论文部分内容阅读
【摘要】本文首先简述了非标准分析产生的背景及国内外发展现状，其次讨论了非标利准分析在模糊拓扑空间、一致拓扑空间及线性拓扑空间中的若干应用，所得结论为后续利用非标准分析的方法研究拓扑学奠定了基础，使拓扑学中原有定义、结论的本质更加清晰简明，最后与学者共勉，希望非标准分析对各学科产生更大的影响.
【关键词】非标准分析；模糊拓扑；一致拓扑空间 ；线性拓扑空间
一、非标准分析概述
1.非标准分析产生的背景
17世纪末，牛顿和Leibnizi在创建微积分时，虚构了无穷小和无穷大的数，并使之服从普遍实数的规律，并大胆的对其进行运用，这种打破常规的猜想和运用，为数学的发展作出了很大的贡献.可是，他们对无穷小的解释——“小于所有的正实数又不等于0”，这样的解释相当含糊，使得一些数学家不信任无穷小量的方法，以后，对于无穷的争论从未停止过，大家认为：无穷小缺乏必要的理论基础.经过许多数学家长期的探索，威尔斯特拉斯、柯西等终于寻找到了一个有说服力的方法——“ε-δ方法”，回避了无穷小，这种方法用人们所熟悉的有限量来描述无限量，显示了有限与无限的关系，因此被大部分人所接受，使微获得了空前的成功.但此方法仍不是完美的，传统的阿基米德域R容纳不了无穷小，必须把数学从阿基米德性质中解放出来.正是由于对“无穷小”的批判，使数学家不断地探索，1960年数学家A.Robinson发现，模型论的成果与分析学当中的无穷小有着内在的联系，所以他将实数域R扩张为包含无穷小及无穷大数的超实数域*R，从而创立了一门新的数学学科——非标准分析，使300年来一直争论的无穷小问题被大众所接受.
2.非标准分析的产生
A.Robinson运用模型论证明了无穷小方法的逻辑严密性后，就致力于此方面的研究，1961年他在荷兰皇家科学院院报上发表论文——《nonstandard analysis》，总结了非标准分析理论的若干研究成果，使非标准分析成为一门新的数学理论，也宣告了非标准分析的诞生.此后，分析学被分为两种：标准分析与非标准分析.
3.国内外研究非标准分析的现状
近50年来，各国学者都对非标准分析进行了深入的研究，发表了许多关于非标准分析的研究论文.随着非标准分析在各学科中的广泛应用，通常需要对非标准模型提出更高的要求，所以国际上还有部分学者专门研究非标准模型.我国中科院数学所的李邦河院士运用非标准分析的方法对广义函数问题进行了深入的研究，建立了广义函数理论，对国际非标准分析的研究产生了深远的影响，并且1987年出版了《非标准分析基础》.陕西师范大学的冯汉桥教授对非标准分析及相关理论有着自己独特的见解，运用非标准分析的理论对隐函数和内超实度量空间结构等进行了研究，使已有的一些结论、概念更为简洁，并且翻译了Martin Davis的著作，这些学者们取得的成果，对非标准分析的发展与完善作出了突出的贡献.
二、非标准分析在拓扑学中的应用
迄今为止，非标准分析在微分学、代数几何学、分析学、拓扑学等都有着广泛的应用，尤其在拓扑学上取得了重大的突破.
1.非标准分析在模糊拓扑空间中的应用
目前，国内外学者们先对模糊集合和及其运算进行了非标准扩张，把非标准分析理论应用到模糊数学中.然后利用共点原理，把非标准扩大模型应用到模糊数学中，从而使非标准扩大模型具有模糊运算的表现形式，再给出了模糊拓扑空间的概念，在此基础上，运用转换原理，对模糊滤子极限点、聚点及模糊滤子收敛性进行了非标准刻画，研究了模糊拓扑学中三种邻近结构：邻域、重域和远域，运用非标准分析理论中的单子的相关知识，给出了N-单子、Q-单子和R-单子的定义，并且证明了它们对应的逼近定理及相互间的关系，同时还对模糊拓扑空间的MooreSmith收敛理论，分离公理，紧性等进行了非标准刻画，这种刻画充分体现了非标准分析方法直观的优点，使模糊拓扑学中原有定义、结论的本质更加清晰简明.
2.非标准分析在一致拓扑空间中的应用
一致空间是一种特殊的拓扑空间，一致空间是联系拓扑空间和度量空间的纽带.国内外学者运用非标准分析的方法，利用格集的定义，对一致空间上函数的一致收敛进行了刻画，给出了一致空间上函数的U-微连续性、rs-连续性、U-等度连续性和U-*-连续性的定义，研究了上述四种非标准连续性之间的存在的关系.用非标准分析的方法定义了紧一致空间，研究了一致空间上紧映射的性质，并运用U-微连续的概念和内函数定理，对一致空间上函数的逼近定理进行了证明，讨论了Cauchy滤子和一致结构单子之间存在的内在关系，运用非标准分析理论对Cauchy网收敛进行了刻画，证明了一致空间完备的充要条件是一致空间中的任意Cauchy网{Sn，n∈D}，都存在*D中的无穷大元p，使得Sp是近标准的.这些结果为以后继续研究一致空间奠定了重要的理论基础.
3.非标准分析在线性拓扑空间中的应用
线性拓扑空间是一类特殊的拓扑空间，即如果空间E 既是线性空间，又是拓扑空间，并且E 中的任意代数运算按其拓扑连续，则称这一类空间E 是线性拓扑空间.当然，我们可以把它看作是线性距离空间的推广.众多学者对其进行了研究，首先，利用非标准理论对集合稠密、无处稠密、映射的连续、上半连续、下半连续进行了非标准刻画，并应用结论证明了线性拓扑空间中凸集、凸包的性质.其次，在Hausdorff 拓扑空间中，运用非标准分析理论定义了集族上的Vietoris拓扑，定义了两种新的单子：C-单子，I-单子，应用它们证明了Hausdorff 空间中一族集网按Vietoris 拓扑收敛的若干重要性质，最后，对Hausdorff 拓扑空间上集值映射的上（下）半连续、连续、弱下半连续、集值映射F 的图等概念进行了非标准刻画和证明.已有的结论使线性拓扑空间的概念、性质更容易被大家理解和接受，从而为线性拓扑空间的进一步发展作出了贡献.
三、结语
非标准分析的创建，是数学的重大进展之一，虽然在此基础上，已经取得的去多重要的成果，但是如何更好地优化其自身的模型，如何更好地利用它来研究数学各个学科的问题，这需要国内外学者进行更深入的研究，相信在大家的共同努力下，非标准分析对各学科的发展将会产生更大的影响.
【参考文献】
[1]陈东立，马春晖，史艳维.单子集映射m与标准部分逆映射1 st 的同态性[J].数学进展，2012，2，41（1）：120-124.
[2]靳永军，任林源.分离性和紧性的非标准刻画及其应用[J].西安工业大学学报，2013，3，33（3）：176-179.
[3]JohnL.Kelly.General Topology[M].New York：Van Nostrand，1995.
[4]陈东立，马春晖，史艳维.非标准分析理论及其应用[M].西北大学出版社，2014.
[5]Szymon Dolecki，Frédéric Mynard.When is the Isbell topology a group topology [J].Topology and its Applications，2010，157：1370-1378.
【关键词】非标准分析；模糊拓扑；一致拓扑空间 ；线性拓扑空间
一、非标准分析概述
1.非标准分析产生的背景
17世纪末，牛顿和Leibnizi在创建微积分时，虚构了无穷小和无穷大的数，并使之服从普遍实数的规律，并大胆的对其进行运用，这种打破常规的猜想和运用，为数学的发展作出了很大的贡献.可是，他们对无穷小的解释——“小于所有的正实数又不等于0”，这样的解释相当含糊，使得一些数学家不信任无穷小量的方法，以后，对于无穷的争论从未停止过，大家认为：无穷小缺乏必要的理论基础.经过许多数学家长期的探索，威尔斯特拉斯、柯西等终于寻找到了一个有说服力的方法——“ε-δ方法”，回避了无穷小，这种方法用人们所熟悉的有限量来描述无限量，显示了有限与无限的关系，因此被大部分人所接受，使微获得了空前的成功.但此方法仍不是完美的，传统的阿基米德域R容纳不了无穷小，必须把数学从阿基米德性质中解放出来.正是由于对“无穷小”的批判，使数学家不断地探索，1960年数学家A.Robinson发现，模型论的成果与分析学当中的无穷小有着内在的联系，所以他将实数域R扩张为包含无穷小及无穷大数的超实数域*R，从而创立了一门新的数学学科——非标准分析，使300年来一直争论的无穷小问题被大众所接受.
2.非标准分析的产生
A.Robinson运用模型论证明了无穷小方法的逻辑严密性后，就致力于此方面的研究，1961年他在荷兰皇家科学院院报上发表论文——《nonstandard analysis》，总结了非标准分析理论的若干研究成果，使非标准分析成为一门新的数学理论，也宣告了非标准分析的诞生.此后，分析学被分为两种：标准分析与非标准分析.
3.国内外研究非标准分析的现状
近50年来，各国学者都对非标准分析进行了深入的研究，发表了许多关于非标准分析的研究论文.随着非标准分析在各学科中的广泛应用，通常需要对非标准模型提出更高的要求，所以国际上还有部分学者专门研究非标准模型.我国中科院数学所的李邦河院士运用非标准分析的方法对广义函数问题进行了深入的研究，建立了广义函数理论，对国际非标准分析的研究产生了深远的影响，并且1987年出版了《非标准分析基础》.陕西师范大学的冯汉桥教授对非标准分析及相关理论有着自己独特的见解，运用非标准分析的理论对隐函数和内超实度量空间结构等进行了研究，使已有的一些结论、概念更为简洁，并且翻译了Martin Davis的著作，这些学者们取得的成果，对非标准分析的发展与完善作出了突出的贡献.
二、非标准分析在拓扑学中的应用
迄今为止，非标准分析在微分学、代数几何学、分析学、拓扑学等都有着广泛的应用，尤其在拓扑学上取得了重大的突破.
1.非标准分析在模糊拓扑空间中的应用
目前，国内外学者们先对模糊集合和及其运算进行了非标准扩张，把非标准分析理论应用到模糊数学中.然后利用共点原理，把非标准扩大模型应用到模糊数学中，从而使非标准扩大模型具有模糊运算的表现形式，再给出了模糊拓扑空间的概念，在此基础上，运用转换原理，对模糊滤子极限点、聚点及模糊滤子收敛性进行了非标准刻画，研究了模糊拓扑学中三种邻近结构：邻域、重域和远域，运用非标准分析理论中的单子的相关知识，给出了N-单子、Q-单子和R-单子的定义，并且证明了它们对应的逼近定理及相互间的关系，同时还对模糊拓扑空间的MooreSmith收敛理论，分离公理，紧性等进行了非标准刻画，这种刻画充分体现了非标准分析方法直观的优点，使模糊拓扑学中原有定义、结论的本质更加清晰简明.
2.非标准分析在一致拓扑空间中的应用
一致空间是一种特殊的拓扑空间，一致空间是联系拓扑空间和度量空间的纽带.国内外学者运用非标准分析的方法，利用格集的定义，对一致空间上函数的一致收敛进行了刻画，给出了一致空间上函数的U-微连续性、rs-连续性、U-等度连续性和U-*-连续性的定义，研究了上述四种非标准连续性之间的存在的关系.用非标准分析的方法定义了紧一致空间，研究了一致空间上紧映射的性质，并运用U-微连续的概念和内函数定理，对一致空间上函数的逼近定理进行了证明，讨论了Cauchy滤子和一致结构单子之间存在的内在关系，运用非标准分析理论对Cauchy网收敛进行了刻画，证明了一致空间完备的充要条件是一致空间中的任意Cauchy网{Sn，n∈D}，都存在*D中的无穷大元p，使得Sp是近标准的.这些结果为以后继续研究一致空间奠定了重要的理论基础.
3.非标准分析在线性拓扑空间中的应用
线性拓扑空间是一类特殊的拓扑空间，即如果空间E 既是线性空间，又是拓扑空间，并且E 中的任意代数运算按其拓扑连续，则称这一类空间E 是线性拓扑空间.当然，我们可以把它看作是线性距离空间的推广.众多学者对其进行了研究，首先，利用非标准理论对集合稠密、无处稠密、映射的连续、上半连续、下半连续进行了非标准刻画，并应用结论证明了线性拓扑空间中凸集、凸包的性质.其次，在Hausdorff 拓扑空间中，运用非标准分析理论定义了集族上的Vietoris拓扑，定义了两种新的单子：C-单子，I-单子，应用它们证明了Hausdorff 空间中一族集网按Vietoris 拓扑收敛的若干重要性质，最后，对Hausdorff 拓扑空间上集值映射的上（下）半连续、连续、弱下半连续、集值映射F 的图等概念进行了非标准刻画和证明.已有的结论使线性拓扑空间的概念、性质更容易被大家理解和接受，从而为线性拓扑空间的进一步发展作出了贡献.
三、结语
非标准分析的创建，是数学的重大进展之一，虽然在此基础上，已经取得的去多重要的成果，但是如何更好地优化其自身的模型，如何更好地利用它来研究数学各个学科的问题，这需要国内外学者进行更深入的研究，相信在大家的共同努力下，非标准分析对各学科的发展将会产生更大的影响.
【参考文献】
[1]陈东立，马春晖，史艳维.单子集映射m与标准部分逆映射1 st 的同态性[J].数学进展，2012，2，41（1）：120-124.
[2]靳永军，任林源.分离性和紧性的非标准刻画及其应用[J].西安工业大学学报，2013，3，33（3）：176-179.
[3]JohnL.Kelly.General Topology[M].New York：Van Nostrand，1995.
[4]陈东立，马春晖，史艳维.非标准分析理论及其应用[M].西北大学出版社，2014.
[5]Szymon Dolecki，Frédéric Mynard.When is the Isbell topology a group topology [J].Topology and its Applications，2010，157：1370-1378.