裂为两项的差.观察引例的解题过程，核心步骤为，问题在转化过程中应用了分子与分母之间的内在联系，若记an=n2，则bn==-，不难发现分子为分母两项的差.
2. 模型2的推广
针对模型1的特征，将其推广为模型3，由裂项核心思路的一致性，类比模型1推广为模型3的方式，可将模型2推广为模型4，模型4如下：
模型4：数列{an}，其中?n∈N*，an>0，=m（-）（其中k∈N*，m≠0）.
模型4的特征：
（1）分母为同一数列中两项（一般为相邻两项）平方根的和；
（2）分子为分母中两项的差或差的倍数.
注意：{an}的数列类型不局限于等差数列，可以推广至各种形式的数列，只需要求{an}中的所有项均为正项.
模型4可以裂项的结构与模型3略有区别，它可以裂项的结构特征为=k（-），能否求和依然需要A，B间存在联系，因此A，B仍然要是同一数列中的某两项（一般为相邻两项），这就使得原来的模型2成为模型4的一个特例，将{an}局限于等差数列的特殊情形推广到符合要求的一般数列.
通过上述两部分的分析，不难发现裂项求和转化的关键为数列的通项公式能否转化、如何转化为符合裂项的结构特征，即：或.
[?] 一般模型的应用
由于模型4应用于较复杂的通项公式与应用模型3的一般思路和策略相同，并且没有发现有相关题目的考查，所以一般模型的应用主要以模型3为主.应用过程中的一般的解题策略为：若求和可能是裂项求和，在应用模型3时，从模型的两个特征出发，先考虑分母是否是同一个数列中某两项的积，再考虑分子是否与这两项的差有倍数关系. 从解决裂项求和的一般策略里，能够使得学生转化问题、分析问题的能力提高到一个新的层次，不仅仅是记住模型，更重要的是提升学生分析问题、解决问题的能力.
下面通过3个题目的应用简要分析应用模型3解题的一般思路.在选择求和方法时，例1、例2、例3均可排除公式求和、错位相减求和及倒序求和.
例1 （2010年湖南）给出下面的数表序列：其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. （1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（2）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{bn}，求和： … （n∈N*）.
从而转化为裂项求和问题.
例2在裂项求和的过程中，通项公式需要通过转化才能应用模型3，解题的一般策略指导学生有了一般的思路，转化分母与分子间的关系.
例3 （2006年山东）已知a1=2，点（an，an 1）在函数f（x）=x2 2x的图象上.
（1）证明：数列{lg（1 an）}是等比数列；
（2）设Tn=（1 a1）（1 a2）…（1 an），求Tn及数列{an}的通项；
（3）记bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn =1.
分析：题目的难点在于第3问数列{bn}的前n项和Sn的求解，由前2问及题意得an 1=a 2an，an=32n-1-1，则bn= ==或bn= =·
在上面的步骤中，无论{bn}的通项用an表示，还是用具体的关于n的式子表示，分母都只有数列{an}中的1项即第n 1项，在选择求和方法时，较为贴近裂项求和，在转化的过程中先考虑分母，两项的积中的另一项选择谁？根据经验及检验，选择第n项.
例3应用裂项求和的难度更大，主要原因在于通项公式的形式与模型3的形式相比较，差距较大，需要通过较高的配凑技巧达到模型3的形式，从而应用裂项. 这一问还有另一个解法，以消元为主要思想，在这里不做介绍.从学生学习接受的角度，更多的学生觉得用裂项求和的配凑更易理解，同时也使得裂项求和的模型3的一般思路有了更广泛的应用.
[?] 模型的再思考
一般模型在处理裂项求和问题时，能够体现对模型的深入理解应从模型结构入手，如文中所提到的两个典型结构或可以裂项，能否求和还决定于A，B的关系.再具体问题应用中，需要将实际问题联系裂项的结构进行转化，进而实施裂项求和. 这也打破了原有模型的局限性，使得裂项求和能够应用于更广阔的范围. 当然，是否还有其他结构能应用裂项求和，文章没有进行进一步的思考，只是针对原有两个模型进行特殊到一般的提升. 在教学过程中，模型的深刻理解也让学生对裂项求和等有关问题的转化，有了思考方向，提高了化归与转化能力.
另外，新模型除了能够帮助学生对裂项理解更深刻，对提高转化能力有更大的帮助以外，也可以给出题者一个出题的思路，应用裂项的结构，设置一个数列中的某两项分别放入A，B，构造出一个可以裂项求和的数列通项，对学生进行考查，打开了裂项求和更广阔的天地.
以上是在日常教学中，总结归纳出的一点感悟，在解决裂项求和的问题中，能够有助于学生找到难度较大的问题的思考方向，从而提升转化能力. 文章对裂项求和的深入分析旨在希望学生能够理解得更深刻，并培养学生对数学问题的抽象、分析、转化能力.
[关键词] 裂项求和；分子；分母；经典模型；数列
在数列的综合性问题中，符合裂项求和的通项公式具有特殊的结构特征，这种特殊结构在两个经典模型中，局限于与等差数列有关的通项公式，从而也体现了两个经典模型是裂项求和的两个特殊模型，并不是一般模型. 文中结合一道裂项求和题目的求解过程，引发对裂项求和结构特征的思考，将原有特殊模型转化提升为一般模型.
这个题目是裂项求和问题，在学生思考求和时，根据通项公式的形式，容易排除公式求和、错位相减求和、倒序求和，但是也很难与裂项求和联系起来，这就不得不对裂项求和进行新的思考.学生不能很好地将问题转化为裂项求和，主要原因在于，教学中有关裂项求和主要是下列两个经典模型.
上述两个经典模型不能应用于引例所处理的题目，它们的特殊性在于：均与等差数列有关. 引例中的通项公式相较而言就显得更一般，这就引起了对引例与经典模型在应用裂项求和中转化的共同性的思考.
[?] 裂项求和的一般模型
1. 模型1的推广
裂项求和的关键是如何将一项裂为两项的差.观察引例的解题过程，核心步骤为，问题在转化过程中应用了分子与分母之间的内在联系，若记an=n2，则bn==-，不难发现分子为分母两项的差.
2. 模型2的推广
针对模型1的特征，将其推广为模型3，由裂项核心思路的一致性，类比模型1推广为模型3的方式，可将模型2推广为模型4，模型4如下：
模型4：数列{an}，其中?n∈N*，an>0，=m（-）（其中k∈N*，m≠0）.
模型4的特征：
（1）分母为同一数列中两项（一般为相邻两项）平方根的和；
（2）分子为分母中两项的差或差的倍数.
注意：{an}的数列类型不局限于等差数列，可以推广至各种形式的数列，只需要求{an}中的所有项均为正项.
模型4可以裂项的结构与模型3略有区别，它可以裂项的结构特征为=k（-），能否求和依然需要A，B间存在联系，因此A，B仍然要是同一数列中的某两项（一般为相邻两项），这就使得原来的模型2成为模型4的一个特例，将{an}局限于等差数列的特殊情形推广到符合要求的一般数列.
通过上述两部分的分析，不难发现裂项求和转化的关键为数列的通项公式能否转化、如何转化为符合裂项的结构特征，即：或.
[?] 一般模型的应用
由于模型4应用于较复杂的通项公式与应用模型3的一般思路和策略相同，并且没有发现有相关题目的考查，所以一般模型的应用主要以模型3为主.应用过程中的一般的解题策略为：若求和可能是裂项求和，在应用模型3时，从模型的两个特征出发，先考虑分母是否是同一个数列中某两项的积，再考虑分子是否与这两项的差有倍数关系. 从解决裂项求和的一般策略里，能够使得学生转化问题、分析问题的能力提高到一个新的层次，不仅仅是记住模型，更重要的是提升学生分析问题、解决问题的能力.
下面通过3个题目的应用简要分析应用模型3解题的一般思路.在选择求和方法时，例1、例2、例3均可排除公式求和、错位相减求和及倒序求和.
例1 （2010年湖南）给出下面的数表序列：其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. （1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（2）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{bn}，求和： … （n∈N*）.
从而转化为裂项求和问题.
例2在裂项求和的过程中，通项公式需要通过转化才能应用模型3，解题的一般策略指导学生有了一般的思路，转化分母与分子间的关系.
例3 （2006年山东）已知a1=2，点（an，an 1）在函数f（x）=x2 2x的图象上.
（1）证明：数列{lg（1 an）}是等比数列；
（2）设Tn=（1 a1）（1 a2）…（1 an），求Tn及数列{an}的通项；
（3）记bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn =1.
分析：题目的难点在于第3问数列{bn}的前n项和Sn的求解，由前2问及题意得an 1=a 2an，an=32n-1-1，则bn= ==或bn= =·
在上面的步骤中，无论{bn}的通项用an表示，还是用具体的关于n的式子表示，分母都只有数列{an}中的1项即第n 1项，在选择求和方法时，较为贴近裂项求和，在转化的过程中先考虑分母，两项的积中的另一项选择谁？根据经验及检验，选择第n项.
例3应用裂项求和的难度更大，主要原因在于通项公式的形式与模型3的形式相比较，差距较大，需要通过较高的配凑技巧达到模型3的形式，从而应用裂项. 这一问还有另一个解法，以消元为主要思想，在这里不做介绍.从学生学习接受的角度，更多的学生觉得用裂项求和的配凑更易理解，同时也使得裂项求和的模型3的一般思路有了更广泛的应用.
[?] 模型的再思考
一般模型在处理裂项求和问题时，能够体现对模型的深入理解应从模型结构入手，如文中所提到的两个典型结构或可以裂项，能否求和还决定于A，B的关系.再具体问题应用中，需要将实际问题联系裂项的结构进行转化，进而实施裂项求和. 这也打破了原有模型的局限性，使得裂项求和能够应用于更广阔的范围. 当然，是否还有其他结构能应用裂项求和，文章没有进行进一步的思考，只是针对原有两个模型进行特殊到一般的提升. 在教学过程中，模型的深刻理解也让学生对裂项求和等有关问题的转化，有了思考方向，提高了化归与转化能力.
另外，新模型除了能够帮助学生对裂项理解更深刻，对提高转化能力有更大的帮助以外，也可以给出题者一个出题的思路，应用裂项的结构，设置一个数列中的某两项分别放入A，B，构造出一个可以裂项求和的数列通项，对学生进行考查，打开了裂项求和更广阔的天地.
以上是在日常教学中，总结归纳出的一点感悟，在解决裂项求和的问题中，能够有助于学生找到难度较大的问题的思考方向，从而提升转化能力. 文章对裂项求和的深入分析旨在希望学生能够理解得更深刻，并培养学生对数学问题的抽象、分析、转化能力.