论文部分内容阅读
摘 要：在高等数学三重积分的学习中会涉及到“方法的选择”的问题，如何正确选择方法关系到能不能解答出题目以及计算量的繁简差异问题，需要深入分析研究。本文通过對高等数学中三重积分方法中截面法的阐述，强调选择截面法解题既要遵循一般的规律也要灵活处理。
关键词：高等数学;三重积分;截面法
高等数学三重积分的学习中会涉及到“方法的选择”的问题，这是解决三重积分首先要明晰的问题，是高等数学教学中一个非常重要的内容，也是一个难点所在。首先要明确选择哪种坐标系，然后采用不同的方法解决，方法选择不合适会导致不能够解出答案，以及计算的难易不同。一般情况下有“截面法”和“投影法”两种不同方法的选择，虽然投影法用得比较多，但是在某些特殊情况下用“截面法”更能简化计算。如果题目满足截面法的两个条件，选择截面法解题当然没有问题，但是如果表面看起来并不满足截面法的条件，也是可以采用截面法的，只是难度更大些而已，通过扩展例题我们可以帮助学生对截面法的使用有一个更加全面的认识。
一、三重积分的计算步骤：
（1）画出积分域的图形，知道边界面的方程，从而明确出上下限;
（2）根据积分域特征及被积函数的特点，确定 是用切条法（投影法），还是用切片法（截面法）
（3）根据上述结果，化三重积分为累次积分并计算。
（4）一般情况下：投影法用得更多，某些特殊情况下截面法更简便。
（5）什么时候用“截面法”方便：;且截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积容易求，但是并不绝对。
二、关于不绝对的说明，就是按照符合“截面法”的两个要求去使用截面法当然没有问题，但是如果不具备“截面法”的两个条件也是可以使用的，只是难度更大而已，下面举例说明。
分析：①作图：W是上半球体，它在xy面上的投影区域Dxy是单位圆x2+y2 ≦ 1. ② 选法：切片法（截面法），都可用。③定限
分析：截面法做题一般要符合2个要点（先二后一，不需要知道三个上下限）;
1.通过过z点去截面可得知截面的形状;从而知道面积该怎么算（一定要把Dz 的方程求出来）;
2.知道z的取值范围，才能知道单积分的上下限。
解：截面法：
当0?z?1时，过（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立体W的截面为圆。
分析：三重积分不一定非化为三重积分不可，也可以化为“先重后单”或者“先单后重”的形式来计算。
综上：选择投影法或者截面法既要遵循一般规律也要灵活应用。通过例题的分析讲解，让学生明确灵活处理问题的重要性，帮助学生解决选择截面法这种方法的疑惑。
参考文献
[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M] .北京：高等教育出版社，1992.
[2] 杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M] .北京：科学出版社，2010.
[3] 罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M] .北京：科学出版社，2010.
作者简介：吴文前，成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士。研究方向：数学教育。
关键词：高等数学;三重积分;截面法
高等数学三重积分的学习中会涉及到“方法的选择”的问题，这是解决三重积分首先要明晰的问题，是高等数学教学中一个非常重要的内容，也是一个难点所在。首先要明确选择哪种坐标系，然后采用不同的方法解决，方法选择不合适会导致不能够解出答案，以及计算的难易不同。一般情况下有“截面法”和“投影法”两种不同方法的选择，虽然投影法用得比较多，但是在某些特殊情况下用“截面法”更能简化计算。如果题目满足截面法的两个条件，选择截面法解题当然没有问题，但是如果表面看起来并不满足截面法的条件，也是可以采用截面法的，只是难度更大些而已，通过扩展例题我们可以帮助学生对截面法的使用有一个更加全面的认识。
一、三重积分的计算步骤：
（1）画出积分域的图形，知道边界面的方程，从而明确出上下限;
（2）根据积分域特征及被积函数的特点，确定 是用切条法（投影法），还是用切片法（截面法）
（3）根据上述结果，化三重积分为累次积分并计算。
（4）一般情况下：投影法用得更多，某些特殊情况下截面法更简便。
（5）什么时候用“截面法”方便：;且截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积容易求，但是并不绝对。
二、关于不绝对的说明，就是按照符合“截面法”的两个要求去使用截面法当然没有问题，但是如果不具备“截面法”的两个条件也是可以使用的，只是难度更大而已，下面举例说明。
分析：①作图：W是上半球体，它在xy面上的投影区域Dxy是单位圆x2+y2 ≦ 1. ② 选法：切片法（截面法），都可用。③定限
分析：截面法做题一般要符合2个要点（先二后一，不需要知道三个上下限）;
1.通过过z点去截面可得知截面的形状;从而知道面积该怎么算（一定要把Dz 的方程求出来）;
2.知道z的取值范围，才能知道单积分的上下限。
解：截面法：
当0?z?1时，过（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立体W的截面为圆。
分析：三重积分不一定非化为三重积分不可，也可以化为“先重后单”或者“先单后重”的形式来计算。
综上：选择投影法或者截面法既要遵循一般规律也要灵活应用。通过例题的分析讲解，让学生明确灵活处理问题的重要性，帮助学生解决选择截面法这种方法的疑惑。
参考文献
[1] 同济大学数学教研室主编.高等数学[M] .北京：高等教育出版社，1992.
[2] 杨晋浩，张勇，罗钊.高等数学（上册）[M] .北京：科学出版社，2010.
[3] 罗钊，韩天勇，王伟钧.高等数学（下册）[M] .北京：科学出版社，2010.
作者简介：吴文前，成都大学信息科学与工程学院副教授，硕士。研究方向：数学教育。